甘肃省定西市岷县2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷（解析版）

这是一份甘肃省定西市岷县2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷（解析版），共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1. 已知两点，，且直线AB的倾斜角为，则a的值为（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】D
【解析】因直线AB的倾斜角为，则直线AB的斜率不存在， 则A，B两点横坐标相等，故.
故选：D
2. 等差数列的前项和为，公差，，则（ ）
A. -2B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意得，解得.
故选：D.
3. 抛物线的准线方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】抛物线方程化成标准方程为：，
所以，且抛物线开口向上，所以抛物线准线为：.
故选：B.
4. 从4个男生2个女生中任选3个人参加一个活动，所有选择的方法有（ ）种.
A. 120种B. 60种C. 20种D. 40种
【答案】C
【解析】从4个男生2个女生中任选3个人参加一个活动有种方法.
故选：C.
5. 的展开式中的系数为（ ）
A. 60B. 50C. 40D. 20
【答案】A
【解析】的展开式的通项为，
则的展开式中的系数为.
故选：A
6. 已知数列满足，，则（ ）
A. 2B. 1C. D. -1
【答案】C
【解析】由，，
得，，，，，…，
由此不难发现，数列的项具有周期性，且最小正周期为3，
故.
故选：C.
7. 中国空间站（China Space Statin）的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.2022年10月31日15：37分，我国将“梦天实验舱”成功送上太空，完成了最后一个关键部分的发射，“梦天实验舱”也和“天和核心舱”按照计划成功对接，成为“T”字形架构，我国成功将中国空间站建设完毕.2023年，中国空间站将正式进入运营阶段.假设空间站要安排甲、乙等6名航天员开展实验，三舱中每个舱至少一人至多三人，则不同的安排方法有（ ）
A. 450种B. 72种C. 90种D. 360种
【答案】A
【解析】由题知，6名航天员安排三舱，
三舱中每个舱至少一人至多三人，
可分两种情况考虑：
第一种：分人数为的三组，共有种；
第二种：分人数为的三组，共有种；
所以不同的安排方法共有种.
故选：A.
8. 已知椭圆（）在左、右焦点分别为，，倾斜角为且过原点的直线交椭圆于，两点，若，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如图所示，因为，且分别为和的中点，
所以四边形为矩形，又因为直线过原点且倾斜角为，
即，，
所以为等边三角形，所以，
在中，可得，即，
所以，可得，
所以椭圆的离心率为.
故选：B.
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知直线与圆，则下列说法正确的是（ ）
A. 直线l恒过定点
B. 圆M的圆心坐标为
C. 存在实数k，使得直线l与圆M相切
D. 若，直线l被圆M截得的弦长为2
【答案】AB
【解析】变形为，故恒过定点，A正确；
变形为，圆心坐标为，B正确；
令圆心到直线的距离，
整理得：，由可得，方程无解，
故不存在实数k，使得直线l与圆M相切，C错误；
若，直线方程为，圆心在直线上，
故直线l被圆M截得的弦长为直径4，D错误.
故选：AB.
10. 数列的前项和为，且，下列说法正确的是（ ）
A. 若数列为等差数列，则的公差为1
B. 若数列为等差数列，则的首项为1
C.
D.
【答案】ACD
【解析】若数列为等差数列，则可设，
所以 ，
所以解得，，
所以，所以数列的首项为0，公差为1，故A正确，B错误；
对于C，
，故C正确；
对于D， ，
因为，
即，故D正确.
故选：ACD.
11. 我国南宋数学家杨辉年所著的《详解九章算法》就给出著名的杨辉三角， 由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.如图所示，由杨辉三角的左腰上的各数出发，引一组平行线，从上往下每条线上各数之和依次为.以下关于杨辉三角的猜想中正确的是（ ）
A. 由 “与首末两端等距离的两个二项式系数相等” 猜想
B. 由 “在相邻两行中， 除以外的每个数都等于它肩上的两个数字之和猜想 ；
C. 第条斜线上各数字之和为；
D. 在第条斜线上， 各数从左往右先增大后减少
【答案】ABD
【解析】根据二项式系数的性质，结合杨辉三角即可得，成立，故AB选项正确；
对于CD选项，第1条斜线上的数为，第2条斜线上的数为，
第3条斜线上的数为，第4条斜线上的数为，
第5条斜线上的数为，第6条斜线上的数为，
第7条斜线上的数为，
由此，归纳得到：第条斜线上的数依次为：
第条斜线上的数依次为：
所以，第条斜线上各数字为：，
和为，故C错误；
在第条斜线上， 各数从左往右先增大后减少，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知是首项为负数，公比为q的等比数列，若对任意的正整数n，恒成立，则q的值可以是____________________．（只需写出一个）
【答案】-3（答案不唯一，即可）
【解析】由可得，恒成立，
因为，显然有，
又，所以，.
13. 二项式的展开式中常数项为，则含项的系数为_____.
【答案】15
【解析】二项式的展开式的通项公式为，
令，求得，
由展开式中常数项为，得，解得.
令，求得，
所以含项的系数为.
14. 直线与双曲线（）相交于，两点，且，两点的横坐标之积，则双曲线的离心率为_____.
【答案】
【解析】由，两点在直线上，设（），
由对称性可知，
，两点关于原点对称，所以，
由，两点的横坐标之积为，得，解得，
所以，代入双曲线方程得，解得，
所以，
所以离心率为.
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15. 已知直线过点.
（1）若直线在轴上的截距为3，求直线的方程；
（2）若直线与直线平行，且两条平行线间的距离为，求.
解：（1）由条件可知，直线过点和，
所以直线的斜率，
所以所求直线的方程为，即.
（2）设所求的直线的方程为，
则有，得，即直线的方程为，
∵与直线间的距离为，
∴，整理可得.
又，∴.
16. 已知二项式.
（1）求二项展开式中的常数项；
（2）记二项展开式中奇数项系数之和为，偶数项系数之和为，求.
解：（1）的二项展开式的通项为，
令，得，
所以的二项展开式中的常数项为.
（2）的二项展开式中奇数项系数之和为，偶数项系数之和为，
因为的二项展开式的通项为，
所以，，
.
17. 已知数列的前项和为，满足，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前20项和.
解：（1）∵数列的前项和为满足，
，而，
数列是首项为1，公差为1的等差数列，
，即，
当时，，显然也满足上式，
.
（2）由（1）知，，
，
.
18. （1）用0，1，2，3，4，5可以组成多少个无重复数字的五位数？
（2）用0，1，2，3，4，5这六个数字组成无重复数字的六位数，若所有的六位数按从小到大的顺序组成一个数列，则240135是第几项．
解：（1）由于是五位数，首位数字不能为0，
首位数字有种排法；
其它位置有种排法；
所以，用0，1，2，3，4，5可以组成个无重复数字的五位数.
（2）由于是六位数，首位数字不能为0，
首位数字为1有个数，
首位数字为2，万位上为0，1，3中的一个有个数，
∴从小到大排列，240 135是第＋＋1＝193个，
即所有的六位数按从小到大的顺序组成一个数列，240 135是数列的第193项
19. 设F为双曲线（，）的右焦点，O为坐标原点，以为直径的圆与圆交于P，Q两点，满足．
（1）求C的离心率；
（2）若，点A在双曲线C上，点B在直线上，满足，试判断直线与圆O的位置关系，并说明理由．
解：（1）由，即也是以为直径的圆的一条直径，所以与相互垂直平分，又在圆上，所以，
又，所以.
（2）直线与圆O相切，理由如下：
由题设，双曲线，且圆，，半径，
令且，，则，，
又，所以，则，
则直线，
整理得，
所以到直线距离，
又，
则，
所以直线与圆O相切.