2022-2023学年山东省烟台市牟平区七年级（下）期末数学试卷（五四学制）（含解析）

2022-2023学年山东省烟台市牟平区七年级（下）期末数学试卷（五四学制）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列说法不正确的是(    )

A. 有两个角是锐角的三角形是直角或钝角三角形
B. 有两条边上的高相等的三角形是等腰三角形
C. 有两个角互余的三角形是直角三角形
D. 底和腰相等的等腰三角形是等边三角形

2.  下列命题是真命题的是(    )

A. 若且，则
B. “煮熟的鸭子飞了”是一个随机事件
C. 三角形的内心是它的三条边的垂直平分线的交点
D. 任意投掷一枚质地均匀的硬币次，出现正面朝上的次数一定是次

3.  若，则下列不等式中正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  在同一平面直角坐标系中，直线与相交于点，则关于，的方程组的解为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  张背面相同的卡片，正面分别写有不同的从到的一个自然数．现将卡片背面朝上，从中任意抽出一张，正面的数是偶数的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，直线，，，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，一次函数、为常数，且的图象与直线都经过点，当时，根据图象可知，的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  若等腰三角形的两边长分别是和，则这个等腰三角形的周长是(    )

A.  B.  C. 或 D. 或

9.  在探究证明“三角形的内角和是”时，综合实践小组的同学作了如图所示四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是(    )

A. 过作
B. 延长到，过作
C. 作于点
D. 过上一点作，

10.  关于的不等式组无解，则的最大值是(    )

A.  B.  C.  D.

11.  如图，中，、、分别是、、的中点一只蚂蚁在区域内爬行，它踩到空白部分的概率为(    )

A.
B.
C.
D.

12.  如图，小明家仿古家具的一块三角形形状的玻璃坏了，需要重新配一块．小明通过电话给玻璃店老板提供相关数据，为了方便表述，将该三角形记为，提供下列各组元素的数据，配出来的玻璃不一定符合要求的是(    )
 

A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

13.  如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点、作直线，交于点，交于点，连接若，，，则的周长为______ ．

14.  一个袋中装有个红球，个黄球，个白球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一个球，摸到黄球的概率与不是黄球的概率相同，那么与的数量关系是______ ．

15.  五一小长假，小亮和家人到公园游玩湖边有大小两种游船，小亮发现艘大船与艘小船一次共可以满载游客人，艘大船与艘小船一次共可以满载游客人则艘大船与艘小船一次共可以满载游客的人数为______ ．

16.  关于的不等式组恰有个整数解，则的取值范围是______ ．

17.  如图，函数和的图象交于点，则关于的不等式的解集为______ ．

18.  如图，点、在长方形纸片的边上，点、在边上，分别沿、折叠，点和点都落在点处若，则的度数为______ ．

 

三、解答题（本大题共9小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
解不等式：；
解关于，的方程组：．

20.  本小题分
已知不等式组：．
解不等式组并将不等式的解集在数轴上表示出来；
求不等式组最小整数解与最大整数解的和．

21.  本小题分
如图，在中，，垂足为，点在上，，垂足为．
与平行吗？为什么？
如果，且，求的度数．

22.  本小题分
年月日至日冬季奥运会在北京举行．某商店特购进冬奥会纪念品“冰墩墩”摆件和挂件共个进行销售．已知“冰墩墩”摆件的进价为元个，“冰墩墩”挂件的进价为元个．
若购进“冰墩墩”摆件和挂件共花费了元，请分别求出购进“冰墩墩”摆件和挂件的数量．
该商店计划将“冰墩墩”摆件售价定为元个，“冰墩墩”挂件售价定为元个，若购进的个“冰墩墩”摆件和挂件全部售完，且至少盈利元，求购进的“冰墩墩”挂件不能超过多少个？

23.  本小题分
如图，在矩形中，是对角线．
实践与操作：利用尺规作线段的垂直平分线，垂足为点，交边于点，交边于点要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母．
猜想与证明：试猜想线段与的数量关系，并加以证明．

24.  本小题分
投掷一枚质地均匀的正方体骰子．
下列事件是确定事件的有______ 填序号
向上一面点数为点和点的可能性一样大；
投掷次，向上一面点数为点的一定会出现次；
连续投掷次，向上一面的点数之和不可能等于；
如果小明连续投掷了次，其中有次出现向上一面点数为点，这时小明说：投掷正方体骰子，向上一面点数为点的概率是，你同意他的说法吗？说明理由；
为了估计投掷正方体骰子出现点朝上的概率，小亮采用转盘来代替骰子做实验如图是一个可以自由转动的转盘，请将转盘分为个扇形区域，分别涂上红、白两种颜色，使得转动转盘，当转盘停止转动后，指针落在红色区域的概率与投掷正方体骰子出现点朝上的概率相同注：在转盘上用文字注明颜色和扇形圆心角的度数

25.  本小题分
某单位准备购买某文化用品，现有甲、乙两家超市进行促销活动，该文化用品两家超市的标价均为元件，甲超市一次性购买金额不超过元的不优惠，超过元的部分按标价的折售卖；乙超市全部按标价的折售卖．
若该单位需要购买件这种文化用品，则在甲超市的购物金额为______元，在乙超市的购物金额为______元；
假如你是该单位的采购员，你认为选择哪家超市支付的费用较少？

26.  本小题分
问题情境：
在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线，和一块含角的直角三角尺”为主题开展数学活动．
操作发现：
如图，小明把三角尺的角的顶点放在上，若，求的度数；
如图，小颖把三角尺的两个锐角的顶点、分别放在和上，请你探索并说明与之间的数量关系；
结论应用：
如图，小亮把三角尺的直角顶点放在上，角的顶点落在上．若，则等于______用含的式子表示．

 

27.  本小题分
如图，在等边三角形中，点为边上任意一点，延长至点，使，连接交于点，于点．
求证：；
若，求线段的长结果用含的代数式表示．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：有两个角是锐角的三角形，第三个角可能是锐角，直角或钝角，
有两个角是锐角的三角形可能是锐角三角形，直角三角形或钝角三角形；故A不正确，符合题意；
有两条边上的高相等的三角形是等腰三角形，故B正确，不符合题意；
有两个角互余的三角形是直角三角形，故C正确，不符合题意；
底和腰相等的等腰三角形是等边三角形，故D正确，不符合题意；
故选：．
根据直角三角形概念可判断，，由等腰三角形，等边三角形定义可判断，．
本题考查三角形及分类，掌握直角三角形，等腰三角形，等边三角形等概念是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：若且，则，正确，是真命题，符合题意；
B.“煮熟的鸭子飞了”是一个不可能事件，故不正确，是假命题，不符合题意；
 三角形的内心是它的三个角平分线的交点，故不正确，是假命题，不符合题意；
 任意投掷一枚质地均匀的硬币次，出现正面朝上的次数不一定是次，故不正确，是假命题，不符合题意；
故选：．
根据不等式的性质，事件的分类，三角形内心的定义，可能性的大小逐项分析即可．
本题考查了命题的真假，熟练掌握不等式的性质，事件的分类，三角形内心的定义，可能性的大小是解答本题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：、，
，
故A不符合题意；
B、，
，
故B不符合题意；
C、，
，
，
，
故C不符合题意；
D、，
，
，
故D符合题意；
故选：．
根据不等式的性质进行计算，逐一判断即可解答．
本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：将点代入，
得，
，
关于，的方程组的解为，
故选：．
先将点代入，求出，即可确定方程组的解．
本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，求出两直线的交点坐标是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：因为到共个自然数．是偶数的有个，
所以正面的数是偶数的概率为．
故选：．
让正面的数字是偶数的情况数除以总情况数即为所求的概率．
此题主要考查了概率公式的应用，明确概率的意义是解答的关键，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．
 

6.【答案】 

【解析】解：如图，

，，
，
，
，
故选：．
根据平行线的性质得出，根据对顶角相等得出，根据三角形外角性质求解即可．
此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：由图象可得，
当时，直线在一次函数的上方，
当时，的取值范围是，
故选：．
根据题意和函数图象，可以写出当时，的取值范围．
本题考查一次函数与一元一次不等式之间的关系，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查等腰三角形的性质及三角形的三边关系，对腰长和底边长进行分类讨论是解题的关键．
分：当是腰长时，当是腰长时，两种情况进行讨论，再用三角形的三边关系验证即可．
【解答】
解：当是腰长时，，，能组成三角形，此时这个等腰三角形的周长是；
当是腰长时，，，能组成三角形，此时这个等腰三角形的周长是．
则这个等腰三角形的周长是或．
故选：．  

9.【答案】 

【解析】解：由，则，，由，得，故A不符合题意；
B.由，则，，由，得，故B不符合题意；
C.由于，则，无法证得三角形内角和是，故C符合题意；
D.由，得，，由，得，，那么，由，得，故D不符合题意．
故选：．
本题运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义解决此题．
本题主要考查三角形内角和的定理的证明，熟练掌握转化的思想以及平角的定义是解决本题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：由得：，
由得：，
不等式组无解，
，
则的最大值为，
故选：．
分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组的解集可得答案．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：连接，
点是的中点，
，
点是的中点，
，
，
同理，，
，
一只蚂蚁在区域内爬行，它踩到空白部分的概率为．
故选：．
根据题意可知空白部分的面积是面积的七分之一，则蚂蚁踩到空白部分的概率为七分之一．
本题考查了几何概型的概率求法，利用面积求概率是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】

【分析】此题主要考查了全等三角形的应用，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键．直接利用全等三角形的判定方法分析得出答案．
【解答】
解：根据三边分别相等的两个三角形全等，三角形形状确定，故此选项不合题意；
根据两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，三角形形状确定，故此选项不合题意；
．，，，无法确定三角形的形状，故此选项符合题意；
根据两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，三角形形状确定，故此选项不合题意，
故选：．  

13.【答案】 

【解析】解：由题意可得，
垂直平分，
，
的周长是，
，
，，
，
的周长是，
故答案为：．
根据题意可知垂直平分，即可得到，然后即可得到，从而可以求得的周长．
本题考查线段垂直平分线的性质，三角形的周长，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

14.【答案】 

【解析】解：任意摸出一个球，摸到黄球的概率与不是黄球的概率相同，
黄球与不是黄球的个数相等，
，
故答案为：．
由任意摸出一个球，摸到黄球的概率与不是黄球的概率相同，知黄球与不是黄球的个数相等，据此可得答案．
本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件的概率事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数．
 

15.【答案】 

【解析】解：设一艘大船可以载客人，一艘小船可以载客人，
由题意可得：，
解得，
即一艘大船可以载客人，一艘小船可以载客人，
艘大船与艘小船一次共可以满载游客的人数为：，
故答案为：．
根据艘大船与艘小船一次共可以满载游客人，艘大船与艘小船一次共可以满载游客人，可以列出相应的方程组，然后求解即可．
本题考查二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
 

16.【答案】 

【解析】解：，
解得：，
解得：．
不等式组恰有个整数解，
不等式组的整数解是：，，．
，
．
故答案为：．
首先解不等式组，即可确定不等式组的整数解，即可确定的范围．
本题考查了不等式组的整数解，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
 

17.【答案】 

【解析】解：函数经过点，
，
解得：，
则关于的不等式可以变形为，
由图象得：的解集为．
故答案为：．
首先将点的坐标代入正比例函数中求得的值，然后结合图象直接写出不等式的解集即可．
本题考查了一次函数与一元一次不等式的知识，解题的关键是求得的值，然后利用数形结合的方法确定不等式的解集．
 

18.【答案】 

【解析】解：长方形，
，
，，
，
由折叠得：，，
，
，
在中，
，
故答案为：．
根据平行线的性质得到，由折叠得：，，从而得到与的和．利用两个平角求出与的和，最后根据三角形内角和等于即可求出答案．
本题考查了平行线的性质和三角形内角和定理，解决本题的关键是掌握平行线的性质．
 

19.【答案】解：，
去分母，得：，
移项得：，
合并同类项，得：；
方程组整理得，
得：，
解得：，
把代入得，
解得：，
原方程组的解为：． 

【解析】按照解一元一次不等式的步骤进行计算，即可解答；
利用加减消元法进行计算，即可解答．
本题考查了解一元一次不等式，解二元一次方程组，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

20.【答案】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：

该不等式的最小整数解为，最大整数解为，
所以最小整数解与最大整数解的和为． 

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，继而表示在数轴上即可；
结合不等式组解集得出其最小整数解与最大整数解，继而相加可得答案．
本题考查的是一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

21.【答案】，理由如下：
，，
，
；

解：，
，
，
，
，
． 

【解析】根据垂直得出，根据平行线的判定得出即可；
根据平行线的性质得出，求出，根据平行线的判定得出，根据平行线的性质得出即可．
本题考查了平行线的性质和判定的应用，能正确运用平行线的性质和判定定理进行推理是解此题的关键，难度适中．
 

22.【答案】解：设购进“冰墩墩”摆件个，“冰墩墩”挂件个，
依题意得：，
解得：．
答：购进“冰墩墩”摆件个，“冰墩墩”挂件个．
设购进“冰墩墩”挂件个，则购进“冰墩墩”摆件个，
依题意得：，
解得：．
答：购进的“冰墩墩”挂件不能超过个． 

【解析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
设购进“冰墩墩”摆件个，“冰墩墩”挂件个，利用进货总价进货单价进货数量，结合购进“冰墩墩”摆件和挂件共个且共花费了元，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设购进“冰墩墩”挂件个，则购进“冰墩墩”摆件个，利用总利润每个的销售利润销售数量购进数量，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
 

23.【答案】解：如图，

，证明如下：
四边形是矩形，
，
，，
是的垂直平分线，
，
在和中，
，
≌，
． 

【解析】利用尺规作图线段垂直平分线的作法，进行作图即可；
利用矩形的性质求证，，由线段的垂直平分线得出，即可证明≌，进而得出．
本题考查了基本作图，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握线段垂直平分线的作法，矩形的性质，全等三角形的判定方法是解决问题的关键．
 

24.【答案】 

【解析】解：投掷一枚质地均匀的正方体骰子，
向上一面点数为点和点的可能性一样大，此选项正确；
投掷次，向上一面点数为点的不一定会出现次，故此选项错误；
连续投掷次，向上一面的点数之和不可能等于，此选项正确；
故答案为：；
不同意，
小明投掷正方体骰子，向上一面点数为点的频率，不是概率．
一般地，在一定条件下大量重复同一试验时，随机事件发生的频率会在某个常数
附近摆动，只有当试验次数很大时，才能以事件发生的频率作为概率的估计值．
本题答案不唯一，如图所示：
．
直接利用随机事件的意义分析得出即可；
根据在一定条件下大量重复同一试验时，随机事件发生的频率会在某个常数附近摆动，只有当试验次数很大时，才能以事件发生的频率作为概率的估计值；
利用已知结合圆心角度数分割扇形即可．
此题主要考查了概率的意义以及利用频率估计概率等知识，正确把握概率意义是解题关键．
 

25.【答案】解：，；
设购买件这种文化用品．
当时，在甲超市的购物金额为元，在乙超市的购物金额为元，
，
选择乙超市支付的费用较少；
当时，在甲超市的购物金额为元，在乙超市的购物金额为元，
若，则；
若，则；
若，则．
综上，当购买数量不足件时，选择乙超市支付的费用较少；当购买数量为件时，选择两超市支付的费用相同；当购买数量超过件时，选择甲超市支付的费用较少． 

【解析】

【分析】
本题考查了一元一次不等式的应用，根据两超市给出的优惠方案，用含的代数式表示出在两家超市的购物金额是解题的关键．
利用总价单价数量，可求出购买件这种文化用品所需费用，再结合两超市给出的优惠方案，即可求出在两家超市的购物金额；
设购买件这种文化用品，当时，在甲超市的购物金额为元，在乙超市的购物金额为元，显然在乙超市支付的费用较少；当时，在甲超市的购物金额为元，在乙超市的购物金额为元，分，及三种情况，可求出的取值范围或的值，综上，即可得出结论．
【解答】
解：元，，
在甲超市的购物金额为元，在乙超市的购物金额为元．
故答案为：，；
见答案．  

26.【答案】如图，，
，
又，
，
又，
，
；
如图，，
，
即，
又，
；
． 

【解析】

解：
见答案；
见答案；
如图，，
，
即，
又，，，
．
故答案为：．
【分析】
依据，可得，再根据，，即可得出，进而得到；
根据，可得，再根据，即可得到；
依据，可得，再根据，，，即可得到．
本题主要考查了平行线的性质的运用，解决问题的关键是掌握：两直线平行，同旁内角互补．  

27.【答案】证明：过点作，交于点，如图所示：

在等边中，，
，
，，，
是等边三角形，
，
，
，
在和中，
，
≌，
；
解：是等边三角形，且，
，
≌，
，
，
，，
 

【解析】过点作，交于点，根据等边三角形的性质以及平行线的性质可得，可得是等边三角形，易证≌，即可得证；
根据等边三角形的性质可知，根据全等三角形的性质可知，即可表示出的长．
本题考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，平行线的性质等，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．