河南省南阳市六校2024-2025学年高一下学期3月联考数学试卷（解析版）

这是一份河南省南阳市六校2024-2025学年高一下学期3月联考数学试卷（解析版），共14页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 若角的终边经过点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】点到原点的距离为，所以.
故选：A.
2. （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】.
故选：D.
3. 下列函数，既是偶函数又在上单调递增的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】对于A：为奇函数，故A错误；
对于B：定义域为，且，所以为偶函数，
当时，所以在上单调递增，显然在上单调递增，故B正确；
对于C：为偶函数，但是在上单调递减，故C错误；
对于D：为奇函数，故D错误.
故选：B.
4. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度
【答案】B
【解析】，
只需将的图象向右平移个单位长度即可.
故选：B.
5. 弧度的圆心角所夹的扇形面积是，这个圆心角所对的弦长为（ ）
A. 1B. C. 2D.
【答案】C
【解析】设该扇形的半径为，因为扇形的圆心角为，面积是，
所以，解得（负值已舍去），
又扇形的圆心角为，则其所对的弦长为.
故选：C.
6. 方程的解的个数为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】B
【解析】由，可得，即，
所以得到或，
当时，可得，或，或，
当时，可得，或，
综上可得方程的解为或或共个.
故选：B.
7. 函数，的值域为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】，，，
，，
，即，
函数，的值域为.
故选：D.
8. 函数在区间上恰有个零点，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为，，所以，
又在区间上恰有个零点，所以，解得，
即的取值范围为.
故选：C.
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 与的终边相同
B. 若为第二象限角，则为第四象限角
C. 终边经过点的角的集合是
D. 若一扇形的圆心角为4，圆心角所对应的弦长为2，则此扇形的面积为
【答案】ABD
【解析】对A：因为，所以与的终边相同，故A正确；
对B：因为为第二象限角，所以，，
所以，，所以，，
所以为第四象限角.故B正确；
对C：当时，终边经过点的角的集合是；
当时，终边经过点的角的集合是，故C错误；
对D：由题意可得，扇形的半径，所以扇形面积为：，故D正确.
故选：ABD.
10. 函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 的最小正周期
C. 在上单调递增
D. 的对称轴为，
【答案】ABC
【解析】对于A，由图可知，且，即，
又，可得，故A正确；
对于B：因为，所以，
解得，
又，即，解得，所以,
所以，所以的最小正周期，故B正确；
对于C：当，则，
因为在上单调递增，所以在上单调递增，故C正确；
对于D：令，解得，
所以的对称轴为，故D错误.
故选：ABC.
11. 函数，下列四个选项正确的是（ ）
A. 是以为周期的函数
B. 的图象关于对称
C. 在区间，上单调递减
D. 的值域为
【答案】CD
【解析】显然：函数是以为周期的周期函数.
当时，，所以；
当时，，所以.
所以函数的图象如下：
对A：由图象可知，函数的最小正周期为，故A错误；
对B：因为，，所以，
所以，
但关于的对称点并不在函数的图象上，故B错误；
对C：由图象可知：在区间，上单调递减，故C正确；
对D：由图象可知，的值域为，故D正确.
故选：CD.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）
12. 已知，则______．
【答案】
【解析】因为，所以，所以.
13. 函数的值域为______．
【答案】
【解析】，
由于，所以，
，所以函数的值域为.
14. 不等式组的解集为______．
【答案】
【解析】由得，，
由得，，
所以不等式组的解集为.
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）
15. 如图，在平面直角坐标系中，锐角和钝角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于，两点，且．
（1）若点的横坐标为，求的值；
（2）求的值．
解：（1）由题意：，
所以.
（2）.
16. 用“五点法”画出函数在一个周期内的简图时，需要作出以下表格：
（1）请将上表补充完整，并求出函数的解析式；
（2）求函数在上的单调增区间．
解：（1）补充表格如下：
根据表格可知，当时，；当时，，
所以，所以，，
又由当时，，可知，
所以函数的解析式为.
（2）令，则，
所以在上的单调递增区间为，
当时，；当时，，
所以函数在上的单调增区间为，.
17. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到应用．假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．如图，将筒车抽象为一个几何图形（圆），一个半径为4米的水轮如图所示，水轮圆心距离水面2米，且按逆时针方向匀速转动，每12s转动1圈．如果以水轮上点从水面浮现时（图中点位置）开始计时，记点距离水面的高度关于时间的函数解析式为（，，）．（在水面下则为负数）
（1）求点距离水面高度关于时间的函数解析式；
（2）若水面下降，在水轮转动的一周内，求点在水面下方的时间．
解：（1）已知水轮半径为米，水轮圆心距离水面米.
根据性质，为振幅，为平衡位置的值.则，.
因为水轮每转动圈，根据周期的定义，.
又因为，所以，此时函数为.
当时，点从水面浮现，即.将，代入中，得到.
化简可得，又因，所以.
综上，.
（2）若水面下降，则新的水面高度为，
如下图所示，则，
此时三角形是等边三角形，所以，
所以点在水面下方的时间为.
18. 将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标伸长到原来的2倍，再将所得函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象．
（1）求函数的解析式；
（2）当时，方程有两个不等的实根，求实数的取值范围；
（3）若方程在上的解为，，求．
解：（1）将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的得到，
再将纵坐标伸长到原来的2倍得到，
将向右平移个单位长度得到.
（2）当，则，
令，解得，所以在上单调递增，且，；
令，解得，所以在上单调递减，且；
因为当时，方程有两个不等的实根，
即与在上有两个交点，
所以，解得，
即实数的取值范围为.
（3）由（2）可得在上单调递增，在上单调递减，
因为方程在上的解为，，
所以、关于对称，则且，
所以且，
所以.
19. 已知函数图象上两条相邻的对称轴之间的距离为，将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，设．
（1）求函数在上的值域；
（2）若对任意的恒成立，求的最大值；
（3）若任取，总存在，使成立，求的取值范围．
解：（1）根据题意，函数的周期为.
由.所以.
当时，，所以，
所以，
即所求函数的值域为：.
（2）由题意：.
所以.
因为当时，，所以.
由.
因为（当时取“”）.
所以.
所以的最大值为：.
（3）当时，的值域为.
设函数的值域为，由题意：.
设，则，则函数，，对称轴为.
所以，，.
由或.
当时，，所以函数在上单调递减，
所以，
由；
当时，，所以函数在上单调递增，所以，
由.
综上的取值范围为：.0
1
0
0
1
0
1
2
0
0
1