山东省烟台市牟平区2024-2025学年下学期七年级期中数学试卷（五四学制）

这是一份山东省烟台市牟平区2024-2025学年下学期七年级期中数学试卷（五四学制），共27页。试卷主要包含了选择题，小器一容三斛；大器一等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）以下四个命题中，真命题是（ ）
A．“任意三角形内角和为180°”是随机事件
B．“烟台市后天会下雨”是确定事件
C．“估计本题的正确率是90%”表示40位考生中一定有36人做对
D．从一副扑克牌随机抽一张，抽到花色是红桃的概率是1354
2．（3分）关于x，y的方程组3x+y=2m-1，x-y=n的解满足x+y＝1，则4m÷2n的值是（ ）
A．1B．2C．4D．8
3．（3分）一副三角板如图摆放，两块三角板的直角顶点重合，且AB∥OD，则∠1的度数为（ ）
A．75°B．65°C．60°D．55°
4．（3分）如图，O是直线AB上一点，OE平分∠BOD，OF⊥OE，∠D＝100°，李军同学添加了一个条件后，仍不能判定AB∥CD，他添加的条件可能是（ ）
A．∠BOE＝50°B．∠BOE+∠AOF＝90°
C．∠AOF＝40°D．180°﹣∠BOD＝80°
5．（3分）在学校科技宣传活动中，某科技活动小组将3个标有“北斗”，2个标有“天眼”，5个标有“高铁”的小球（除标记外其它都相同）放入盒中，小红从盒中随机摸出1个小球，并对小球标记的内容进行介绍，下列叙述正确的是（ ）
A．摸出“北斗”小球的可能性最大
B．摸出“天眼”小球的可能性最大
C．摸出“高铁”小球的可能性最大
D．摸出三种小球的可能性相同
6．（3分）已知方程组2x+y=12y+z=-2x+2z=2，则（x+y+z）﹣1的值是（ ）
A．3B．2C．13D．12
7．（3分）如图，转盘中四个扇形的面积都相等，任意转动这个转盘1次，当转盘停止转动时，指针落在灰色区域的概率是（ ）
A．14B．13C．12D．34
8．（3分）将含60°角的直角三角板按如图方式摆放，已知m∥n，∠1＝20°，则∠2＝（ ）
A．40°B．30°C．20°D．15°
9．（3分）现有标有数字0，4，5的三张卡片，将这三张卡片任意摆成一个三位正整数，摆出的三位数不是5的倍数的概率是（ ）
A．16B．34C．14D．12
10．（3分）《九章算术》中有一题：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛．问大、小器各容几何？”译文：今有大容器5个，小容器1个，总容量为3斛（斛：古代容量单位）；大容器1个，小容器5个，总容量为2斛，问大容器、小容器的容量各是多少斛？设大容器的容量为x斛，小容器的容量为y斛，则可列方程组是（ ）
A．x+5y=35x+y=2B．5x+y=3x+5y=2
C．5x=y+3x=5y+2D．5x=y+2x=5y+3
11．（3分）在同一平面直角坐标系中，一次函数y1＝ax+b（a≠0）与y2＝mx+n（m≠0）的图象如图所示，则下列结论错误的是（ ）
A．y1随x的增大而增大
B．b＜n
C．当x＜2时，y1＞y2
D．关于x，y的方程组ax-y=-bmx-y=-n的解为x=2y=3
12．（3分）如图，△ABC的角平分线CD、BE相交于F，∠A＝90°，EG∥BC，且CG⊥EG于G，下列结论：
①∠CEG＝2∠DCB；
②∠ADC＝∠GCD；
③CA平分∠BCG；
④∠DFB=12∠CGE．
其中正确的结论是（ ）
A．②③B．①②④C．①③④D．①②③④
二.填空题（每题3分，共18分）
13．（3分）下列命题：①在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行．②直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离．③三角形三条中线的交点叫做三角形的内心．④角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．⑤同位角相等．其中正确的是 （填写序号）．
14．（3分）市区某路口东西方向红绿灯的设置时间：红灯40s，绿灯60s，黄灯4s，我国交通法规定：车辆行驶到路口时，绿灯亮才能通行，遇到黄灯亮或红灯亮时必须在路口外停车等候，小李由东往西开车随机地行驶到该路口，按照交通信号灯指示停车等候的概率是 ．
15．（3分）某超市进货商品均加价30%销售，每月月底最后三天打折促销．3月29日小明妈妈在该超市购买的A、B两种商品分别打八折和九折，共付款260元，比标价省了39元，则A、B两种商品的进价分别是 ．
16．（3分）点Q的横坐标为一元一次方程3x+7＝32﹣2x的解，纵坐标为a+b的值，其中a，b满足二元一次方程组2a-b=4-a+2b=-8，则点Q关于y轴对称点Q'的坐标为 ．
17．（3分）如图，点A、B、C、D、E、F在同一平面内，连接AB、BC、CD、DE、EF、PA，若∠ABC＝100°，∠DEF＝130°，∠C＝15°，则∠A+∠D+∠F＝ ．
18．（3分）如图，一次函数y＝kx+b与y＝﹣x+4的图象相交于点P（m，1），若直线y＝kx+b与y轴的交点为（0，﹣1），则一次函数y＝kx+b的表达式是 ．
三.解答题（满分66分）
19．（6分）解方程组：
（1）x+10=yx(1+10%)+1=y-5；
（2）3a+5b+c=154a+7b+c=28a+b=-10．
20．（6分）如图，AB∥CD，AE平分∠BAD，CD与AE相交于F，∠CFE＝∠E．求证：AD∥BC．
21．（8分）振华超市想通过促销来吸引顾客，设立了一个如图的翻奖牌（图1中的奖牌对应的奖品如图2所示，翻到“谢谢惠顾”不得奖，翻到金额数则获得相应的购物券），并规定：顾客一次购买不少于200元的商品，就能获得一次翻奖牌的机会．
（1）某顾客购物消费了220元，获得一次翻奖牌的机会．则该顾客获得100元购物券的概率是 ；获得20元购物券的概率是 ；不获奖的概率是 ；
（2）求顾客平均每次翻奖牌获奖金额（精确到0.1）；
（3）请根据本题题意写出一个事件，使这个事件发生的概率是13．
22．（8分）如图，直线l1：y＝x+1与直线l2：y＝mx+n相交于点P（1，b）．
（1）求b的值；
（2）①不解关于x、y的方程组y=x+1y=mx+n，请你直接写出它的解；
②不受原题意条件限制，若n≠1，则当m＝ 时，方程组y=x+1y=mx+n无解；
（3）直线l3：y＝mx+m是否也经过点P？请说明理由．
23．（8分）为拓展学生视野，某中学组织八年级师生开展研学活动，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出三辆车，且其余客车恰好坐满．现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如下表所示：
（1）参加此次研学活动的师生人数是多少？原计划租用多少辆45座客车？
（2）若租用同一种客车，要使每位师生都有座位，应该怎样租用才合算？
24．（8分）如图，若点D为y轴正半轴上一点，点C为x轴负半轴上一点，点A为x轴正半轴上一点，当AD∥BC时，∠ADO与∠BCA的平分线交于点M，求∠M的度数．
25．（10分）（1）如图1，一边长为2a的正方形木质镖靶，四个角的空白部分是以正方形的顶点为圆心，半径为a的扇形，某人向此镖靶投镖，假设每次都投中，求他投中阴影部分的概率．
（2）如图2，是由边长分别为2a和a的两个正方形组成的图案，若在图案内随机取一点P，则点P恰好在阴影部分的概率是 ．
（3）若一个小玻璃球在如图3所示的地砖图案内自由滚动，甲、乙两人打赌，甲说，小玻璃球一定会停在黑色区域上，乙说，小玻璃球一定会停在白色区域上，你认为谁获胜的概率较大？通过计算说明．
26．（12分）如图①，在△ABC中，BD平分∠ABC，且与△ABC的外角∠ACE的平分线交于点D．
【问题解决】
（1）若∠ABC＝75°，∠ACB＝45°，求∠D的度数；
（2）若∠ABC＝80°，∠A＝60°，则∠D＝ ．
【猜想证明】
（3）当∠ABC和∠ACB在变化，而∠A始终保持不变，则∠D是否变化？为什么？由此你能得出什么结论？（用含有∠A的式子表示∠D）
【拓展提高】
（4）若把∠A截去，得到四边形MNCB，如图②，猜想∠D、∠M、∠N的数量关系，并说明理由．
2024-2025学年山东省烟台市牟平区七年级（下）期中数学试卷（五四学制）
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
一、选择题：（共12个小题，每小题3分，满分36分。每小题都给出标号A、B、C、D的四个备选答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案用2B铅笔在答题卡上涂黑。）
1．（3分）以下四个命题中，真命题是（ ）
A．“任意三角形内角和为180°”是随机事件
B．“烟台市后天会下雨”是确定事件
C．“估计本题的正确率是90%”表示40位考生中一定有36人做对
D．从一副扑克牌随机抽一张，抽到花色是红桃的概率是1354
【分析】分别根据随机事件的定义，概率的意义和概率公式判断即可．
【解答】解：A、“任意三角形内角和为180°”是必然事件，故不符合题意；
B、“烟台市后天会下雨”是随机事件，故不符合题意；
C、“估计本题的正确率是90%”表示40位考生中可能有36人做对，故不符合题意；
D、从一副扑克牌随机抽一张，抽到花色是红桃的概率是1354，故符合题意；
故选：D．
【点评】此题考查了随机事件的定义，概率的意义和概率公式，熟练掌握这些知识点是关键．
2．（3分）关于x，y的方程组3x+y=2m-1，x-y=n的解满足x+y＝1，则4m÷2n的值是（ ）
A．1B．2C．4D．8
【分析】根据方程组①﹣②得，2x+2y＝2m﹣n﹣1，即x+y=2m-n-12，再根据x+y＝1，得2m﹣n＝3，所以4m÷2n＝22m÷2n＝22m﹣n＝23＝8．
【解答】解：∵方程组3x+y=2m-1①x-y=n②，
∴①﹣②得，2x+2y＝2m﹣n﹣1，
∴x+y=2m-n-12，
∵x+y＝1，
∴2m-n-12=1，
∴2m﹣n＝3，
∴4m÷2n＝22m÷2n＝22m﹣n＝23＝8．
故选：D．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法法则，能熟练掌握运算法则是解此题的关键．
3．（3分）一副三角板如图摆放，两块三角板的直角顶点重合，且AB∥OD，则∠1的度数为（ ）
A．75°B．65°C．60°D．55°
【分析】由两直线平行，内错角相等得到∠BOD＝∠B＝45°，再由三角形的外角性质得到，∠1＝∠BOD+∠D，据此求解即可．
【解答】解：由题意可知，
∠B＝45°，∠D＝30°，
∵AB∥OD，
∴∠BOD＝∠B＝45°，
∵∠1＝∠BOD+∠D，
∴∠1＝45°+30°＝75°，
故选：A．
【点评】此题考查了平行线的性质，熟记两直线平行，内错角相等是解题的关键．
4．（3分）如图，O是直线AB上一点，OE平分∠BOD，OF⊥OE，∠D＝100°，李军同学添加了一个条件后，仍不能判定AB∥CD，他添加的条件可能是（ ）
A．∠BOE＝50°B．∠BOE+∠AOF＝90°
C．∠AOF＝40°D．180°﹣∠BOD＝80°
【分析】由平行线的判定方法，即可判断．
【解答】解：A、由OE平分∠BOD，得到∠BOD＝2∠BOE＝100°，因此∠D＝∠BOD，推出AB∥CD，故A不符合题意；
B、由∠BOE+∠AOF＝90°，不能求出任何角的度数，不能判定AB∥CD，故B符合题意；
C、由OF⊥OE，得到∠EOF＝90°，因此∠AOF+∠BOE＝90°，求出∠BOE＝50°，得到∠BOD＝2∠BOE＝100°，
因此∠D＝∠BOD，推出AB∥CD，故C不符合题意；
D、求出∠BOD＝100°，得到∠BOD＝∠D，判定AB∥CD，故D不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查平行线的判定，关键是掌握平行线的判定方法：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
5．（3分）在学校科技宣传活动中，某科技活动小组将3个标有“北斗”，2个标有“天眼”，5个标有“高铁”的小球（除标记外其它都相同）放入盒中，小红从盒中随机摸出1个小球，并对小球标记的内容进行介绍，下列叙述正确的是（ ）
A．摸出“北斗”小球的可能性最大
B．摸出“天眼”小球的可能性最大
C．摸出“高铁”小球的可能性最大
D．摸出三种小球的可能性相同
【分析】分别求出摸出三种小球的概率，再比较大小即可．
【解答】解：∵有3个标有“北斗”，2个标有“天眼”，5个标有“高铁”的小球，
∴小红从盒中随机摸出1个小球，摸出标有“北斗”的概率是33+2+5=310；
摸出标有“天眼”的概率是23+2+5=210；
摸出标有“高铁”的概率是53+2+5=510，
∵510＞310＞210，
∴摸出标有“高铁”小球的可能性最大．
故选：C．
【点评】本题考查的是可能性的大小，根据题意求出摸出各种小球的概率是解题的关键．
6．（3分）已知方程组2x+y=12y+z=-2x+2z=2，则（x+y+z）﹣1的值是（ ）
A．3B．2C．13D．12
【分析】将三个方程相加并整理后求得x+y+z的值，再利用负整数指数幂即可求得答案．
【解答】解：将方程组中的三个方程相加可得3x+3y+3z＝1，
则x+y+z=13，
那么（x+y+z）﹣1＝（13）﹣1＝3，
故选：A．
【点评】本题考查解三元一次方程该组，负整数指数幂，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键．
7．（3分）如图，转盘中四个扇形的面积都相等，任意转动这个转盘1次，当转盘停止转动时，指针落在灰色区域的概率是（ ）
A．14B．13C．12D．34
【分析】首先确定在图中阴影区域的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例即可求出指针落在灰色区域的概率．
【解答】解：∵圆被等分成4份，其中灰色区域占2份，
∴指针落在灰色区域的概率为24=12．
故选：C．
【点评】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．
8．（3分）将含60°角的直角三角板按如图方式摆放，已知m∥n，∠1＝20°，则∠2＝（ ）
A．40°B．30°C．20°D．15°
【分析】由题意可得∠3＝30°，∠A＝90°，从而可得∠ABC＝50°，由平行线的性质可得∠ADE＝∠ABC＝50°，再由三角形的内角和即可求∠2．
【解答】解：如图，
由题意得：∠3＝30°，∠A＝90°，
∴∠ABC＝∠1+∠3＝50°，
∵m∥n，
∴∠ADE＝∠ABC＝50°，
∴∠2＝180°﹣∠A﹣∠ADE＝40°．
故选：A．
【点评】本题主要考查平行线的性质，三角形的内角和定理，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同位角相等．
9．（3分）现有标有数字0，4，5的三张卡片，将这三张卡片任意摆成一个三位正整数，摆出的三位数不是5的倍数的概率是（ ）
A．16B．34C．14D．12
【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及摆出的三位数不是5的倍数的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：画树状图如下：
共有4种等可能的结果，其中摆出的三位数不是5的倍数的结果有：504，共1种，
∴摆出的三位数不是5的倍数的概率为14．
故选：C．
【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式、倍数，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
10．（3分）《九章算术》中有一题：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛．问大、小器各容几何？”译文：今有大容器5个，小容器1个，总容量为3斛（斛：古代容量单位）；大容器1个，小容器5个，总容量为2斛，问大容器、小容器的容量各是多少斛？设大容器的容量为x斛，小容器的容量为y斛，则可列方程组是（ ）
A．x+5y=35x+y=2B．5x+y=3x+5y=2
C．5x=y+3x=5y+2D．5x=y+2x=5y+3
【分析】根据“大容器5个，小容器1个，总容量为3斛；大容器1个，小容器5个，总容量为2斛”，列出关于x、y的二元一次方程组即可．
【解答】解：由题意得：5x+y=3x+5y=2，
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
11．（3分）在同一平面直角坐标系中，一次函数y1＝ax+b（a≠0）与y2＝mx+n（m≠0）的图象如图所示，则下列结论错误的是（ ）
A．y1随x的增大而增大
B．b＜n
C．当x＜2时，y1＞y2
D．关于x，y的方程组ax-y=-bmx-y=-n的解为x=2y=3
【分析】结合图象，逐一进行判断即可．
【解答】解：A、y1随x的增大而增大，故选项A正确；
B、由图象可知，一次函数y1＝ax+b（a≠0）的图象与y轴的交点在y2＝mx+n（m≠0）的图象与y轴的交点的下方，即b＜n，故选项B正确；
C、由图象可知：当x＜2时，y1＜y2，故选项C错误；
D、由图象可知，两条直线的交点为（2，3），
∴关于x，y的方程组ax-y=-bmx-y=-n的解为x=2y=3；
故选项D正确；
故选：C．
【点评】本题考查一次函数的图象和性质，一次函数与二元一次方程组，一次函数与一元一次不等式．从函数图象中有效的获取信息，熟练掌握图象法解方程组和不等式，是解题的关键．
12．（3分）如图，△ABC的角平分线CD、BE相交于F，∠A＝90°，EG∥BC，且CG⊥EG于G，下列结论：
①∠CEG＝2∠DCB；
②∠ADC＝∠GCD；
③CA平分∠BCG；
④∠DFB=12∠CGE．
其中正确的结论是（ ）
A．②③B．①②④C．①③④D．①②③④
【分析】①正确．利用平行线的性质证明即可．
②正确．首先证明∠ECG＝∠ABC，再利用三角形的外角的性质解决问题即可．
③错误．假设结论成立，推出不符合题意即可．
④正确．证明∠DFB＝45°即可解决问题．
【解答】解：∵EG∥BC，
∴∠CEG＝∠BCA，
∵CD平分∠ACB，
∴∠BCA＝2∠DCB，
∴∠CEG＝2∠DCB，故①正确，
∵CG⊥EG，
∴∠G＝90°，
∴∠GCE+∠CEG＝90°，
∵∠A＝90°，
∴∠BCA+∠ABC＝90°，
∵∠CEG＝∠ACB，
∴∠ECG＝∠ABC，
∵∠ADC＝∠ABC+∠DCB，∠GCD＝∠ECG+∠ACD，∠ACD＝∠DCB，
∴∠ADC＝∠GCD，故②正确，
假设AC平分∠BCG，则∠ECG＝∠ECB＝∠CEG，
∴∠ECG＝∠CEG＝45°，显然不符合题意，故③错误，
∵∠DFB＝∠FCB+∠FBC=12（∠ACB+∠ABC）＝45°，12∠CGE＝45°，
∴∠DFB=12∠CGE，故④正确，
故选：B．
【点评】本题考查三角形内角和定理，三角形外角的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
二.填空题（每题3分，共18分）
13．（3分）下列命题：①在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行．②直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离．③三角形三条中线的交点叫做三角形的内心．④角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．⑤同位角相等．其中正确的是 ①④ （填写序号）．
【分析】根据平行线的判定、点到直线的距离的定义、三角形的内心的概念、角平分线的判定、同位角的概念判断即可．
【解答】解：①在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，是真命题；
②直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，故本选项命题是假命题；
③三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，故本选项命题是假命题；
④角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上，是真命题；
⑤两直线平行，同位角相等，故本选项命题是假命题；
故答案为：①④．
【点评】本题考查的是命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
14．（3分）市区某路口东西方向红绿灯的设置时间：红灯40s，绿灯60s，黄灯4s，我国交通法规定：车辆行驶到路口时，绿灯亮才能通行，遇到黄灯亮或红灯亮时必须在路口外停车等候，小李由东往西开车随机地行驶到该路口，按照交通信号灯指示停车等候的概率是 1126 ．
【分析】用等候时间除以总时间即可．
【解答】解：小李由东往西开车随机地行驶到该路口，按照交通信号灯指示停车等候的概率是40+440+60+4=1126，
故答案为：1126．
【点评】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握概率公式．
15．（3分）某超市进货商品均加价30%销售，每月月底最后三天打折促销．3月29日小明妈妈在该超市购买的A、B两种商品分别打八折和九折，共付款260元，比标价省了39元，则A、B两种商品的进价分别是 70元、160元 ．
【分析】设A种商品的进价为x元，B种商品的进价为y元，根据打折后的价格之和及标价之和，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：设A种商品的进价为x元，B种商品的进价为y元，
根据题意得：(1+30%)x+(1+30%)y=260+390.8×(1+30%)x+0.9×(1+30%)y=260，
解得：x=70y=160，
∴A、B两种商品的进价分别是70元、160元．
故答案为：70元、160元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
16．（3分）点Q的横坐标为一元一次方程3x+7＝32﹣2x的解，纵坐标为a+b的值，其中a，b满足二元一次方程组2a-b=4-a+2b=-8，则点Q关于y轴对称点Q'的坐标为 （﹣5，﹣4） ．
【分析】结合已知条件分别求得x，a+b的值，然后根据关于y轴对称的点的坐标性质即可求得答案．
【解答】解：3x+7＝32﹣2x，
移项，合并同类项得：5x＝25，
系数化为1得：x＝5；
2a-b=4①-a+2b=-8②
①+②得：a+b＝﹣4；
则Q（5，﹣4），
那么点Q关于y轴对称点Q'的坐标为（﹣5，﹣4），
故答案为：（﹣5，﹣4）．
【点评】本题考查解一元一次方程及二元一次方程组和关于y轴对称的点的坐标性质，结合已知条件求得x，a+b的值是解题的关键．
17．（3分）如图，点A、B、C、D、E、F在同一平面内，连接AB、BC、CD、DE、EF、PA，若∠ABC＝100°，∠DEF＝130°，∠C＝15°，则∠A+∠D+∠F＝ 215° ．
【分析】连接AC，DF，把凹多边形转变成四边形，然后根据三角形内角和公式和已知条件求出∠1+∠2，∠3+∠4，最后根据四边形的内角和为360°求出答案即可．
【解答】解：如图所示：连接AC，DF，
∵∠DEF+∠1+∠2＝180°，∠DEF＝130°，
∴∠1+∠2＝180°﹣130°＝50°，
∵∠ABC+∠3+∠4＝180°，∠ABC＝100°，
∴∠3+∠4＝180°﹣100°＝80°，
∵∠4+∠BCD+∠3+∠BAF+∠AFE+∠1+∠2+∠CDE＝（4﹣2）×180°＝360°，
∴∠BAF+∠CDE+∠AFE＝360°﹣（∠1+∠2+∠3+∠4+∠BCD）＝360°﹣（50°+80°+15°）＝215°，
故答案为：215°．
【点评】本题主要考查了多边形的内角与外角、三角形内角和，解题关键是添加辅助线，构造四边形．
18．（3分）如图，一次函数y＝kx+b与y＝﹣x+4的图象相交于点P（m，1），若直线y＝kx+b与y轴的交点为（0，﹣1），则一次函数y＝kx+b的表达式是 y=23x-1 ．
【分析】先利用y＝﹣x+4确定P点坐标，然后根据待定系数法即可求解．
【解答】解：把P（m，1）代入y＝﹣x+4得﹣m+4＝1，解得m＝3，
∴P点坐标为（3，1），
把点P（3，1），（0，﹣1）代入y＝kx+b得3k+b=1b=-1，
解得k=23b=-1，
∴一次函数y＝kx+b的表达式是y=23x﹣1．
故答案为：y=23x﹣1．
【点评】本题是两条直线相交问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，交点满足两个函数的解析式是解题的关键．
三.解答题（满分66分）
19．（6分）解方程组：
（1）x+10=yx(1+10%)+1=y-5；
（2）3a+5b+c=154a+7b+c=28a+b=-10．
【分析】（1）将原方程组整理后利用加减消元法解方程组即可；
（2）利用加减消元法解方程组即可．
【解答】解：（1）原方程组整理得x-y=-10①1.1x-y=-6②，
②﹣①得：0.1x＝4，
解得：x＝40，
将x＝40代入①得：40﹣y＝﹣10，
解得：y＝50，
故原方程组的解为x=40y=50；
（2）3a+5b+c=15①4a+7b+c=28②a+b=-10③，
②﹣①得：a+2b＝13④，
④﹣③得：b＝23，
将b＝23代入③得：a+23＝﹣10，
解得：a＝﹣33，
将a＝﹣33，b＝23代入①得：﹣99+115+c＝15，
解得：c＝﹣1，
故原方程组的解为a=-33b=23c=-1．
【点评】本题考查解三元一次方程该组，解二元一次方程组，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键．
20．（6分）如图，AB∥CD，AE平分∠BAD，CD与AE相交于F，∠CFE＝∠E．求证：AD∥BC．
【分析】首先利用平行线的性质以及角平分线的定义得到满足关于AD∥BC的条件，内错角∠2和∠E相等，得出结论．
【解答】证明：∵AE平分∠BAD，
∴∠1＝∠2，
∵AB∥CD，∠CFE＝∠E，
∴∠1＝∠CFE＝∠E，
∴∠2＝∠E，
∴AD∥BC．
【点评】本题考查角平分线的定义以及平行线的性质定理和判定定理．关键是根据平行线的性质以及角平分线的定义解答．
21．（8分）振华超市想通过促销来吸引顾客，设立了一个如图的翻奖牌（图1中的奖牌对应的奖品如图2所示，翻到“谢谢惠顾”不得奖，翻到金额数则获得相应的购物券），并规定：顾客一次购买不少于200元的商品，就能获得一次翻奖牌的机会．
（1）某顾客购物消费了220元，获得一次翻奖牌的机会．则该顾客获得100元购物券的概率是 19 ；获得20元购物券的概率是 49 ；不获奖的概率是 29 ；
（2）求顾客平均每次翻奖牌获奖金额（精确到0.1）；
（3）请根据本题题意写出一个事件，使这个事件发生的概率是13．
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）用奖金分别乘以对应概率，再求和即可；
（3）答案不唯一．
【解答】解：（1）该顾客获得100元购物券的概率是19；获得20元购物券的概率是49；不获奖的概率是29，
故答案为：19、49、29；
（2）因为顾客获得50元购物券的概率是29，
所以顾客平均每次翻奖牌获奖金额为
19×100+49×20+29×50
=2809
≈31.1（元），
所以顾客平均每次翻奖牌获奖金额约为31.1元．
（3）顾客翻奖牌一次，获得50元以上购物券（答案不唯一）．
【点评】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握概率公式．
22．（8分）如图，直线l1：y＝x+1与直线l2：y＝mx+n相交于点P（1，b）．
（1）求b的值；
（2）①不解关于x、y的方程组y=x+1y=mx+n，请你直接写出它的解；
②不受原题意条件限制，若n≠1，则当m＝ 1 时，方程组y=x+1y=mx+n无解；
（3）直线l3：y＝mx+m是否也经过点P？请说明理由．
【分析】（1）将P（1，b）代入y＝x+1，即可得到结论；
（2）①根据题意即可得到结论；
②根据题意即可得到结论；
（3）将P（1，2）代入解析式 y＝mx+n 得，m+n＝2，将 x＝1代入y＝mx+m得y＝m+n，根据m+n＝2，得到y＝2，于是得到P（1，2）也在直线y＝nx+m上．
【解答】解：（1）将P（1，b）代入y＝x+1，得b＝1+1＝2；
（2）①由于P点坐标为（1，2），
所以方程组的解是x=1y=2；
②当m＝1时，方程组y=x+1y=mx+n无解，
故答案为：1；
（3）直线l：y＝nx+m经过点P，
理由：将P（1，2）代入解析式 y＝mx+n 得，m+n＝2，
将 x＝1代入y＝mx+m得y＝m+n，
由于m+n＝2，
所以y＝2，
故P（1，2）也在直线y＝nx+m上．
【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程组，正确地理解题意是解题的关键．
23．（8分）为拓展学生视野，某中学组织八年级师生开展研学活动，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出三辆车，且其余客车恰好坐满．现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如下表所示：
（1）参加此次研学活动的师生人数是多少？原计划租用多少辆45座客车？
（2）若租用同一种客车，要使每位师生都有座位，应该怎样租用才合算？
【分析】（1）本题中的等量关系为：45×45座客车辆数+15＝师生总数，60×（45座客车辆数﹣3）＝师生总数，据此可列方程组求出第一小题的解；
（2）需要分别计算45座客车和60座客车各自的租金，比较后再取舍．
【解答】解：（1）设参加此次研学活动的师生人数是x人，原计划租用y辆45座客车．
根据题意，得45y+15=x60(y-3)=x，
解得x=600y=13．
答：参加此次研学活动的师生人数是600人，原计划租用13辆45座客车；
（2）租45座客车：600÷45≈14（辆），所以需租14辆，租金为200×14＝2800（元），
租60座客车：600÷60＝10（辆），所以需租10辆，租金为300×10＝3000（元），
∵2800＜3000，
∴租用14辆45座客车更合算．
【点评】本题考查二元一次方程的应用，注意租车时最后一辆不管几个人都要用一辆，所以在计算车的辆数时用“收尾法”，而不是“四舍五入”．
24．（8分）如图，若点D为y轴正半轴上一点，点C为x轴负半轴上一点，点A为x轴正半轴上一点，当AD∥BC时，∠ADO与∠BCA的平分线交于点M，求∠M的度数．
【分析】连接CD，先根据平行线的性质得出∠ADO+∠BCO＝90°，进一步得出∠MDO+∠MCO＝45°，再结合∠DCO+∠OCD＝90°及三角形的内角和定理即可解决问题．
【解答】解：连接CD，
∵∠DOA＝90°，
∴∠ADO+∠DAO＝90°．
∵AD∥BC，
∴∠DAO＝∠BCO，
∴∠ADO+∠BCO＝90°．
又∵DM和CM分别平分∠ADO与∠BCA，
∴∠ODM=12∠ADO，∠MCO=12∠BCO，
∴∠ODM+∠OCM=12（∠ADO+∠BCO）＝45°．
∵∠COD＝90°，
∴∠OCD+∠CDO＝90°，
∴∠MCD+∠MDC＝90°+45°＝135°，
∴∠M＝180°﹣135°＝45°．
【点评】本题主要考查了坐标与图形性质，熟知平行线的性质及巧用整体思想是解题的关键．
25．（10分）（1）如图1，一边长为2a的正方形木质镖靶，四个角的空白部分是以正方形的顶点为圆心，半径为a的扇形，某人向此镖靶投镖，假设每次都投中，求他投中阴影部分的概率．
（2）如图2，是由边长分别为2a和a的两个正方形组成的图案，若在图案内随机取一点P，则点P恰好在阴影部分的概率是 25 ．
（3）若一个小玻璃球在如图3所示的地砖图案内自由滚动，甲、乙两人打赌，甲说，小玻璃球一定会停在黑色区域上，乙说，小玻璃球一定会停在白色区域上，你认为谁获胜的概率较大？通过计算说明．
【分析】（1）用阴影部分的面积除以总面积即可；
（2）用阴影部分的面积除以总面积即可；
（3）分别求出两人获胜的概率即可解答．
【解答】解：（1）根据题意，图中正方形的面积为2a×2a＝4a2，
图中阴影部分的面积为：4a2-4×14×π×a2=4a2-πa2，
则它击中阴影部分的概率P=4a2-πa24a2=4-π4；
（2）∵图形的总面积为a2+（2a）2＝5a2，阴影部分面积为5a2﹣（2a+a）×2a÷2＝2a2，
∴点P恰好在阴影部分的概率是：2a25a2=25；
（3）乙获胜的概率大，理由如下：
∵甲获胜的概率为：1232=38，
乙获胜的概率为：2032=58，
∴58＞38，
故乙获胜的概率大．
【点评】.本题考查几何概率的求法，掌握正方形面积和阴影部分面积的计算方法是解题关键．
26．（12分）如图①，在△ABC中，BD平分∠ABC，且与△ABC的外角∠ACE的平分线交于点D．
【问题解决】
（1）若∠ABC＝75°，∠ACB＝45°，求∠D的度数；
（2）若∠ABC＝80°，∠A＝60°，则∠D＝ 30° ．
【猜想证明】
（3）当∠ABC和∠ACB在变化，而∠A始终保持不变，则∠D是否变化？为什么？由此你能得出什么结论？（用含有∠A的式子表示∠D）
【拓展提高】
（4）若把∠A截去，得到四边形MNCB，如图②，猜想∠D、∠M、∠N的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）根据三角形内角和定理以及角平分线的定义进行计算即可；
（2）由三角形内角和定理，角平分线的定义进行计算即可；
（3）由三角形内角和定理，角平分线的定义得到∠D=12∠A；
（4）延长BM、CN交于点A，将问题转化为（3）即可．
【解答】解：（1）∵∠ABC＝75°，BD平分∠ABC，
∴∠DBE=12∠ABC＝37.5°，
又∵∠ACB＝45°，
∴∠ACE＝180°﹣45°＝135°，
∵CD平分∠ACE，
∴∠DCE=12∠ACE＝67.5°，
∴∠D＝∠DCE﹣∠DBC＝67.5°﹣37.5°＝30°，
答：∠D＝30°；
（2）∵BD平分∠ABC，
∴∠DBE=12∠ABC，
∵CD平分∠ACE，
∴∠DCE=12∠ACE，
∴∠D＝∠DCE﹣∠DBC
=12∠ACE-12∠ABC
=12（∠ACE﹣∠ABC）
=12（∠A+∠ABC﹣∠ABC）
=12∠A
＝30°，
故答案为：30°；
（3）不变化，理由如下：
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBE=12∠ABC，
∵CD平分∠ACE，
∴∠DCE=12∠ACE，
∴∠D＝∠DCE﹣∠DBC
=12∠ACE-12∠ABC
=12（∠ACE﹣∠ABC）
=12（∠A+∠ABC﹣∠ABC）
=12∠A，
即∠D=12∠A；
（4）∠D=12（∠M+∠N﹣180°），理由如下：
如图，延长BM、CN交于点A，
则∠A＝180°﹣（∠AMN+∠ANM）
＝180°﹣[360°﹣（∠BMN+∠CNM）]
＝∠BMN+∠CNM﹣180°
∴∠A＝∠BMN+∠CNM﹣180°，
由（3）可得∠D=12∠A，
∴∠D=12（∠M+∠N﹣180°）．
【点评】本题考查多边形的内角与外角，三角形内角和定理以及三角形外角的性质，掌握三角形内角和是180°以及三角形外角的性质是正确解答的关键．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/5/29 9:45:24；用户：微信用户；邮箱：rFmNt3QcqvH1yUWcIP56gQqMIwA@；学号：43879581甲型客车
乙型客车
载客量（人/辆）
45
60
租金（元/辆）
200
300
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
D
D
A
B
C
A
C
A
C
B
C
题号
12
答案
B
甲型客车
乙型客车
载客量（人/辆）
45
60
租金（元/辆）
200
300