2021-2022学年河南省南阳市六校联考高二（下）期末数学试卷（理科）（Word解析版）

2021-2022学年河南省南阳市六校联考高二（下）期末数学试卷（理科）

一、单选题（本大题共12小题，共60分）

1. 已知，则的共轭复数(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下面几种推理是合情推理的是(    )
   地球和火星在很多方面都相似，而地球上有生命，进而认为火星上也可能有生命存在；
   因为金、银、铜、铁等金属能导电，所以一切金属都导电；
   某次考试高二一班的全体同学都合格了，张军是高二一班的，所以张军也合格了；
   由“若三角形的周长为，面积为，则其内切圆的半径”类比推出“若三棱锥的表面积为，体积为，则其内切球的半径”

A.  B.  C.  D.

3. 下列求导正确的为(    )

A.  B.
C.  D.

4. 已知的展开式中的系数为，则正整数(    )

A.  B.  C.  D.

5. 甲、乙、丙、丁、戊名舞蹈演员站成一排跳舞，若甲站在正中间，丁不站在最右边，则不同的排列方式共有(    )

A. 种 B. 种 C. 种 D. 种

6. 从国内随机抽取一部分成年人，统计地域和体重的相关数据，抽到南方人共人，其中体重超重的有人，抽到北方人共人，其中体重超重的有人，从样本中随机抽取人，设事件“此人是南方人”，事件“此人体重超重”，若与相互独立，则(    )

A.  B.  C.  D.

7. 王老师在课堂中与学生探究某双曲线的性质时，有四位同学分别给出了一个结论：
   甲：该双曲线的实轴长是；
   乙：该双曲线的虚轴长是；
   丙：该双曲线的焦距为；
   丁：该双曲线的离心率为．
   如果只有一位同学的结论是错误的，那么这位同学是(    )

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁

8. 的展开式中的系数为(    )

A.  B.  C.  D.

9. 已知随机变量服从正态分布，若，则(    )

A.  B.  C.  D.

10. 已知函数在处有极小值，则实数的值为(    )

A.  B.  C.  D.

11. 袋中有个红球，个蓝球和个绿球，若从中不放回地任取个球，记取出的红球数量为，则，且取出一红一蓝的概率为，若有放回地任取个球，则取出一蓝一绿的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

12. 已知不等式对任意恒成立，则实数的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共20分）

13. 写出一个同时满足下列条件的复数______．
    ；
    复数在复平面内对应的点在第二象限．
14. 第届冬季奥林匹克运动会于年月日在北京开幕，其中滑雪是冬奥会中的一个比赛大项，设某高山滑雪运动员在一次滑雪训练中滑行的路程单位：与时间单位：满足关系式当该运动员的滑雪路程为时，滑雪的瞬时速度为______．
15. 将包含甲、乙在内的名志愿者分配到个社区参与疫情防控工作，要求每名志愿者去一个社区，每个社区至少去一名志愿者，设事件“甲、乙去不同的社区”，则______．
16. 如图所示，用刀沿直线切一张圆形的薄饼，切刀、刀、刀、刀最多可以把饼分成，，，块，根据其中的规律，则切刀最多可以把饼分成______块．

三、解答题（本大题共5小题，共58分）

17. 已知复数是纯虚数，且．
    求，的值；
    若，，，求复数的模．
18. 受今年国际政治局势以及疫情影响，全球油价持续上涨，某地近个月的汽油均价单位：千元吨与月份的相关数据如下表所示：

由表格数据可看出，与具有较强的线性相关性，请用相关系数加以说明；
建立关于的线性回归方程，并预测该地今年月份的汽油均价．
参考数据：，，，．
参考公式：相关系数；
线性回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．

19. 观察下列不等式：
    ，，，，．
    Ⅰ根据这些不等式，归纳出一个关于正整数的命题；
    Ⅱ用数学归纳法证明Ⅰ中得到的命题．
20. 在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为为参数，与直线：交于，两点．
    Ⅰ求的普通方程；
    Ⅱ若，证明：．
21. 在极坐标系中，已知曲线：和：．
    以极点为坐标原点，以极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，求和的公共弦所在直线的直角坐标方程；
    若斜率为的直线与相切于点，与交于，两点，求
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：因为，所以，
所以．
故选：．
根据复数代数形式的除法运算，化简可得复数，进而知其共轭复数．
本题考查复数的运算，共轭复数的定义，考查运算求解能力，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：根据合情推理和演绎推理的概念判断：
是类比推理，所以是合情推理；
是归纳推理，所以是合情推理；
是由一般到特殊的推理，是演绎推理；
故选：．
根据合情推理和演绎推理的概念判断．
本题考查简单的类比推理、归纳推理、演绎推理的定义等基础知识，是基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：对于，，故A错误，
对于，，故B错误，
对于，，故C错误，
对于，，故D正确．
故选：．
根据导数的运算法则和导数基本公式，即可依次求解．
本题主要考查导数的运算法则和导数基本公式，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：的展开式的通项为，
令，
则的系数为，
即，
解得舍去．
故选：．
求出展开式的通项，令的指数等于，再结合已知即可得出答案．
本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，二项式系数的性质，属基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：丁不站在最右边，则丁从除中间和最右边的三个位置中选一个，则有种排法，
剩下的个人进行全排列有种排法，
所以共有种排法．
故选：．
先考虑丁，然后剩下的个人进行全排列，由分步乘法原理即可得出答案．
本题考查了分步乘法原理，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：与相互独立，
，
，解得．
故选：．
根据已知条件，结合，即可求解．
本题主要考查条件概率公式，考查转化能力，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：甲：；
乙：，；
丙：，；
丁：；
所以甲、丙、丁三者同时满足，
此时，所以乙同学结论错误．
故选：．
根据四位同学的结论进行分析，从而确定结论错误的同学．
本题考查了双曲线的性质，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：的通项公式，
令，则，
所以的系数为，
故选：．
变形后求出其通项公式，令，则，再求出中的的系数即可求得结果．
本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，二项式系数的性质，属基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：随机变量服从正态分布，
由对称性可知，，
又，
，
故．
故选：．
利用对称性结合求得，再由 可得答案．
本题主要考查正态分布的对称性，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：，
依题意，，解得，
经检验，时符合题意．
故选：．
对函数求导，依题意，，由此可求得的值．
本题考查利用导数研究函数的极值，考查运算求解能力，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：由题意可得，故，
故，即，
解得，所以．
故若有放回地任取个球，则取出一蓝一绿的概率为．
故选：．
根据古典概型的概率公式，结合超几何分布的数学期望计算可得，，再根据概率公式计算取出一蓝一绿的概率即可．
本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的灵活运用．
 

12.【答案】 

【解析】解：设，则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，，，
不等式对任意恒成立可转化为对任意时，
所以，解得．
故选：．
设，转化为对任意时，求出可得答案．
本题考查利用导数求函数的最值，考查学生的运算能力，属于中档题．
 

13.【答案】答案不唯一 

【解析】解：设，
依题意：，则，
且，，
故可取，
所以．
故答案为：答案不唯一．
根据复数的模和对应点所在象限确定正确答案．
本题主要考查复数模公式，以及复数的几何意义，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】当时，，，
解得或舍去，
由，得，
所以，
所以该运动员的滑雪路程为时，滑雪的瞬时速度为．
故答案为：．
先由，求出，再将其代入中可求得答案．
本题主要考查导数的应用，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：个人去三个地方，可能有，的形式，分组的情况总数为，
在把这些分组分配到三个不同地方，有种情况，因此基本事件总数为；
甲、乙去不同的社区，又有如下情况：
的分组时，甲乙不在一起的可能有，
的分组时，若其中人的是甲或者乙，有种分组，若其中人的是不是甲，乙，有种分组，于是甲、乙去不同的社区共有种分组，
分组后分配到三个社区，又有种情况，
于是．
故答案为：．
部分均匀分组问题，个人去三个地方，可能有，的形式，据此先算出基本事件总数，在根据限制条件算出满足条件的事件数，利用古典概型公式求解．
本题考查了古典概型概率计算，属于中档题．
 

16.【答案】 

【解析】解：设，，，，
则，，，，，
所以当，时，
，
当时，也适合，，
故答案为：
根据特例法，结合累和法、等差数列前项和公式进行求解即可．
本题考查简单的归纳推理、特例法，结合累和法、等差数列前项和公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

17.【答案】解：，
因为是纯虚数，且，
所以，且，
所以，或．
由及，知，
所以，
所以． 

【解析】根据复数的乘法运算化简复数，再根据纯虚数的定义及复数的模的计算公式列出方程，即可求解．由求得，，再根据复数的除法运算求出复数再根据复数的模的计算公式，即可求解．
本题主要考查复数模公式，以及纯虚数的定义，属于基础题．
 

18.【答案】解：由表中数据可知，
，
，
，
与具有较强的线性相关性．
由已知得，，，
关于的线性回归方程为，
令，得，
故预测该地今年月份的汽油均价为千元吨． 

【解析】计算出的值，结合参考数据和相关系数公式可求得，进而判断与之间线性相关关系的强弱．
求出的值，将参考数据代入最小二乘法公式，求出、的值，可得出关于的线性回归方程，再将代入线性回归方程，即可求解．
本题主要考查线性回归方程的求解，掌握最小二乘法是解本题的关键，属于中档题．
 

19.【答案】Ⅰ解：不等式可写为：，，，
所以归纳得到命题：为正整数；
Ⅱ证明：
当时，易知命题成立；
假设当时，命题成立，即．
则当时，




，
即时，命题也成立．
由可知，． 

【解析】Ⅰ不完全归纳得解；
Ⅱ利用数学归纳法证明即可；
本题主要考查独立性检验，属于基础题．
 

20.【答案】解：Ⅰ曲线的参数方程为为参数，转换为普通方程为；
证明：Ⅱ由Ⅰ得：利用，解得或，
即，，
由于
所以，；
故． 

【解析】Ⅰ直接利用转换关系，在参数方程和直角坐标方程之间进行转换；
Ⅱ利用方程组的解法求出，，进一步求出．
本题考查的知识要点：参数方程和直角坐标方程之间的转换，两点间的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
 

21.【答案】解：由，得，所以曲线的平面直角坐标方程为，
由，得，所以曲线的平面直角坐标方程为，
将两式作差得，所以和的公共弦所在直线的直角坐标方程为；
设直线的方程为，与曲线的方程联立得，
消去，整理得，
因为直线与相切，所以，
即，解得或，
当时，直线的方程为，即，
此时曲线的圆心到直线的距离为，
所以此时曲线与直线不相交，不满足题意；
当时，直线的方程为，即，
此时曲线的圆心到直线的距离为，
所以此时曲线与直线相交，满足题意；
所以直线的方程为，方程可化为，
解得，代入直线的方程为中，解得，即点，
所以设直线的参数方程为为参数，
代入曲线的平面直角坐标方程，整理得，
设，两点所对应的参数分别为，，则，，
不妨设，，
所以． 

【解析】运用极坐标与平面直角坐标转化的公式，可得曲线和曲线的平面直角坐标方程，再将两方程作差可得和的公共弦所在直线的直角坐标方程；
设直线的方程为，由直线与相切，求得的值，再设直线的参数方程，代入曲线的平面直角坐标方程中，由直线参数的几何意义可求得答案．
本题主要考查了简单曲线的极坐标方程，考查了直线与圆的位置关系，同时考查了直线参数方程中参数的几何意义，属于中档题．