2024-2025学年辽宁省朝阳实验中学高二（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年辽宁省朝阳实验中学高二（下）期中数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知U为整数集，A={x∈Z|x2>4}，则∁UA=( )
A. {0,1}B. {−1,0,1,2}C. {0,1,2}D. {−2,−1,0,1,2}
2.若zi=z+i，则zz−=( )
A. 12B. 1C. 2D. 4
3.已知a,b为单位向量，若(a+2b)⊥(3a−b)，则cs〈a,b〉=( )
A. 35B. −35C. 15D. −15
4.随着暑假的来临，中国各地旅游市场也迎来旺季.小明和小王都计划在南京、北京、西安、厦门、杭州这5个城市中选2个城市去旅游，则小明和小王不会去相同城市的概率为( )
A. 15B. 310C. 25D. 23
5.已知函数f(x)为定义在[1−a,4]上的偶函数，在[0,4]上单调递减，并且f(−m−a5)b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，且椭圆上存在点P，使得|PF1|=7|PF2|，则该椭圆的离心率的取值范围是( )
A. (0,34)B. (0,34]C. [34,1)D. (34,1)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知圆C1：(x−m)2+y2=1与圆C2：(x−2)2+(y−m)2=9内切，则m的值可以为( )
A. −1B. 0C. 1D. 2
10.已知函数f(x)=(sinx+csx)2−1，则( )
A. 函数f(x)的最小正周期为π
B. 函数f(x)的图象关于直线x=π4对称
C. 函数f(x)的图象关于点(−π6,0)对称
D. 函数f(x)在区间[−π6,π12]上的值域为[− 32,12]
11.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，AA1=2，点P在线段BC1上运动，点Q在线段AA1上运动，则下列说法中正确的有( )
A. 当P为BC1中点时，三棱锥P−ABB1的外接球半径为 2
B. 线段PQ长度的最小值为2
C. 三棱锥D1−APC的体积为定值
D. 平面BPQ截该正方体所得截而可能为三角形、四边形、五边形
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知锐角α，β满足sinα= 55,csβ=35，则cs(α−β)= ．
13.在等差数列{an}中，a1=20，其前n项和为Sn，Sn+1n+1−Snn=−32，则a20=______．
14.已知函数f(x)=x2,0≤x≤1lnx,x>1，若存在实数x1，x2(x2>x1≥0)满足f(x1)=f(x2)，则3x12+1x22的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，且S=abc4．
(1)求△ABC的外接圆的半径；
(2)若b+c=2，且A=2π3，求BC边上的高．
16.(本小题15分)
如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=2，AA1=4，点D为AC的中点．
(1)求证：B1C//平面A1BD；
(2)求直线AB与平面A1BD所成的角的正弦值．
17.(本小题15分)
已知某种机器的电源电压U(单位：V)服从正态分布N(220,202).其电压通常有3种状态：①不超过200V；②在200V∼240V之间；③超过240V.在上述三种状态下，该机器生产的零件为不合格品的概率分别为0.4，0.5，0.6．
(1)求该机器生产的零件为合格品的概率；
(2)为了检测零件是否合格，在一批零件中任意抽取4件，记这4件中合格品有X个，求X的分布列、数学期望和方差．
附：若Z∼N(μ,σ2)，则P(μ−σ4}，
则∁UA={x∈Z|x2≤4}={x∈Z|−2≤x≤2}={−2,−1,0,1,2}.={−2,−1,0,1,2}．
故选：D．
由补集定义得∁UA={x∈Z|x2≤4}，由此能求出结果．
本题考查补集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】A
【解析】解：由题意，z=ii−1=i(i+1)(i−1)(i+1)=1−i2，则zz−=12(1−i)⋅12(1+i)=12．
故选：A．
化简复数z，可得答案．
本题考查复数的运算，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：因为a,b为单位向量，(a+2b)⊥(3a−b)，
所以(a+2b)⋅(3a−b)=3a2+5a⋅b−2b2=1+5a⋅b=0，则a⋅b=−15，
所以cs〈a,b〉=a⋅b|a||b|=−15．
故选：D．
利用平面向量数积量运算法则求得a⋅b，再利用向量夹角余弦公式即可得解．
本题主要考查向量的夹角公式，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：两人从5个城市中各选2个城市去旅游共有C52C52=100种选法，
若两人不去相同城市，则有C52C32=30种选法，
所以小明和小王不会去相同城市的概率为30100=310．
故选：B．
根据分步乘法计数原理和组合数公式求出总选择和满足条件的选择种数，再由古典概型概率公式可得．
本题考查分步乘法计数原理和组合数公式等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】【分析】
根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．
本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，综合考查函数性质的应用．
【解答】
解：由题意得1−a=−4，即a=5，
因为偶函数在[0,4]上单调递减，根据偶函数对称区间上单调性相反可知，
函数在[−4,0]上单调递增，
因为f(−m−a5)2且|−m−1|≤4，
解得−5≤m1，若x∈(13,+∞)，则1−3x4(x+1)a>1−3x4(x+1)⋅4e，进而可得g(a)≥g(4e)=ex+4ex+1−3e，设ℎ(x)=ex+4ex+1−3e，求出最小值，即可得出答案．X
0
1
2
3
4
P
116
14
38
14
116