2024-2025学年甘肃省定西市陇西一中高二（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年甘肃省定西市陇西一中高二（下）期末数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数z满足z⋅(1+i)=4+3i，则|z|=( )
A. 5 22B. 52C. 22D. 12
2.已知集合A={−2,−1,0,1}，B={x|x2≤3}，则A∩B=( )
A. {−1,0,1}B. {0,1}C. {−1,1}D. {0,1,2}
3.已知f(x)=ax2+(b−3)x+3，x∈[a2−2,a]是偶函数，则a+b=( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
4.如图，在正方体ABCD−A ​1B ​1C ​1D ​1中，若E，F分别是棱AA ​1和AB的中点，则EF和BC ​1所成的角是 ( )
A. 30°B. 60°C. 45°D. 120°
5.已知α是第四象限角，若tan(α−π4)=−7，则sin2α=( )
A. 2425B. 1225C. −1225D. −2425
6.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinB−sinA=13sinC，4sinA−3sinB=0，则csA=( )
A. 12B. 23C. 34D. 45
7.深受广大球迷喜爱的NBA某队在对球员的使用上总是进行数据分析，根据以往的数据统计，甲球员能够胜任大前锋、小前锋、组织后卫以及得分后卫四个位置，且出场率分别为0.2，0.5，0.2，0.1，当甲球员担当大前锋、小前锋、组织后卫以及得分后卫时，球队输球的概率依次为0.4，0.2，0.6，0.2.当甲球员参加比赛时，该球队某场比赛不输球的概率为( )
A. 0.3B. 0.32C. 0.68D. 0.7
8.已知双曲线E：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F，过F作过第一象限的渐近线的垂线，垂足为M，交另一条渐近线于点N，若FM=16FN，则E的离心率为( )
A. 4 155B. 2 155C. 5D. 2 5
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知圆C：x2+y2−2x+2y+λ=0，则下列结论正确的是( )
A. λ的取值范围为(−∞,1]
B. 圆C关于直线x+y=0对称
C. 若直线x+y+1=0被圆C截得的弦长为 2，则λ=2
D. 若λ=1，过点A(0,1)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|=2
10.已知正实数a，b满足a+b=2，则下列不等式恒成立的为( )
A. ab≤1B. a2+b2≥2C. 1a+2b≥3D. a+ b≤2
11.抛物线有如下光学性质：从焦点发出的光线，经抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴.已知抛物线E：x2=4y的焦点为F，准线为l，A，B为抛物线E上两个动点，且F，A，B三点不共线，抛物线E在A，B两点处的切线分别为l1，l2，l1∩l2=T，A，B在l上的射影点分别为A1，B1，则( )
A. 点F关于l1的对称点在l上B. 点T在l上
C. 点T为△FA1B1的外心D. FT⊥AB
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若向量a，b的夹角150°，|a|= 3，|b|=4，则|a+b|= ______．
13.一个盒子里有1个红1个绿2个黄四个相同的球，每次拿一个，记下颜色后放回，一共拿4次，设拿出黄球的次数为ξ，则E(ξ)=______．
14.对任意φ∈[0,π4]，函数f(x)=sin(ωx+φ)在区间[π2,π]上单调递增，则实数ω的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
2025年3月30日，第20届亚洲马拉松锦标赛在浙江嘉兴盛大启幕.为了解观众的观赛体验，从现场随机抽取了200位观众开展相关调查，得到满意率为80%．
(1)根据所给数据，完成2×2列联表；
(2)在(1)的条件下，依据小概率值α=0.005的独立性检验，能否认为性别与满意度有关联？
附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n=a+b+c+d．
16.(本小题15分)
在数列{an}中，已知a1=1,an=−13an+1，数列{bn}为等差数列，b1+a2=0，b4=a3．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{bn}的通项公式；
(3)求数列{anbn}的前n项和Sn．
17.(本小题15分)
已知点A( 2,1)是离心率为 22的椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的一点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)点P在椭圆上，点A关于坐标原点的对称点为B，直线AP和BP的斜率都存在且不为0，试问直线AP和BP的斜率之积是否为定值？若是，求此定值；若不是，请说明理由．
18.(本小题17分)
如图，在边长为8的正方形ABCD中，点E、F分别是AB、BC上的点，BE=BF=2，将△AED，△DCF分别沿DE，DF折起，使点A，C重合于点M．

(1)求证：平面MEF⊥平面MBD；
(2)求二面角B−DF−M的正弦值．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=aex−1−x−1．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)当f(x)+x−lnx≥0恒成立时，求a的取值范围；
(3)证明：i=1ne1i>ln(n+1)+n．
答案解析
1.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查复数的基本运算，属于基础题．
根据复数的除法运算表示z，结合复数的模长公式可得结果．
【解答】
解：由复数z满足z⋅(1+i)=4+3i，
得：z=4+3i1+i=(4+3i)(1−i)(1+i)(1−i)=7−i2=72−12i，
所以|z|= (72)2+(−12)2=5 22．
故选：A．
2.【答案】A
【解析】解：∵B={x|x2≤3}={x|− 3≤x≤ 3}，且A={−2,−1,0,1}，
∴A∩B={−1,0,1}．
故选：A．
先解一元二次不等式得出集合，再应用交集定义计算求解．
本题考查交集及其运算，考查不等式的解法，是基础题．
3.【答案】D
【解析】解：∵定义域应关于原点对称，
故有a2−2=−a，
得a=1或a=−2(舍去)．
又∵f(−x)=f(x)恒成立，
即：ax2−(b−3)x+3=ax2+(b−3)x+3，
∴b=3．
a+b=4．
故选：D．
先由“定义域应关于原点对称”则有，又f(−x)=f(x)恒成立，用待定系数法可求得b．
本题主要考查函数的奇偶性定义，首先定义域要关于原点对称，二是研讨f(x)与f(−x)的关系，属中档题．
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了异面直线所成角的作法及求法，作出角是关键，属基础题．
连接A1B，则A1B//EF，则∠A1BC1为异面直线EF与BC1所成角，再在正△BA1C1中即可得解．
【解答】
解：连接A1B、A1C1，则A1B//EF，
则∠A1BC1为异面直线EF与BC1所成角，
在正△BA1C1中，∠BA1C1=60°，
故选：B．
5.【答案】D
【解析】解：由题意可得tanα−11+tanα=−7，解得tanα=−34，
所以sinαcsα=−34，
由于α是第四象限角，可得sinα0，
又因为sin2α+cs2α=1，
所以sinα=−35,csα=45,
可得sin2α=2sinαcsα=2×(−35)×45=−2425．
故选：D．
利用差角的正切公式求得tanα=−34，结合角的象限求出角α的正余弦，利用二倍角公式代入计算即得．
本题考查了两角差的正切公式，同角三角函数基本关系式以及二倍角的正弦公式在三角函数求值中的应用，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】解：△ABC中，sinB−sinA=13sinC，4sinA−3sinB=0，
∴b−a=13c，4a−3b=0；
∴a=3b4，c=a=3b4，
∴csA=b2+c2−a22bc=b2+9b216−9b2162b×3b4=23．
故选：B．
根据正弦定理化sinB−sinA=13sinC，4sinA−3sinB=0为边的关系，再利用余弦定理求出csA的值．
本题考查了正弦、余弦定理的应用问题，是基础题．
7.【答案】C
【解析】解：设A1表示“甲球员担当大前锋”，A2表示“甲球员担当小前锋”，A3表示“甲球员担当组织后卫”，A4表示“甲球员担当得分后卫”，B表示“当甲球员参加比赛时，球队输球”．
所以P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)+P(A4)P(B|A4)
=0.2×0.4+0.5×0.2+0.2×0.6+0.1×0.2=0.32．
所以当甲球员参加比赛时，该球队某场比赛不输球的概率为：1−0.32=0.68．
故选：C．
利用全概率公式、对立事件的概率计算公式即可得出结论．
本题考查对立事件的概率公式、全概率公式等，属于基础题．
8.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查双曲线的方程与性质，考查向量知识的运用，确定a，b，c之间的关系是关键，考查运算能力，属于中档题．
设O为坐标原点，直线FM交y轴于点R，∠MOF=α，∠MOR=β，用a，b表示tanα，tanβ，再求出tan2β，由FM=16FN，得|MN|=5|FM|，可得a，b，c的关系式，结合离心率公式即可得出所求值．
【解答】
解：设O为坐标原点，直线FM交y轴于点R，∠MOF=α，∠MOR=β，
∵tanα=ba，|OF|=c，a2+b2=c2，
∴|OM|=a，|FM|=b，tanβ=ab，
∴tan2β=2tanβ1−tan2β=2abb2−a2．
又∵|OM|=a，∴|MN|=atan2β=2a2bb2−a2．
又由FM=16FN，得|MN|=5|FM|，即2a2bb2−a2=5b，
结合a2+b2=c2，整理可得12a2=5c2，
即离心率e=2 155．
故选：B．
9.【答案】BD
【解析】解：对于选项A，圆C的方程为(x−1)2+(y+1)2=2−λ，∴2−λ>0，得λ0和ω0时，此时，0ln2−ln1+ln3−ln2+ln4−ln3+⋯+ln(n+1)−lnn+n，
∴e+e12+⋯+e1n>ln(n+1)+n，
即i=1ne1i>ln(n+1)+n．
【解析】(1)借助导数，对a≤0及a>0进行分类讨论即可得；
(2)令g(x)=f(x)+x−lnx，由g(1)=ae0−ln1−1=a−1≥0，即可得其必要条件a≥1，再借助导数对a=1及a>1的情况分类讨论即可得解；
(3)借助(2)中所得，可得ex−1≥lnx+1，令x=n+1n，可得e1n>ln(n+1)−lnn+1，累加即可得证．
本题主要考查了导数与单调性关系的应用，由不等式恒成立求解参数范围，还考查了函数性质在不等式证明中的应用，属于中档题．性别
满意度
合计
满意
不满意
男性
20
女性
40
合计
α
0.050
0.010
0.005
0.001
xα
3.841
6.635
7.879
10.828
性别
满意度
合计
满意
不满意
男性
120
20
140
女性
40
20
60
合计
160
40
200