2025-2026学年河南省南阳市六校联考高三（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2025-2026学年河南省南阳市六校联考高三（上）期末数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A={x||x−3|0)的左焦点为F，上顶点为A，直线AF与椭圆C另一个交点为B，若|AF|=2|BF|，则椭圆C的离心率为( )
A. 53B. 33C. 54D. 34
8.若关于x的不等式lnx+k≤eex−k−1恒成立，则实数k的取值范围是( )
A. (−∞,0]B. (−∞,1]C. (−∞,1e]D. (−∞,e]
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知A，B为两个随机事件，且P(A)=0.5，P(B)=0.2，则下列结论正确的是( )
A. 若B⊂A，则P(A−∪B)=0.7
B. 若A，B相互独立，则P(AB−)=0.4
C. 若A，B相互独立，则P(A∪B)=0.7
D. 若P(B|A)=0.3，则P(A|B)=0.7
10.记锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2a2−2b2=c2，则( )
A. c=4bcsAB. tanA=3tanB
C. A−B的最大值为π6D. tanAtanBtanC的最小值为6
11.已知抛物线W：y2=2px(p>0)，直线AB过抛物线W的焦点F，与抛物线交于A，B两点，点M是横坐标为6的一定点，当|AB|=16时，弦AB恰被点M平分，则以下结论正确的是( )
A. p=4B. |AF|+9|BF|≥32
C. △AFM的周长可以为14D. 当S△AOF=3S△BOF时，|AB|=12
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.有一组正整数从小到大排列为：1，2，6，7，9，m，这组数据的40%分位数等于它们的平均数，则m为
13.已知a，b∈R，若直线y=3x+a是曲线f(x)=ex+2x−b与曲线g(x)=x+2lnx的公切线，则a+b= ．
14.已知圆台的上下底面积之比为1：4，与圆台的上下底面和侧面都相切的球半径为1，则圆台的表面积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知单调递增的等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1=3，S2，S3+1，S5−3成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令{bnan}是以2为首项，3为公比的等比数列，求数列{bn}的前n项和Tn．
16.(本小题15分)
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 3bsinC=c(1+csB)．
(1)求角B；
(2)若b=4，△ABC的面积为4 3,D为AC边上一点，满足AC=3AD．
①求△ABC的周长；
②求BD的长．
17.(本小题15分)
如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=2，∠BAD=90°，∠A1AB=∠A1AD=60°，点A1在底面上的射影为底面中心O．
(1)证明：AA1⊥BD；
(2)求直线DB1与平面ADD1A1所成角的正弦值．
18.(本小题17分)
已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)离心率为 52，O为坐标原点，F1、F2为左、右焦点，直线l过右焦点F2与右支交于A，B两点，当l⊥x轴时，|AB|=1．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若动点P(x0,y0)(y0≥1)在双曲线C右支上，设∠F1PF2的平分线分别与x轴、y轴交于点M(m,0)、N，直线F1N与双曲线左、右支分别交于D、E两点，如图所示：
①求实数m的取值范围；
②求△F2DE面积的最大值．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=ex−ax−b．
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)若∀a>0函数f(x)都存在两个不同零点x1，x2，求实数b的取值范围；
(3)在(2)的条件下，给定满足条件的常数b，证明：当|x1−x2|取最小值时，a=b．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：由题可知，集合A={x||x−3|0，所以m的取值范围为(0, 2]；
②由①可知；当y0=1时，x0=2 2，m= 2，
此时直线PM的方程为y=1−02 2− 2(x− 2)，即y= 22x−1，
令x=0，得y=−1，直线F1N的斜率k最小，kmin=0+1− 5−0=− 55，且k0，f(t)在(−∞,− 5]上单调递增，
所以f(t)max=f(− 5)=6，
即△F2DE面积的最大值为4 5× 6=4 30．
(1)根据双曲线通径的长，离心率的公式以及a，b，c之间的关系列方程组求解即可；
(2)①由角平分线性质结合双曲线的定义可得|PF1|=2+2 5m，再利用|PF1|= (x0+ 5)2+y02，得出|PF1|的取值范围，解关于m的不等式即可求解；
②直线F1N与双曲线联立，根据①求出t的范围，由S△F2DE=S△EF1F2−S△DF1F2=12|y1−y2|⋅|F1F2|=4 5⋅ t2+1t2−4，最后利用导数判断函数的单调性即可求出最大值．
本题考查双曲线的性质，考查直线与双曲线的综合应用，考查角平分线定理及利用导数求最值的应用，属难题．
19.【答案】当a≤0，f(x)在R上单调递增；当a>0时，f(x)在(−∞,lna)上单调递减，在(lna,+∞)上单调递增 (1,+∞) 证明：设x10，即h′(t)>0，h(t)在(0,+∞)上递增，
所以t取最小值时，h(t)=et−1t取最小值，ex1−bx1ex1取最小值，
φ(x)=ex−bxex,x0时，令f′(x)=ex−a=0，x=lna，
所以当x0，f(x)在(lna,+∞)上单调递增．
综上所述，当a≤0，f(x)在R上单调递增；
当a>0时，f(x)在(−∞,lna)上单调递减，在(lna,+∞)上单调递增．
(2)由(1)可知，当a>0时，f(x)在x=lna处取得极小值也为最小值，
则f(lna)=elna−alna−b=a−alna−b，
若∀a>0，f(x)有两个不同的零点，又x→−∞时，f(x)→+∞，x→+∞时，f(x)→+∞，
所以f(lna)0，b>a−alna．
令g(a)=a−alna(a>0)，
则g′(a)=1−(lna+1)=−lna，
当01时，g′(a)0，b>g(a)max=1，
综上，b的取值范围为(1,+∞)．
(3)证明：设x10，即h′(t)>0，h(t)在(0,+∞)上递增，
所以t取最小值时，h(t)=et−1t取最小值，ex1−bx1ex1取最小值，
φ(x)=ex−bxex,xa−alna恒成立，构造g(a)=a−alna，利用导数求函数的最值求解；
(3)先用换元法简化变量，再利用导数研究函数的最值去分析|x1−x2|的最小值条件即可．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，函数的零点问题，考查运算求解能力，属于难题．