2024~2025学年河南省南阳市六校高二上学期第二次联考月考数学试卷（解析版）

这是一份2024~2025学年河南省南阳市六校高二上学期第二次联考月考数学试卷（解析版），共17页。试卷主要包含了 已知椭圆， 以下命题正确的是， 已知直线等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 已知，，，若，，共面，则实数的值为（ ）
A. B. C. 2D. 3
【答案】C
【解析】由题设且，则，
所以，可得.
故选：C
2. 设向量与满足，在方向上的投影向量为，则在方向上的投影数量为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由在方向上的投影向量为，得，
则，
所以在方向上的投影数量为.
故选：B
3. 学校教师运动会设置有“跳绳”、“立定跳远”、“定点投篮”、“沙包掷准”四个比赛项目，每个项目各需要一位裁判，现有甲、乙、丙、丁四位体育老师，每人做且仅做一项裁判工作，因为时间问题，甲不能安排“跳绳”裁判，乙不能安排“定点投篮”裁判，则不同的安排方法共有（ ）
A. 12种B. 14种
C 7种D. 9种
【答案】B
【解析】当甲安排“定点投篮”，另外3人任意安排工作有6种方法.
当甲不安排“定点投篮”时，先安排甲有2种，再安排乙有2种，另外剩余2人有2种，此时有种方法，
共有种，
故选：B
4. 如图，在四面体OABC中，，，，点为线段OA上靠近点的三等分点，为BC的中点，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由图知.
故选：C
5. 已知三棱锥中，平面，,且，，分别为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】取AC的中点，SC的中点，连接DH，EH，EF，DF，如图所示：
在中，因为，分别为SA，SC的中点，
故，
故或其补角即为所求角，
设，
在中，，
又有，
由平面，平面，
可得，则，，
由于，可得平面ABC，
又面ABC，则，
可得，
所以.
故选：D.
6. 已知椭圆：，过点且方向向量为的光线，经直线反射后过的右焦点，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设过点且方向向量为的光线，交直线的点为，右焦点为，
如下图所示：
因为方向向量的直线斜率为，则，直线AB的斜率为，
又由反射光线的性质可得的斜率为1，故，
所以为等腰直角三角形，且到的距离为，
又，故，所以，
则，故，离心率.故选：A
7. 已知，，若圆上存在点满足，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设点，则由得点的轨迹方程为，
圆心为，半径为2，
由此可知圆与有公共点，
又圆的圆心为，半径为3，
所以，解得，即的取值范围是.故选：A.
8. 正八面体可由连接正方体每个面的中心构成，如图所示，在棱长为2的正八面体中，则有（ ）

A. 直线与是异面直线
B. 平面平面
C. 该几何体的体积为
D. 平面与平面间的距离为
【答案】D
【解析】正八面体可由正方体每个面的中心构成，如图：

因为正八面体的棱长为2，所以正方体的棱长为.
∵，，，四点共面，直线与是共面的，故A错；
设二面角为，，，所以.
所以：二面角，故B错；
，故C错；
由八面体的构成可知：平面和平面之间的距离是正方体体对角线的13，所以两个平面之间的距离为：，故D对.
故选：D
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9. 以下命题正确的是（ ）
A. 直线：与直线：垂直的充要条件是
B. 已知圆：，过点的直线与圆交于，两点，则的最小值为4
C. 方程表示椭圆的充要条件是
D. 直线和以、为端点的线段相交，则的取值范围是
【答案】ABD
【解析】对于，，所以，解得，故A正确；
对于B，点在圆内，当时，取最小值，
，，所以的最小值是，故B正确；
对于C，方程表示椭圆的充要条件是，解得且，故C错误；
对于D，由直线可得，所以直线过定点，
又，，画图可知的取值范围是，故D正确；
故选：ABD
10. 已知直线：，双曲线：.以下说法正确的是（ ）
A. 当时，直线与双曲线只有一个公共点
B. 直线与双曲线只有一个公共点时，或
C. 当或时，直线与双曲线没有公共点
D. 当时，直线与双曲线有两个公共点
【答案】AC
【解析】由直线方程知，直线过，双曲线的渐近线为，所以时一个交点，
联立直线与双曲线，得，则，
当，即时直线与双曲线相切，
当，即或时没有公共点，
当且，即或或时两个公共点.
所以A、C对，B、D错.
故选：AC
11. 正方体的8个顶点分别在4个互相平行的平面内，每个平面内至少有一个顶点，且相邻两个平面间的距离为1，则该正方体的棱长为（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】BD
【解析】设该正方体为，且其棱长为，
若考虑4个平面中最中间的两个平面，共有两种情况.
①若中间的两个平面为平面和平面，如图1所示，
则过作截面，截面图如图2所示，
其中分别为中点，则，
设相邻两平面间距离即为A到的距离，
可得，解得，
即相邻两平面间距离即为A到的距离，
可知，解得；
②若中间的两个平面如图3所示，过作截面，截面图如图4所示，
其中分别为中点，则，
设相邻两平面间距离即为到的距离，
可得，解得，
即相邻两平面间距离即为到的距离，
则，解得；
故选：BD.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 已知直线：，圆：，若圆上至少存在两点到直线的距离等于，则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】圆心到直线的距离，且圆的半径，
圆上至少存在两点到直线的距离为，则，即，
所以，解得，
故的取值范围是.
故答案为：
13. 在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑中，平面，，，点在棱上运动.则面积的最小值为___________.
【答案】
【解析】如图，作于点，作，交于点，连接.得到，
，平面，，又，，
所以面PQM，所以.
设，，由，得到，
在中，，得到，，
，
当且仅当时，等号成立.
.
故答案为：.
14. 已知正方体的棱长为，为棱的中点，平面过点，，则平面截正方体所得截面的周长为__________.
【答案】
【解析】取的中点，连接，
在正方形中，因为分别为的中点，
可得，所以，
因为，所以，可得，
在正方体中，平面，
因为平面，所以
又因为分别为的中点，所以，所以，
因为，且平面，所以平面，
又因为平面，所以，
正方体中，由平面，且平面，可得，
因为，且，平面，所以平面，
又因为平面，所以，
因为且平面，所以平面，
即平面为平面，取的中点，连接，

因为、分别为、的中点，则，
因为且，故四边形为平行四边形，故，
所以，，故、、、四点共面，则截面为，
由正方体的棱长为，
可得，，
，所以所得截面周长.
故答案为：.
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 已知函数的图象与直线均过定点.
（1）若直线在，轴上的截距相等，求直线的方程；
（2）若点是圆：上的动点，点满足，求的最大值.
解：（1）因为，所以定点
因为直线在，轴上的截距相等，设截距分别为，，
当时，直线经过原点，设，又经过点，
则有，直线的方程为；
当时，设直线的方程为，代入点，解得，
所以直线的方程为.
综上可得直线的方程为或.
（2）设，Px0,y0，由
可得，代入，
得即为点的轨迹方程，如下图所示：
圆心，半径，点在圆外，点到圆心的距离为
，
所以的最大值为.
16. 已知圆：.
（1）若直线平分圆，求的最小值；
（2）顶点在原点，焦点在轴上的抛物线的准线与圆相切，为抛物线的焦点，为抛物线上的动点，点，求的最大值.
解：（1）由圆的方程，即，
则圆的圆心，半径，
由题意知，直线过圆心，
则，即，，，
由，
当且仅当时等号成立，
所以的最小值是4.
（2）由题意，抛物线的准线为，所以抛物线方程为，焦点，
所以，，，其中，
所以，时有
，
当且仅当，即时等号成立；
而时，，，
则.
所以最大值是.
17. 在图1的直角梯形ABCD中，，，，点是DC边上靠近于点的三等分点，AC交BE于点，以BE为折痕将折起，使点到达的位置，且，如图2.
（1）求四棱锥的体积；
（2）求与平面所成角的正弦值.
解：（1）根据题意，由直角梯形边长，，
可知故，；
又点是边上靠近于点的三等分点，所以，可得为等边三角形；
连接，如下图所示：
可得四边形为菱形，
所以，
即折起后，，
如图所示，易知，
又，满足，即；
又，AF，平面，
所以平面，且，梯形的面积为，
所以
（2）以为坐标原点，分别以，为，轴，方向为轴正方向建立空间直角坐标系，如下图所示：
则，，，,，
可得，，，
设平面的法向量，
则，
令，则得为平面一个法向量，
设与平面所成的角为，
所以.
18. 如图，在四棱锥中，底面四边形ABCD为正方形，为棱PD的中点，为边AB的中点.
（1）求证：平面POC；
（2）若侧面底面ABCD，且，，求二面角的余弦值.
解：（1）取线段PC的中点，连接OM，EM，
在中，，分别为PD，PC的中点∴，且，
又∵底面ABCD是正方形，且是AB的中点，
∴，且，∴，且
∴四边形AOME为平行四边形，则，
又平面POC，平面POC，∴平面POC.
（2）由，，可知为等边三角形，
设OA中点为，则，
又∵平面平面ABCD，平面平面，平面，
所以平面ABCD，
设CD上靠近点的四等分点为，则，，
以为原点，分别以QB，QN，QP所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，
设平面PBD的法向量为，则，
取，得，，
所以为平面PBD的一个法向量.
取平面ABD的法向量为
设平面PBD与平面ABD所成的平面角为，且为锐角，
则.
所以二面角的余弦值为.
19. 焦距为的椭圆，如果满足，则称此椭圆为“等差椭圆”.
（1）如果椭圆：是等差椭圆，求的值；
（2）对于焦距为6的等差椭圆，点，分别为椭圆的左、右顶点，直线交椭圆于，两点，（，异于，，设直线AP，BQ的斜率分别为，，是否存在实数，使得，若存在，求出，不存在说明理由.
解：（1）因为椭圆是等差椭圆，所以，
所以，又，
所以，
化简得.
（2）由且可知，，.
所以椭圆方程为，如图，
联立直线得，
，，设Px1,y1，Qx2,y2，
则，，
，，
，，，
把，代入，得，
所以存在实数，使得.