江西省上饶市鄱阳县湖城学校2024-2025学年八年级下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

这是一份江西省上饶市鄱阳县湖城学校2024-2025学年八年级下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版），共26页。试卷主要包含了范围，满分，请将答案写在答题卡上等内容，欢迎下载使用。
说明：1．范围：下册第十六章至十七章．
2．满分：120分；时间：120分钟．
3．请将答案写在答题卡上．
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项）
1. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列运算中，结果正确的是（ ）
A B. C. D.
3. 下列各组数中，不能构成直角三角形三边的是（ ）
A. 3，4，5B. 9，40，41C. D. 7，24，25
4. 已知在中，分别是的对边，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知实数，则化简的结果是（ ）
A. B. 3C. -3D.
6. 勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端，下面四幅图中能证明勾股定理的是（ ）
A. ②③B. ①②③C. ①②③④D. ②③④
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围为__________．
8. 如图，在中，于点，，，．则___________．
9. 最简二次根式与是同类二次根式，则___________．
10. 如图，有两棵树，一棵高，另一棵高，两树相距，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少要飞行___________．
11 已知，则___________．
12. 如图，在平面直角坐标系中，点，点．若动点从坐标原点出发，沿轴正方向匀速运动，运动速度为，设点的运动时间为，当是以为腰的等腰三角形时，的值为___________．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13. 计算：
（1）；
（2）．
14. 已知，求的值．
15. 在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度．
（1）请你在图1中画一个以格点为顶点，长度为的线段的中点；
（2）请你在图2中画一个以格点为顶点，面积是5的正方形．
16. 如图，从一个大正方形中裁去面积分别为和的两个小正方形，求：
（1）阴影部分的长和宽；
（2）阴影部分的面积．
17. 如图，广场有一块三角形空地，社区计划将这块三角形空地分割成四边形和，分别种植两种不同花卉，经测量，，，，，，求四边形的面积．
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18. 高空抛物极其危险，是我们必须杜绝行为．据研究，高空抛出的物体下落的时间（单位；s）和高度（单位：m）近似满足公式（不考虑空气阻力的影响）．
（1）从高空抛出的物体从抛出到落地所需时间是多少？从高空抛出的物体从抛出到落地所需时间是多少？是的多少倍？
（2）从高空抛出物体经过落地，所抛物体下落的高度是多少？
19. 在解决问题“已知．求的值”时．聪聪是这样分析与解答的：
解：．
．
请你根据聪聪的分析过程，解决如下问题：
（1）化简；
（2）若，求的值．
20. 如图，在长方形中，，，点为上一点，将沿翻折至，与相交于点，与相交于点，且．
（1）求证：；
（2）求的长．
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21. 我们已经学习了整式、分式和二次根式，当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现的形式，我们把形如的式子称为根分式，例如都是根分式．
（1）下列式子：
①；②；③，其中___________（填序号）是根分式；
（2）根分式中的取值范围为___________；
（3）已知两个根分式：．
①若，求的值；
②若是一个整数，且为整数，求的值．
22. 吊车在行驶过程中会产生较大的噪声．如图，有一台吊车沿公路由点向点行驶，已知点处为一所学校，点与直线上两点，的距离分别为和，，吊车周围以内为受噪声影响区域．
（1）求的度数；
（2）学校会受噪声影响吗？为什么？
（3）若吊车行驶速度为每分钟，则噪声影响该学校持续的时间为多少分钟？
六、解答题（本大题共12分）
23. 【综合与实践】
【问题情景】
（1）如图1，点为线段上一动点．分别过点，作，连接，．已知．设，用含的代数式表示的长；
【数学思考】
（2）如图.2．在某河道一侧有，两家工厂，它们到河道的距离，分别是．，两工厂之间的距离是．为了方便工厂用水，需要在河道上建立一个抽水点，且使得抽水点到两家工厂的距离之和最短．求的最小值；
【深入探究】
（3）请结合上述思路，求代数式的最小值．
八年级练习（五）
数学
说明：1．范围：下册第十六章至十七章．
2．满分：120分；时间：120分钟．
3．请将答案写在答题卡上．
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项）
1. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了最简二次根式的概念，解题的关键是掌握（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．根据最简二次根式的概念求解即可．
【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意；
B、最简二次根式，符合题意；
C、，不是最简二次根式，不符合题意；
D、，不是最简二次根式，不符合题意；
故选：B．
2. 下列运算中，结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查二次根式的运算，分别根据二次根式加、减、乘、除法法则分别计算各选项后再进行判断即可．
【详解】解：A.5和不是同类二次根式，不能计算，故选项A不符合题意；
B. 和不是同类二次根式，不能计算，故选项B符合题意；
C. ，原式计算错误，故选项C不符合题意；
D. ，计算正确，故选项D正确，符合题意；
故选：D．
3. 下列各组数中，不能构成直角三角形三边的是（ ）
A. 3，4，5B. 9，40，41C. D. 7，24，25
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，根据勾股定理的逆定理分别计算各个选项，选出正确的答案．
【详解】解：A、，能组成直角三角形，故此选项不符合题意；
B、，能组成直角三角形，故此选项不符合题意；
C、，不能组成直角三角形，故此选项符合题意；
D、，能组成直角三角形，故此选项不符合题意．
故选：C
4. 已知在中，分别是的对边，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查勾股定理的逆定理及三角形的内角和定理，熟知勾股定理的逆定理及三角形内角和定理是解题的关键．依次判断出四个选项中三角形的形状即可．
【详解】解：当时，
因为，
所以．
所以是直角三角形．
故A选项不符合题意；
因为，
所以，
即．
所以是直角三角形．
故B选项不符合题意；
因为，
所以，．
又因为，
所以，
则，
所以是钝角三角形．
故C选项符合题意；
因为，
则令，，，
所以，
即，
所以是直角三角形．
故D选项不符合题意；
故选：C．
5. 已知实数，则化简的结果是（ ）
A. B. 3C. -3D.
【答案】A
【解析】
【分析】把二次根式转化为绝对值，化简解答即可．
本题考查了二次根式的化简，熟练掌握绝对值的化简是解题的关键．
【详解】解：
，
∵，
∴
．
故选：A．
6. 勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端，下面四幅图中能证明勾股定理的是（ ）
A ②③B. ①②③C. ①②③④D. ②③④
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查勾股定理的证明过程，关键是要牢记勾股定理的概念，在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．
分别利用每个图形面积的两种不同的计算方法，再建立等式，再整理即可判断．
【详解】在①选项中，大正方形的面积等于两个小正方形的面积与两个长方形的面积和，
，
以上公式为完全平方公式，故①不能说明勾股定理；
在②选项中，由图可知三个三角形的面积的和等于梯形的面积，
，
整理可得，故②可以证明勾股定理；
在③选项中，大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积，
，
整理得，故③可以证明勾股定理；
在④选项中，整个图形的面积等于两个三角形的面积加大正方形的面积，也等于两个小正方形的面积加上两个直角三角形的面积，
，
整理得，故④可以证明勾股定理．
∴能证明勾股定理的是②③④．
故选：D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，掌握被开方数为非负数是解题关键．先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义，
∴，
解得．
故答案为：．
8. 如图，在中，于点，，，．则___________．
【答案】12
【解析】
【分析】本题主要考查勾股定理，根据勾股定理求出的长即可得出的长．
【详解】解：，
∴
在中，
∵，，
∴，
又，
∴,
故答案为：12．
9. 最简二次根式与是同类二次根式，则___________．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查了同类二次根式的定义，熟练掌握同类二次根式的定义：把几个二次根式化为最简二次根式后，若它们的被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式是解题的关键．根据同类二次根式的定义即可求解．
【详解】解：由题意得，，
解得：．
故答案为：1．
10. 如图，有两棵树，一棵高，另一棵高，两树相距，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少要飞行___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理、矩形的判定和性质，过点作，连接，可知四边形为矩形，根据矩形的性质可得、，利用勾股定理可得．
【详解】解：如下图所示，过点作，连接，
则四边形为矩形，
，，
，
在中，，
．
故答案为：．
11. 已知，则___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了求代数式的值、利用完全平方公式分解因式，首先把代数式整理可得：原式，把代入整理后的代数式进行计算即可．
【详解】解：
，
原式
故答案为： ．
12. 如图，在平面直角坐标系中，点，点．若动点从坐标原点出发，沿轴正方向匀速运动，运动速度为，设点的运动时间为，当是以为腰的等腰三角形时，的值为___________．
【答案】1或7或
【解析】
【分析】本题主要考查等腰三角形性质和勾股定理，分别以点B和点C为圆心画圆，分别交的正半轴，则可求出t的值．
【详解】解：∵点，点，
∴，
以点B为圆心，为半径画圆交的正半轴于，如图，
则，，
∴，；
以点C为圆心，为半径画圆交的正半轴于，如图，
∵，
∴，
∴，
综上，的值为1或7或，
故答案为：1或7或．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了实数的运算，掌握实数的运算法则是解题的关键．
（1）首先化简二次根式，再进行加减运算即可；
（2）根据零指数幂、绝对值和二次根式的化简性质进行计算即可求解．
【小问1详解】
解：原式
．
【小问2详解】
原式
．
14. 已知，求的值．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查二次根式的被开方数是非负数，求一元一次不等式组的解集，熟练掌握相关知识是解题的关键；根据被开方数大于等于0列式求出x的值，然后求出y的值，然后把x、y的值代入计算即可得解．
【详解】解：与有意义，
，
解得，
，
．
15. 在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度．
（1）请你在图1中画一个以格点为顶点，长度为的线段的中点；
（2）请你在图2中画一个以格点为顶点，面积是5的正方形．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查作图-应用与设计作图，勾股定理，解答本题的关键准确利用网格．
（1）利用数形结合思想构造两邻边长分别为3，1，其对角线长度为，，对角线的交点即为点；
（2）面积是5的正方形，其边长为，由于，利用数形结合思想构造边长为的正方形即可．
【小问1详解】
解：如图1，点即为所求．
【小问2详解】
如图2，正方形即为所求．
16. 如图，从一个大正方形中裁去面积分别为和的两个小正方形，求：
（1）阴影部分的长和宽；
（2）阴影部分的面积．
【答案】（1）长和宽分别为和；
（2）．
【解析】
【分析】本题考查了算术平方根和二次根式的应用，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（）根据算术平方根的定义即可求解；
（）根据二次根式的乘法运算即可求解．
【小问1详解】
解：∵两个裁去的小正方形的面积分别为和，
∴这两个裁去的小正方形的边长分别为和，
∴阴影部分的长和宽分别为和；
【小问2详解】
解：由（1）可知阴影部分的长为，宽为，
∴阴影部分的面积．
17. 如图，广场有一块三角形空地，社区计划将这块三角形空地分割成四边形和，分别种植两种不同的花卉，经测量，，，，，，求四边形的面积．
【答案】四边形的面积为．
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理以及三角形面积等知识．由勾股定理得，再由勾股定理的逆定理得是直角三角形，且，然后由三角形面积公式即可解决问题．
【详解】解：由题意得，．
∵，
∴在中，由勾股定理得．
，
，
是直角三角形，且，
．
答：四边形的面积为．
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18. 高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛出的物体下落的时间（单位；s）和高度（单位：m）近似满足公式（不考虑空气阻力的影响）．
（1）从高空抛出的物体从抛出到落地所需时间是多少？从高空抛出的物体从抛出到落地所需时间是多少？是的多少倍？
（2）从高空抛出物体经过落地，所抛物体下落的高度是多少？
【答案】（1），，倍；
（2）．
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的性质，乘二次根式除法运算的实际应用，掌握运算法则是解题的关键．
（）先把时，时，代入，然后根据二次根式的性质化简，再进行二次根式除法运算即可；
（）当时，则，然后然后根据二次根式的性质化简即可．
【小问1详解】
解：当时，；
当时，．
∴，
∴是的倍；
【小问2详解】
解：当时，，
解得，
∴所抛物体下落的高度是．
19. 在解决问题“已知．求的值”时．聪聪是这样分析与解答的：
解：．
．
请你根据聪聪的分析过程，解决如下问题：
（1）化简；
（2）若，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了分母有理化、代数式的求值，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）分子、分母都乘，再进一步计算即可化简；
（2）仿照题意的方法，由得到，再利用整体代入法即可求值．
【小问1详解】
解：．
【小问2详解】
解：，
，
，即，
，
．
20. 如图，在长方形中，，，点为上一点，将沿翻折至，与相交于点，与相交于点，且．
（1）求证：；
（2）求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），全等三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理，解题的关键是灵活运用这些性质．
（1）由四边形是长方形，可得．由折叠的性质可知．再证明即可得出结论；
（2）由全等三角形的性质可得，再由可证得，设，则，可得出，在中，由勾股定理得，列出方程，再求解即可．
【小问1详解】
证明：四边形是长方形，
．
由折叠的性质可知．
在和中
；
【小问2详解】
解：
，
，
设，则，
，
在中，由勾股定理得，
，
解得，
的长为．
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21. 我们已经学习了整式、分式和二次根式，当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现的形式，我们把形如的式子称为根分式，例如都是根分式．
（1）下列式子：
①；②；③，其中___________（填序号）是根分式；
（2）根分式中的取值范围为___________；
（3）已知两个根分式：．
①若，求的值；
②若是一个整数，且为整数，求的值．
【答案】（1）③ （2）且
（3）①；②0或2
【解析】
【分析】（1）根据定义判断，只有③符合题意，解答即可．
（2）根据分母不能为0，被开方数是非负数，求解即可．
（3）①代入中，解分式方程，求解即可；
②先表示，再根据是一个整数，且为整数，建立方程求的值即可．
【小问1详解】
解：根据定义判断，只有符合题意，
故答案为：③．
【小问2详解】
解：根分式有意义的条件是且，
解得且；
故答案为：且．
【小问3详解】
①解：∵，
∴，
．
，
，
解得，
经检验，是原方程的根，
的值为．
②解：①可知，
．
是一个整式，且为整数，
，
解得或，
的值为0或2．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，解分式方程，解一元二次方程，整除性质，熟练掌握意义和解方程是解题的关键．
22. 吊车在行驶过程中会产生较大的噪声．如图，有一台吊车沿公路由点向点行驶，已知点处为一所学校，点与直线上两点，的距离分别为和，，吊车周围以内为受噪声影响区域．
（1）求的度数；
（2）学校会受噪声影响吗？为什么？
（3）若吊车的行驶速度为每分钟，则噪声影响该学校持续的时间为多少分钟？
【答案】（1）
（2）会受噪声影响，理由见解析
（3）2.4分钟
【解析】
【分析】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答．
（1）依据勾股定理判定直角三角形，然后得到度数；
（2）利用三角形面积得出的长，进而得出学校C是否会受噪声影响；
（3）利用勾股定理得出以及的长，进而得出吊车噪声影响该学校持续的时间．
【小问1详解】
解：，
，
是直角三角形，且；
【小问2详解】
解：学校会受噪声影响．理由如下：
如图，过点作于点．
，
．
吊车周围以内为受噪声影响区域，且，
学校会受噪声影响；
【小问3详解】
解：如图，在上取一点，使，连接，
，
当吊车在线段上时产生的噪声会影响学校．
，
Rt中，，
（分钟）．
答：吊车产生的噪声影响该学校持续的时间为2.4分钟．
六、解答题（本大题共12分）
23. 【综合与实践】
【问题情景】
（1）如图1，点为线段上一动点．分别过点，作，连接，．已知．设，用含的代数式表示的长；
【数学思考】
（2）如图.2．在某河道一侧有，两家工厂，它们到河道的距离，分别是．，两工厂之间的距离是．为了方便工厂用水，需要在河道上建立一个抽水点，且使得抽水点到两家工厂的距离之和最短．求的最小值；
【深入探究】
（3）请结合上述思路，求代数式的最小值．
【答案】（1）；（2）；（3）15
【解析】
【分析】本题考查轴对称-最短路线问题，列代数式，勾股定理，能够构造出符合代数式的几何图形是解题的关键．
（1）根据图1，利用勾股定理即可用含x的代数式表示的长；
（2）作点关于河道的对称点，过点作，交的延长线于点，过点作于点，连接，则易得四边形，四边形和四边形都是长方形，且，，可得的最小值为的长，再求解即可；
（3）构造类似图1的图形，结合（2）的思路，即可求出答案．
【详解】解：（1），
，
，
，
在中，，
由勾股定理，得，
在中，
由勾股定理，得
；
（2）如图1，作点关于河道的对称点，过点作，交的延长线于点，过点作于点，连接，则易得四边形，四边形和四边形都是长方形，且，
，
的最小值为的长．
，
，
，，
在中，由勾股定理，得，
．
在中，由勾股定理，得，
的最小值为．
（3）构造图形如图2所示，其中点为线段上一点，分别过点作，连接，
其中．
连接．
，
代数式的最小值为的长，
过点作，交的延长线于点，
易知，
，
在中，由勾股定理，得，
代数式的最小值为15．