苏科版七年级数学上册 3.3 整式的加减（第3章 代数式 学习、上课课件）

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单项式多项式整式同类项合并同类项去括号法则整式的加减运算
1. 单项式 由数与字母的积组成的代数式叫做单项式. 单独一个数或一个字母也是单项式.
2. 单项式的系数与次数(1)系数：单项式中的数字因数叫作单项式的系数.(2)次数：单项式中所有字母的指数的和叫作单项式的次数.
特别提醒：(1)单项式的系数包括它前面的符号， 且只与数字因数有关，而单项式的次数只与字母的指数有关.(2)确定一个单项式的次数时， ①没有写指数的字母， 实际上其指数是“1”，计算时不要将其遗漏； ②不要把系数的指数当成字母的指数一同计算. 如52mn4的次数是1＋ 4＝5，不能把系数的指数“2” 当成字母的指数.
特别警示确定单项式系数与次数的两易漏、三易错：两易漏：(1)对只含字母因式的单项式，易漏系数1或－1；(2)易漏指数1.三易错：(1)易将系数的指数当成字母的指数；(2)易将分子为1的分数系数写成整数系数；(3)易将π 当成字母.
解题秘方：利用单项式的系数和次数的概念解决问题.
已知2kx2yn是关于x，y的一个单项式，且系数是7，次数是5，那么k＝______，n＝______.
解题秘方：根据单项式的次数和系数的确定方法求值.
1. 多项式 几个单项式的和叫作多项式.一个式子是多项式需具备两个条件：(1)式子中含有运算符号“＋” 或“－” ；(2)分母中不含有字母.
2. 多项式的项 多项式中， 每个单项式叫作多项式的项，其中不含字母的项叫作常数项， 一个多项式含有几项，就把这个多项式叫作几项式.3. 多项式的次数 多项式里， 次数最高的项的次数， 叫作这个多项式的次数.
4. 多项式的排列我们常把一个多项式各项的位置按照其中某一字母指数的大小顺序排列. 若按某个字母的指数从大到小的顺序排列， 叫做这个多项式按这个字母的降幂排列, 若按某个字母的指数从小到大的顺序排列, 叫作这个多项式按这个字母的升幂排列.
特别提醒1. 不能说多项式包含单项式，它们是两个不同的概念，没有从属关系.2. 单项式的次数是所有字母指数的和，而多项式的次数是多项式中次数最高的项的次数，二者不能混淆.3. 结果如果是多项式，一般按照某一字母升幂或降幂排列.
解题秘方：根据多项式是几个单项式的和进行判断即可.
方法点拨利用概念判断一个式子是否是多项式，关键是看式子是否是单项式的和，是哪几个单项式的和. 一个多项式有几项，就叫几项式，如例题(1)是四次三项式，例题(2)是二次二项式.
已知式子3xn－(m－1)x＋1是关于x的三次二项式，求m，n的值.
方法点拨由多项式是关于x的二项式，知m－1＝0，从而确定m的值；由3xn－(m－1)x＋1是关于x的三次多项式，知n＝3.
解题秘方：直接利用多项式的次数与项数确定答案.
解：因为3xn－(m－1)x＋1是关于x的三次二项式， 所以n＝3，m－1＝0，所以m＝1.
概念 单项式和多项式统称整式.特别提醒：如果一个式子既不是单项式， 又不是多项式， 那么它一定不是整式.
特别解读1. 单项式是整式.2. 多项式是整式.
解题秘方：利用单项式及多项式的概念识别整式中的单项式和多项式.
方法点拨判断一个代数式是单项式还是多项式的方法：首先判断它是否是整式，若分母中含字母，则一定不是整式，也不可能是单项式或多项式. 单项式与多项式的区别在于是否含有加减运算，整式中, 一般含加减运算的是多项式.
已知多项式－8x2ym＋2－xy3＋x是关于x，y的七次多项式，关于x，y的单项式6x2nym＋2与该多项式的次数相同，求m、n的值.
解题秘方：根据多项式、单项式的相关概念求字母的值.
解：因为多项式－8x2ym＋2－xy3＋x是关于x，y的七次多项式，所以2＋m＋2＝7， 解得m＝3 .因为关于x，y的单项式6x2nym＋2与该多项式－8x2ym＋2－ xy3＋x的次数相同，所以2n＋m＋2＝2n＋3＋2＝7， 解得n＝1 .
方法点拨解决此类问题时，应由题目中的已知条件得出几个等式，求出原式中次数或系数所含字母的值，即可解决问题.
1. 概念 一般地， 所含字母相同， 并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项.
2. 判断同类项的方法(1)同类项必须同时满足“两个相同”：①所含字母相同； ②相同字母的指数也相同， 两者缺一不可.(2)是不是同类项有“两个无关”：①与系数无关； ②与字母的排列顺序无关. 如3mn与－nm是同类项.(3)同类项可以有两项， 也可以有三项、四项或更多项， 但至少有两项.
知识链接1. 同类项的对象是单项式，而不是多项式，但可以是多项式中的单项式；2. 判断两个单项式是否为同类项的关键就是看其是否满足同类项中的“两个相同”.
[期中·上海闽行区]下列各组代数式中，不是同类项的是( )A. x3y2和x2y3 B. 0和πC. －mn和nm D. 5a5b和－5a5b
解题秘方：紧扣同类项概念中的“两个相同” 进行识别.
解：A 选项中所含字母相同， 但相同字母的指数不相同，不是同类项；B 选项中0 和π是常数项，是同类项；C、D 选项中所含字母相同， 并且相同字母的指数也相同， 是同类项.
特别提醒判断同类项，两个条件不能忘，字母要相同，相同字母的指数要一样，常数项也是同类项.
1. 概念 根据运算律把多项式中的同列项合并成一项叫作合并同类项.2. 法则 同类项的系数相加， 所得的结果作为系数， 字母和字母的指数不变.
3. 合并同类项的一般步骤(1)“找”： 找出同类项， 当项数较多时， 通常在同类项的下面做相同的标记；(2)“合”： 运用加法交换律、结合律将多项式中的同类项结合；(3)“并”： 利用合并同类项法则合并同类项；(4)“写”： 写出合并后的结果.
特别解读1. 代数式中的字母表示数，因此数的运算律也适用于代 数式.2. 合并同类项法则可简记为“一相加，两不变”. 其中，“一相加”是指各同类项的系数相加；“两不变”是指字母连同它的指数不变.
合并下列各式中的同类项：(1)x2－3x－2＋4x－1；(2)3a2b－2ab＋2＋2ab－a2b－5.
解题秘方：合并同类项： 将同类项的系数相加， 字母和字母的指数不变.
解：(1)x2－3x－2＋4x－1＝x2＋(－3x＋4 x)＋(－2－1)＝x2＋(－3 ＋4)x－3＝x2＋x－3 .(2)3a2b－2ab＋2＋2ab－a2b－5＝(3a2b－a2b)＋(－2ab＋2ab)＋(2－5)＝(3－1)a2b＋(－2＋2)ab－3＝2a2b－3 .
合并同列项(乘法分配律)
特别提醒1. 给同类项做标记时，要连同该项的符号一同标记上.2. 合并同类项时，只能把同类项合并成一项，不是同类项的项不能合并，没有同类项的项，在每一步运算中都要写出，不能漏掉.3. 系数互为相反数的同类项合并后结果为0，即该项没有了.
先化简，再求值：(1)3x2－2x2＋x－1－4x2＋2x2＋3x－2，其中x=－1；(2)3(x＋y)2－7(x－y)－2(x＋y)2＋5(x－y)＋2， 其中 x＝－2，y＝－3 .
解题秘方：先合并同类项， 再代入求值. 对于题目(2)，应把(x＋y)2和(x－y)分别看成一个整体.
解：(1)原式＝(3－2－4＋2)x2＋(1＋3)x＋(－1－2)＝－x2＋4x－3. 当x＝－1时，原式＝－(－1)2＋4×(－1)－3＝－8.(2)原式＝(3－2)(x＋y)2＋(－7＋5)(x－y)＋2＝(x＋y)2－2(x－y)＋2.当x＝－2，y＝－3时，x＋y＝－5，x－y＝1，所以原式＝(－5)2－2×1＋2＝25.
方法点拨整式的化简，就是将整式中是同类项的项进行合并，有时一个整体也可以看成同类项(如本例第(2)小题)，也可按同类项的合并法则进行合并，但必须注意一个整体不能展开，然后将已知的字母的值代入求值.
甲、乙两人从同一地点出发沿平直公路匀速行走，甲每小时走5 km，乙每小时走3 km，用代数式表示：
解题秘方：紧扣行程问题的数量关系列出代数式．
(1)两人同时出发，反向行走t h时，两人相距多少千米？(2)两人同时出发，同向行走t h时，两人相距多少千米？
解：5t＋3t＝(5＋3)t＝ 8t (km)．答：两人同时出发，反向行走t h时，两人相距8t km.
5t－3t＝(5－3)t＝2t(km)．答：两人同时出发，同向行走t h时，两人相距2t km.
(3)两人反向行走，甲比乙早出发m h时，当乙走了n h时，两人相距多少千米？
解：5m＋5n＋3n＝5m＋(5＋3)n＝ (5m＋8n)(km)．答：当乙走了n h时，两人相距(5m＋8n)km.
(4)两人同向行走，甲先走s km，乙才出发，当乙走了 4s km时，甲走了多长时间？
特别提醒解答此类问题需注意两点：(1)找出实际问题中的数量关系列代数式；(2)化简代数式.如题(1)根据两人的路程之和得出两人的距离；题(2)根据两人的路程之差得出两人的距离；题(3)分别表示出两人行走的路程后合并同类项求解；题(4)分别表示出甲行走的两段时间后合并同类项求解.
1. 法则 括号前面是“＋” 号， 把括号和它前面的“＋”号去掉， 括号里各项的符号都不改变； 括号前面是“－” 号， 把括号和它前面的“－”号去掉， 括号里各项的符号都要改变. 简言之： 括前“－” 变“＋” 不变.
2. 去括号时的注意事项(1)去括号时， 要将括号连同它前面的符号一起去掉；(2)在去括号时， 首先要明确括号前的符号是“＋” 还是“－” ；(3)需要变号时， 括号里的各项都变号； 不需要变号时， 括号里的各项都不变号.
3. 拓展：去括号法则的逆用(1)添括号法则： 添括号时， 如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号， 如果括号前面是负号， 括号括号里的各项都改变符号．(2)添括号与去括号互为逆变形， 添括号是否正确， 可以用去括号进行检验.
特别解读1. 去括号是式子的一种恒等变形，去括号时必须保证式子的值不变，即“形变而值不变”.2. 去括号时，既要注意符号，又要注意各项系数的改变.
特别解读添括号是添上括号和括号前面的符号. 即括号前面的“＋”号或“－”号也是新添的，不是原来多项式的某一项的符号移出来的.
[期中·南京玄武区]下列去括号正确的是(　　)A. a2－(2a－b2)＝a2－2a－b2B. －(2x＋y)＋(－x2＋y2)＝－2x＋y－x2＋y2C. 2x2－3(x－5)＝2x2－3x＋5D. －a－(－4a2＋1－3a)＝4a2－1＋2a
解题秘方：去括号时， 先看括号前面的符号是“＋”号， 还是“－” 号， 再根据去括号法则进行计算．
解：a2－(2a－b2)＝a2－2a＋b2，－ (2x＋y)＋(－x2＋y2)＝－2x－y－x2＋y2，2x2－3(x－5)＝2x2－3x＋15，－a－ (－4a2＋1－3a)＝－a＋4a2－1＋3a，故选项A、B、C 不符合题意，选项D 符合题意.
特别提醒去括号时要看清括号前面的符号，注意：括号前面是 “－”号，去括号时，千万不能只改变第一项的符号而忘记改变其余各项的符号，如选项A、B，而选项C出现漏乘现象，避免出错的最好办法是运用分配律去括号.
[一题多解] 计算：2a－[(5a－3b)－3(2a－b)]
解题秘方：注意到本题含有多重括号， 可以按不同的顺序去括号.
解：方法一：2a－[(5a－3b)－3(2a－b)]＝2a－(5a－3b－6a＋3b)＝2a－(－a)＝2a＋a＝3a.方法二：2a－[(5a－3b)－3(2a－b)]＝2a－(5a－3b)＋3(2a－b)＝2a－5a＋3b＋6a－3b＝3a.
方法点拨多重括号的化简，一般先去小括号，再去中括号、大括号;也可从大括号、中括号、小括号的顺序依次去括号.每去掉一层括号，若有同类型可随时合并，简化运算.
解题秘方：紧扣去括号法则和合并同类法则，先化简， 再代入a， b的值计算．
方法点拨解答代数式求值问题的一般步骤：(1)先利用去括号法则和合并同类法则将代数式化为最简形式；(2)将已知字母的值代入到最简式子中计算求解．
1. 运算法则整式的加减运算，像数的运算一样满足各种运算律， 如果有括号先去括号， 再合并同类项.
2. 整式的化简求值的步骤一化：利用整式加减的运算法则将整式化简.二代：把已知字母或某个整式的值代入化简后的式子.三计算：依据有理数的运算法则进行计算.
特别解读1. 整式加减的结果要最简：(1)不能有同类项；(2)含字母项的系数不能出现带分数. 带分数要化成假分数；(3)一般不含括号.2. 整式加减的结果如果是多项式，一般按照某一字母升幂或降幂排列.
[期中·常州天宁区]化简：(1)7x＋4(x2－2)－2(2x2－ x＋3)；
解题秘方：先去括号， 再合并同类项求解；
解：7x＋4(x2－2)－2(2x2－x＋3) ＝7x＋4x2－8－4x2＋2x－6＝9x－14；
(2)化简并求值：2(a＋b)＋4(2a＋b)，其中5a＋3b＝－4．
解题秘方：先化简，把结果整理成2(5a＋3b)，再把5a＋3b＝－4代入求值．
解：2(a＋b)＋4 (2a＋b)＝2a＋2b＋8a＋4b＝10a＋6b．因为5a＋3b＝－4，所以10a＋6b＝2 (5a＋3b)＝2×(－4)＝－8．
方法点拨1. 整式的化简一般策略：(1)去括号；(2)找同类项；(3)合并同类项.2. 当括号前是一个非“±1”的因数时，去括号可以先用括号前面的数字因数与括号内的每一项相乘，然后再把所得的积相加．
城市绿化对城市的生态环境具有积极的影响，其中小区绿化是城市绿化的重要一环，能够减弱噪声，降低空气含尘量，提高空气湿度.某小区有一块长为 40 m，宽为30m的长方形空地，现要绿化这块空地，在上面修建如图3.3-1所示的十字形花圃，在花圃内种花，其余部分种草.
解题秘方：花圃面积应是两个宽为x m，长分别为40 m，30 m 的空白长方形的面积之和减去中间重合部分的正方形的面积；
解：花圃的面积为40x＋30x－x2＝(70x－x2)(m2) .
(2)若建造花圃及种花的费用为每平方米100 元，种草的费用为每平方米50 元，则绿化这块空地共需多少元？
解题秘方：总费用等于建造花圃及种花的费用与种草的费用之和.
解：绿化这块空地共需100(70x－x2)＋50 [30×40－ (70x－x2)]＝7 000x－100x2＋60 000－3 500x＋50x2＝ (－50x2＋3 500x＋60 000)(元) .
方法点拨解答图形问题，需要用含有字母的代数式分别表示图形的各边长，然后利用周长、面积公式列出表示问题的代数式，最后对列出的代数式进行化简，代入相应的条件进行整式的加减计算．
[月考·南京雨花台区] 已知一个两位数，它的十位上的数字是a，个位上的数字是b．(1)写出这个两位数．
解题秘方：紧扣数的表示方法， 用含a、b的代数式表示出这个两位数；
解：这个两位数是10a＋b；
(2)若a ≠ b，把这个两位数十位上的数字与个位上的数字对调，得到一个新的两位数，则原两位数与新两位数的和能被11整除吗？为什么？其差又一定是哪个数的倍数？为什么？
解题秘方：先写出原来的两位数和对调后的两位数， 然后作差及作和列出代数式， 利用整式的加减运算进行判断．
解：原两位数与新两位数的和能被11整除.理由：由题意可知， 原来的两位数为10a＋b， 对调后的两位数为10b＋a. 因为(10a＋b)＋(10b＋a)＝10a＋b＋10b＋ a＝11a＋11b＝11(a＋b).所以原两位数与新两位数的和能被11整除；其差又一定是9的倍数. 理由：因为(10a＋b)－(10b＋a)＝10a＋b－10b－a＝9a－9b＝9(a－b).. 所以其差一定是9的倍数．
思路总结解答此类问题的一般思路：(1)掌握数的表示方法：如两位数:十位上的数字×10＋个位上的数字；三位数：百位上的数字×100＋十位上的数字×10＋个位上的数字；以此类推可以表示四位数、五位数等；(2)根据题意，列出相应的代数式，利用整式的加减运算法则进行判断.