【数学】江西省上饶市余干县2024-2025学年八年级下学期期末考试试题（解析版）

这是一份【数学】江西省上饶市余干县2024-2025学年八年级下学期期末考试试题（解析版），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】式子在实数范围内有意义，
，
解得．
故选：A．
2. 一组数据：2，3，3，5，若添加一个数据5，则不发生变化的统计量是（ ）
A. 平均数B. 众数C. 方差D. 中位数
【答案】D
【解析】一组数据：2，3，3，5，
其平均数为，众数为3，
方差为，
中位数为，
这组数据添加一个数据5后，
平均数为，众数为3和5，
方差为，
中位数为，
所以，不发生变化的统计量是中位数，
所以选项A、B、C不符合题意，选项D符合题意．
故选：D．
3. 已知四边形是平行四边形，下列结论中正确的是（ ）
A. 当时，它是菱形B. 当时，它是菱形
C. 当时，它是矩形D. 当时，它是正方形
【答案】B
【解析】A、∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是矩形，故本选项不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形，故本选项符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，故本选项不符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形，不一定是正方形，故本选项不符合题意；
故选：B．
4. 如图，是一个盖子圆心处插有吸管的圆柱形水杯，水杯底面直径为，高度为，吸管长为（底端在杯子底上），露在水杯外面的吸管长度为，则最小为（ ）
A. 11B. 12C. 13D. 14
【答案】B
【解析】如图，由题意，得：，
由勾股定理，得：，
∴最小；
故选B．
5. 如图，在矩形中，点的坐标是，则的长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如图所示，连接，
∵点的坐标是，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
故选：B．
6. 如图，已知菱形在平面直角坐标系的中位置如图所示，顶点，，点P是对角线上的一个动点，，则最小值为（ ）
A. 5B. C. D.
【答案】B
【解析】如图，连接，连接交于，
∵四边形为菱形，点，，
∴点与点关于对称，，
∴，
∴，
∴的值最小时，点位于点处，最小值为的长，
∵，
∴，
∴最小值为，
故选：B．
二、填空题
7. 化简：______．
【答案】1
【解析】，
故答案为：1．
8. 一次函数的图像不经过第__________象限.
【答案】二
【解析】，
一次函数的图像经过第一、三、四象限，不经过第二象限.
故答案为：二.
9. 如图，菱形的对角线相交于点O，请你添加一个条件，使得该菱形为正方形，添加条件是___________．（只添一个条件即可）
【答案】（答案不唯一）
【解析】添加条件（答案不唯一），那么该菱形是正方形．
理由：∵四边形是菱形，
又∵，
∴根据正方形判定定理：有一个角是直角的菱形是正方形，可知菱形是正方形．
故答案为：（答案不唯一）．
10. 直线l1：y＝x+1与直线l2：y＝mx+n相交于点P（a，2），则关于x的不等式x+1≥mx+n的解集为_____．
【答案】x≥1
【解析】将点P(a，2)坐标代入直线y＝x+1，
得a＝1，
从图中直接看出，在P点右侧时，
直线l1：y＝x+1在直线l2：y＝mx+n的上方，
即当x≥1时，x+1≥mx+n，
故答案为：x≥1．
11. 已知关于x的一次函数（k为常数，且），当时，函数有最大值，则k的值是______．
【答案】
【解析】(k为常数，且)，
∴y随x的增大而减小，
又∵当时，函数有最大值，
当时，
即，
解得：，
故答案为：．
12. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为，B、C两点分别在x轴、直线上运动、若以为直角边的为等腰直角三角形，则点C的坐标为_______.
【答案】，或
【解析】由题知，设点，
当，且点在点A左侧时，
，解得：，
此时点的坐标为.
当，且点在点A右侧时，
，解得：，
此时点的坐标为.
当，且点在点A左侧时，
，解得：，
此时点的坐标为.
当，且点在点左侧时，
，解得：，
此时点的坐标为.
综上所述，点的坐标为，或.
故答案为：，或.
三、解答题
13. 计算：（1）；
（2）.
解：（1）原式
；
（2）原式
.
14. 小军到某景区游玩，他从景区入口处步行到达小憩屋，休息片刻后继续前行，此时观光车从景区入口处出发沿相同路线先后到达观景点，如图，，分别表示小军与观光车所行的路程y（m）与时间x（min）之间的关系．根据图象解决下列问题：
（1）观光车出发______分钟追上小军；
（2）观光车比小军早几分钟到达观景点？请说明理由．
解：（1）（分钟），
∴观光车出发6分钟追上小军．
故答案为：6．
（2）观光车比小军早8分钟到达观景点．理由如下：
观光车的速度为，
观光车到达观景点的时间（分钟），
（分钟），
∴观光车比小军早8分钟到达观景点．
15. “儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．某校八年级（1）班的数学兴趣小组学习了“勾股定理”之后，想测风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为12米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为20米；③牵线放风筝的同学的身高为1.7米．
（1）求风筝的垂直高度；
（2）如果想让风筝沿方向下降11米，则应该往回收线多少米？
解：（1）在中，米，米，
由勾股定理，得，
(负值舍去)，
依题意可知：四边形是矩形，
又∵牵线放风筝的同学的身高为1.7米，即米，
(米)．
答：风筝的垂直高度为17.7米；
（2）设风筝沿方向下降11米后达到M点，
由题意，得米，
，
(米)，
(米)，
应该往回收线7米．
16. 如图，在□ABCD中，点E在BC上，AB=BE，BF平分∠ABC交AD于点F，请用无刻度的直尺画图（保留作图痕迹，不写画法）.
（1）在图1中，过点A画出△ABF中BF边上的高AG；
（2）在图2中，过点C画出C到BF的垂线段CH.
解：(1)如图1，AG即为所求；
(2)如图2，CH即为所求.
17. 如图，在平行四边形中，于点E，延长至点F，使，连接，与交于点O．
（1）求证：四边形为矩形；
（2）若，，，求证：．
证明：（1）∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形是矩形．
（2）由（1）知：四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形，，
∴．
18. 点在第一象限，且，点A坐标，设面积为S．
（1）用含的式子表示S，写出的取值范围；
（2）并在图中网格中建立直角坐标系中画出函数S的图像；
（3）当面积是5时，求点的坐标．
解：（1）根据题意，点在第一象限，且，
∴，且，
∵点A坐标，
∴，则，
即面积（）；
（2）由（1）可知，，
当时，，
当时，，
又∵，故函数S的图像为自点（0,6）至点（4,0）且不含两点的线段，
据此通过建立坐标系、描点、连线，画出函数S的图像如下：
（3）当面积是5时，即，
解得，
∴，
∴点的坐标为．
19. 2025年3月12日是我国第47个植树节．植树节前，某校计划采购一批树苗参加植树节活动．经了解，每棵乙种树苗比每棵甲种树苗贵10元，用900元购买甲种树苗的棵数恰好与用1200元购买乙种树苗的棵数相同．
（1）求甲、乙两种树苗每棵的价格；
（2）学校计划购买甲、乙两种树苗共600棵，经过与供货商沟通，每棵甲种树苗的售价不变，每棵乙种树苗的售价打9折，若要求购买时甲种树苗的数量不超过乙种树苗数量的2倍，则学校应该如何设计购买方案，才能使购买树苗的总费用最少？
解：（1）设甲种树苗每棵的价格是元，则乙种树苗每棵的价格是元．
由题意得：，
解得，
经检验，是所列分式方程的解，且符合题意，
则，
答：甲种树苗每棵的价格是30元，乙种树苗每棵的价格是40元．
（2）设购买乙种树苗棵，总费用为元，则购买甲种树苗棵，
∵要求购买时，甲种树苗的数量不超过乙种树苗数量的2倍，
∴，
∴，
由题意得：，
∵一次函数中的，
∴在内，随的增大而增大，
∴当时，的值最小，
此时，
答：购买甲种树苗400棵，乙种树苗200棵，总费用最少．
20. 图1是四连杆开平窗铰链，其示意图如图2所示，为滑轨，
为固定长度的连杆．支点A固定在上，支点B固定在连杆上，支点D固定在连
杆上．支点P可以在上滑动，点P的滑动带动点B，C，D，E的运动．已知，，．窗户在关闭状态下，点B，C，D，E都在滑轨上．当窗户开到最大时，．
（1）若，则支点P与支点A的距离为______cm；
（2）窗户从关闭状态到开到最大的过程中，求支点P移动的距离．
解：（1）∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：；
（2）∵当窗户开到最大时，，
∴，
∴，
∵，
∴；
当关闭状态下，，
∴窗户从关闭状态到开到最大的过程中，支点P移动的距离为．
21. 某校为激发同学们对人工智能的兴趣，普及人工智能知识，组织了七、八年级学生参加了人工智能科普测试．现从七、八两个年级各抽取10人记录下他们的测试得分并进行整理和分析（积分用表示，共分为四组：，下面给出了部分信息：
七年级10人的得分：；
八年级10人的得分在组中的分数为：；
两组数据的平均数、中位数、众数如下表所示
八年级得分等级扇形统计图
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：_____，_____，_____；
（2）根据以上数据，你认为哪个年级在此次人工智能科普测试中表现更好，请说明理由（一条理由即可）；
（3）若七年级有2000人参与测试，八年级有1800人参与测试，请估计七、八两个年级得分在组的共有多少人？
解：（1）83出现的次数最多，故众数．
八年级C组人数∶，
八年级D组人数∶，
八年级B组人数：4，故八年级A组人数∶，
即．
八年级成绩排在第5和第6位的是84和87，故中位数
故答案为∶；
（2）八年级掌握人工智能知识比较好，
理由：八年级的中位数高于七年级的中位数，说明八年级学生掌握的较好；
注意：答案不唯一，回答合理即可
（3）分别求出七、八两个年级得分在组的人数，然后相加可得：
人，人，
七、八两个年级得分在组的人数之和为：人．
22. 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形，点A（8，0），B（10，6）．
（1）求直线AC的解析式；
（2）点M从点O出发以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右运动，点N从点A出发以每秒3个单位长度的速度沿x轴向左运动，两点同时出发，过点M，N作x轴的垂线分别交直线OC，AC于点P，Q，猜想四边形PMNQ的形状（点M，N重合时除外），并证明你的猜想；
（3）在（2）条件下，当点M运动 秒时，四边形PMNQ是正方形（直接写出结论）．
解：（1）∵四边形OABC是平行四边形，A（8，0），B（10，6），
∴C（2，6），
设直线AC的解析式为，
∴，解得，
∴直线AC的解析式为；
（2）猜想：四边形PMNQ是矩形，
证明：如图，∵C（2，6），
∴直线OC的解析式为，
设点M，N运动时间为t秒，
则M（t，0），B（8-3t，0），
∵PM，PN垂直于x轴，点P，Q分别在OC，AC上，
∴P（t，3t），Q（8-3t，3t），
∴PM=QN=3t，
∵PM∥QN，
∴四边形PMNQ是平行四边形，
又PM⊥x轴，
∴平行四边形PMNQ是矩形；
（3）∵四边形PMNQ是正方形，∴MN=QN，
∴，解得：或8；
故答案为或8．
23. 综合应用
【问题感知】
（1）如图①，在等边中，，点、分别在边、上，若是中点，则线段长度的最小值为________．
【问题呈现】
若图①中“是中点”改为“”，再求线段长度的最小值．
【问题解决】
（2）如图②，若把等边中“是中点”改为“”，如何求线段的最小值．
解决方法：小明将通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路径，进而解决上述问题：过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线．则为________度，线段长度的最小值为________．
【应用迁移】
（3）如图③．某房屋在维修时需使用钢丝绳进行加固处理，小明根据问题画出了示意图④，是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳．四边形是矩形，米，．若点在上，点在上，．求钢丝绳的最小值．
解：（1）∵是等边三角形，
∴，
∵N是中点，
∴，
当时，线段的值最小，
∴线段的最小值；
故答案为：；
（2）∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
又∵，
∴．
∴，
∵，
∴；
∵四边形是平行四边形，
∴，
当最小时，取最小值，也有最小值，此时，
∴最小值是2．
故答案为：30，2；
（3）如图，过M、D作平行线，
则四边形是平行四边形，
∴，
∴，
当时，最小，最小，
∵，，
∴，
∴，
在中，（米），
∴（米），
故钢丝绳长度的最小值为米．年级
平均数
中位数
众数
七
76.8
83
八
76.8
84