山东省烟台招远市2024-2025学年七年级下学期期中考试（五四制）数学试卷（解析版）

这是一份山东省烟台招远市2024-2025学年七年级下学期期中考试（五四制）数学试卷（解析版），共9页。试卷主要包含了 因为，，所以与之间的关系是， 若是方程组的解，则的值为等内容，欢迎下载使用。
一．选择题
1. “篮球运动员投篮一次，投中篮筐”这一事件是（ ）
A. 确定事件B. 必然事件
C. 不可能事件D. 不确定事件
【答案】D
【解析】篮球运动员投篮一次，可能投中篮筐，也可能投不中篮筐．因此“篮球运动员投篮一次，投中篮筐”这一事件是不确定事件．
故选：D
2. 已知方程，用x的代数式表示y正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】，移项得，，
系数化为1得，．
故选：B．
3. 因为，，所以与之间的关系是（ ）
A. B. C. D. 不确定
【答案】A
【解析】∵，，∴；
故选A．
4. 中国象棋文化历史久远，在图中所示的部分棋盘中，“馬”的位置在“”（图中虚线）的下方，“馬”移动一次能够到达的所有位置已用“●”标记，则“馬”随机移动一次，到达的位置在“”上方的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】观察“馬”移动一次能够到达的所有位置，即用“●”标记的有 8 处，位于“”（图中虚线）的上方的有 2 处，
所以“馬”随机移动一次，到达的位置在“”上方的概率是，
故选：B．
5. 若是方程组的解，则的值为（ ）
A. B. 3C. 7D. 10
【答案】C
【解析】把代入方程组，
得：，
解得：，
则．
故选：C．
6. 如图，在下列条件中，能说明的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】A、当时，则，不合题意；
B、当时，不能说明，不合题意；
C、当时，则，符合题意；
D、当时，则，不合题意；
故选：C．
7. 已知方程组与的解相同，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意，的解与方程组，的解相同，
解得：，
把代入方程组：，得：，
解得：，
∴；
故选A．
8. 以下四种沿AB折叠的方法中，不一定能判定纸带两条边线a，b互相平行的是（ ）
A. 如图1，展开后测得∠1=∠2
B. 如图2，展开后测得∠1=∠2且∠3=∠4
C. 如图3，测得∠1=∠2
D. 如图4，展开后再沿CD折叠，两条折痕的交点为O，测得OA=OB，OC=OD
【答案】C
【解析】A．∠1=∠2，根据内错角相等，两直线平行进行判定，故正确，不符合题意；
B．∵∠1=∠2且∠3=∠4，由图可知∠1+∠2=180°，∠3+∠4=180°，
∴∠1=∠2=∠3=∠4=90°，
∴a∥b（内错角相等，两直线平行），故正确，不符合题意；
C．测得∠1=∠2，
∵∠1与∠2即不是内错角也不是同位角，
∴不一定能判定两直线平行，故错误，符合题意；
D．在△AOB和△COD中，
，
∴△AOB≌△COD，
∴∠OAC=∠DBO，
∴a∥b（内错角相等，两直线平行），故正确，不符合题意．
故选C．
9. 现代办公纸张通常以，，，，等标记来表示纸张的幅面规格，一张纸可裁成2张纸或4张纸．现计划将150张纸裁成纸和纸，两者共计400张，设可裁成纸张，纸张，根据题意，可列方程组为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】∵一张纸可裁成2张纸或4张纸．现计划将150张纸裁成纸和纸，两者共计400张，设可裁成纸张，纸张，
∴，
故选：D
10. 如图，在中，平分，点D在的延长线上，平分，且交于点M，若，则的值为（ ）
A. 8B. 16C. 64D. 256
【答案】D
【解析】∵平分，平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，∴；
故选D．
二．填空题
11. “太阳从西方升起”这一事件是________ 事件．（“确定”或“不确定”）
【答案】确定
【解析】依题意，“太阳从西方升起”这一事件是不可能事件，即是确定事件，
故答案为：确定
12. 如图，直线，直线与直线、相交于点M、N，从，，，中任意选取一个角，则所选取的角与互为补角的概率为_____．

【答案】
【解析】∵，
∴，
∵，
∴，
∴与互为补角；
∵，
∴与互为补角；
∴，，，中有2个角与互为补角，
∴从，，，中任意选取一个角，则所选取的角与互为补角的概率为．
故答案为：．
13. 如图，在同一平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，则关于x的方程组的解为___________．
【答案】
【解析】∵直线与直线相交于点，
∴把代入，得，
解得：，∴，
关于x的方程组整理后得，
∴关于x的方程组的解为．
故答案为：．
14. 如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，使点D，C分别落在点M，N的位置，EM与BC交于点G．若，则______．
【答案】110°
【解析】∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DEF＝∠EFG＝55°，∠1＝∠DEG，
∵长方形纸片ABCD，沿EF折叠后，EM与BC的交点为G，点D，C分别落在M，N的位置上，
∴∠DEF＝∠GEF＝55°，
∴∠DEG＝110°，
∴∠1＝110°．
故答案为：110°．
15. 如图，在三角形中，，，，点M是边上的一个动点，连接，则线段长度的最小值是______．
【答案】
【解析】由垂线段最短可知，当时，的长度最短，
∴在中，由勾股定理得：，
由面积公式得：，
即，
解得，；
故答案为：．
16. 已知关于x、y的二元一次方程组，给出下列结论：①当这个方程组的解x、y的值互为相反数时，；②当时，方程组的解也是方程的解；③若用x表示y，则；④无论a取什么实数，的值始终不变．其中正确的结论有___．（填写序号）
【答案】①③④
【解析】，
得：，即，
把代入②得：，
∴该方程组的解为
∵这个方程组的解x、y的值互为相反数时，，
∴，解得：，即①正确；
当时，把代入关于x、y的二元一次方程组
，解得：，
当时，方程为，
把代入，左边，右边，左边右边，
∴当时，方程组解不是方程的解，即②错误；
由①可得：，即，
∴，整理得：．即③正确；
∵由①可得：，
∴，即无论a取什么实数，的值始终不变，即④正确．
综上，结论正确的序号为①③④．
故答案为：①③④．
三．解答题
17. 解下列方程组：
（1）（请用代入消元法来解）
（2）；
解：(1)由①，得，
把③代入②得：，解得，
把代入③，得，
∴原方程组的解为；
(2)原方程组可整理为，
得，解得，
把代入③，得，解得，
∴原方程组的解为．
18. 仔细阅读题目，在括号内横线处填写每一步推理的理由．如图，，相交于点E，，，过A作，垂足为F．
求证：．
证明：∵，．
又，（① ）
∴．（② ）
∴．（③ ）
∴．（④ ）
∵，∴．∴．（⑤ ）
∴．（⑥ ）
证明：∵，．
又，（①对顶角相等）
∴．（②等量代换）
∴．（③内错角相等，两直线平行）
∴．（④两直线平行，内错角相等）
∵，
∴．
∴．（⑤等量代换）
∴．（⑥垂直的定义）
故答案为：①对顶角相等；②等量代换；③内错角相等，两直线平行；④两直线平行，内错角相等；⑤等量代换；⑥垂直的定义．
19. 定义一种新运算“”，规定：，其中a，b为常数，已知，，求的值．
解：∵，，
∴，
解得：，
∴．
20. 如图，中，于点D，平分，点F在的延长线上，过点C作直线，且．求的度数．
解：∵，
∴ ，
∵，
∴
∵平分，
∴，
∵是的外角，
∴，
∵于点D，
∴，
∴．
21. 口袋里有除颜色外其它都相同的7个红球和3个白球．
（1）先从袋子里取出m（）个白球，再从袋子里随机摸出一个球，将“摸出红球”记为事件A．如果事件A是必然事件，则 ；如果事件A是随机事件，则 ；
（2）先从袋子中取出m个白球，再放入m个一样的红球并摇匀，摸出一个球是红球的可能性大小是，求m的值．
(1)解：如果事件是必然事件，则袋子里全是红球，
；
如果事件是随机事件，则袋子里还剩余白球，
或2，
故答案为：3，1或2；
(2)解：由题意，得：，
解得：．
22. 如图，在中，，P为上一点，且，求的度数．（请用两种方法来解决问题）
解：方法一：
∵，∴，
∵是的一个外角，∴，
∵， ∴，
方法二：
∵是的一个外角，∴，
∵，∴，
∴
，
∵， ∴．
23. 我们规定：关于x，y二元一次方程，若满足，则称这个方程为“幸福”方程，例如：方程，其中，满足，则方程是“幸福”方程，把两个“幸福”方程合在一起叫“幸福”方程组，根据上述规定，回答下列问题：
（1）判断方程 “幸福”方程（填“是”或“不是”）；
（2）若关于，的二元一次方程是“幸福”方程，求k的值；
（3）若是关于，“幸福”方程组的解，求的值
解：(1)∵，
∴方程不是“幸福”方程；
故答案为：不是；
(2)由题意，得：，
解得：；
故答案为：4；
(3)由题意，得：，
解得：，
∴原方程组化为：，解得：，
∴，
∴．
24. 某校八年级数学组组织学生进行“数学素养大赛”活动，需购买甲、乙两种奖品．老师发现如果购买甲奖品2个和乙奖品3个需用去88元；如果购买甲奖品3个和乙奖品5个需用去140元．
（1）请求出甲、乙两种奖品的单价各是多少元？
（2）由于临时有变，现只需购买甲奖品，刚好A、B两个商场对甲奖品搞促销活动，其中A商场按原价9折销售；B商场购买不超过6个时按原价销售，超出6个的部分按原价的6折销售，现学校需要购买个甲商品（），设在A商场购买个甲奖品需要元，在B商场购买个甲奖品需要元，请按要求分别写出、与之间的函数关系式；
（3）在(2)的条件下，根据购买数量，请直接写出“去哪个商场购买甲奖品更省钱”的方案．
(1)解：设甲种奖品的单价是元，乙种奖品的单价是元，
由题意得：，解得：．
答：甲种奖品的单价是元，乙种奖品的单价是元．
(2)解：由题意可得，在A商场购买x个甲奖品需要；
由于，则在B商场购买x个甲奖品需要．
综上，、与之间的函数关系式，．
(3)解：令，解得：；
当时，解得：；
当时，解得：．
答：当购买甲奖品的数量超过6个，小于8个时到A商场购买更省钱；当购买甲奖品的数量等于8个时到两个商场购买价格相同；当购买甲奖品的数量超过8个时到B商场购买更省钱．
25. 【问题初探】
在数学课上，王老师出示了这样一道题：
如图1，已知，点E，F分别在上，，求的度数．同学们经过小组讨论后，勤奋小组、创新小组、拼搏小组用不同的方法添加辅助线，交流了自己的想法：勤奋小组：“如图2，通过作平行线，发现，由已知，可以求出的度数．”创新小组：“如图3，作平行线，经过推理，得，也能求出的度数．”拼搏小组：“如图4，也能求出的度数．”
【解决问题】
（1）请你根据勤奋小组的同学所画的图形（图2），描述辅助线的做法，辅助线为： ．
（2）这三种解法的共同点，都是过一点作平行线来解决问题，三种解题思路都利用了平行线的“等角转化”的功能，这种解题思路体现了 数学思想．（从分类讨论、数形结合、转化选一个）
（3）请你根据以上创新小组所画的图3或者拼搏小组所画的图4选择其中一种图的方法求出∠2的度数．
【学以致用】
（4）为了帮助同学们更好的感悟其中的思想方法，王老师又提出了一个问题，请你解答：如图5，，，，请探究与的数量关系（用含的式子表示）．
解：（1）勤奋小组的同学辅助线的做法为：过点作；
故答案为：过点作；
（2）三种解题思路都利用了平行线的“等角转化”的功能，它体现了转化数学思想．
故答案为：转化；
（3）如图3，过点作，
∵，∴，即，
∵，，，，
，，
，，
如图4，过点作，
则，
∵，，
，，
，
，
，
；
（4）设，，
过点作，
，，
∵，
∴，
，
，
由，
，
，
即．