2024-2025学年辽宁省朝阳市建平实验中学高二（上）期末数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年辽宁省朝阳市建平实验中学高二（上）期末数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数z=(1+i)(3+i)i，则复数z的虚部为( )
A. −2B. −2iC. 4D. 2i
2.抛物线y=16x2的焦点到准线的距离为( )
A. 92B. 3C. 23D. 1
3.已知直线l的方向向量为m=(1,−3,4)，平面α的一个法向量为n=(a,2,1)，若直线l/​/平面α，则a=( )
A. −7B. −3C. −1D. 2
4.已知圆柱的底面半径r=2，母线长l是底面直径的2倍，则该圆柱的表面积为( )
A. 6πB. 16πC. 32πD. 40π
5.已知椭圆C的长轴的顶点分别为A、B，点F为椭圆C的一个焦点，若|AF|=3|BF|，则椭圆C的离心率为( )
A. 13B. 22C. 12D. 32
6.已知点A(−3,4)，点B(10,5)，直线l过点O(0,0)且与线段AB相交，则直线l的斜率的取值范围为( )
A. [−43,12]B. (−∞,−43]∪[12,+∞)
C. [12,+∞)D. (−∞,−43]
7.已知抛物线C：y2=2x，过点M(23,12)的直线l与C相交于A，B两点，且M为弦AB的中点，则直线l的方程为( )
A. 6x+6y−7=0B. 6x−6y−1=0
C. 2x−6y−5=0D. 12x−6y−5=0
8.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：(x−a)2+(y−a)2=a2(a>0)，A(−3,0)，若圆C上存在点P，使得|PA|=2|PO|，则正数a的取值范围为( )
A. (0,1]B. [1,2]C. [ 3,2]D. [1,3+2 3]
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知两条平行直线m，n，直线m：3x+4y+2=0，直线n：6x+8y+a=0，直线m，n之间的距离为1，则a的值可以是( )
A. −8B. −6C. 12D. 14
10.如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，P为空间内一动点，若BP=λBC+μBB1(λ,μ∈[0,1])，则( )
A. 若λ=μ，则点P的轨迹为线段BC1
B. 若μ=1−λ，则点P的轨迹为线段B1C
C. 存在λ，μ∈(0,1)，使得AP⊥平面BCC1B1
D. 存在λ，μ∈(0,1)，使得AP//平面A1B1C1
11.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1(−c,0)，F2(c,0)，左、右顶点分别为A，B，P是双曲线C的一条渐近线上位于第一象限内的一点，且满足PF1⊥PF2，O为坐标原点，线段OP的中点为Q，直线AQ与双曲线C交于另一点E，与双曲线C的另一条渐近线相交于点D.则( )
A. |OP|=cB. 点P的坐标为(b,a)
C. D是AQ的中点D. Q是DE的中点
三、填空题：本题共3小题，共20分。
12.若圆x2+y2−2ax−2by=0被直线x+y=1平分，则a+b= ______．
13.如图，在正四面体PABC中，AB=2，D为AB中点，则PD⋅AC的值是______．
14.已知抛物线C1：y2=4x的焦点为F1，则抛物线C1的准线方程为______；抛物线C2：y2=16x的焦点为F2，若直线y=m(m≠0)分别与C1，C2交于P，Q两点，且|PF1|−|QF2|=3，则m= _____．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且 3bcsC=csinB．
(1)求角C；
(2)若b= 2，△ABC的面积为2 3，求c．
16.(本小题12分)
如图，在四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，AB=AD=BD=AA1=2．
(1)求直线BD1与平面ACD1所成角的正弦值；
(2)求点B1到平面ACD1的距离．
17.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA=PD，AP⊥PD，△PBC为等边三角形，E为BC的中点．
(1)证明：PE⊥平面APD；
(2)求平面PAB与平面PAE的夹角的余弦值．
18.(本小题12分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴长为2 2，短轴长为2．
(1)求椭圆C的焦点坐标；
(2)直线my=x−1与椭圆C相交于A、B两点，点F为椭圆C的左焦点，若∠AFB为锐角，求实数m的取值范围．
19.(本小题12分)
如图，已知点T1(3,− 5)和点T2(−5, 21)在双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)上，双曲线C的左顶点为A，过点L(a2,0)且不与x轴重合的直线l与双曲线C交于P，Q两点，直线AP，AQ与圆O：x2+y2=a2分别交于M，N两点．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)设直线AP，AQ的斜率分别为k1，k2，求k1k2的值；
(3)证明：直线MN过定点．
参考答案
1.A
2.B
3.D
4.D
5.C
6.B
7.D
8.D
9.BD
10.AB
11.ACD
12.1
13.−1
14.x=−1 ±4 2
15.解：(1)由正弦定理及 3bcsC=csinB，得 3sinBcsC=sinCsinB，
因为sinB≠0，所以 3csC=sinC，即tanC= 3，
因为C∈(0,π)，
所以C=π3．
(2)由(1)得，C=π3，
因为S△ABC=12×absinC= 34ab=2 3，所以ab=8，
又b= 2，所以a=4 2，
由余弦定理得，c2=a2+b2−2abcsC=32+2−8=26，
所以c= 26．
16.解：(1)连接AC，BD相交于点O，连接A1C1，B1D1相交于点O1，
由AB=AD=BD=2，知△ABD为等边三角形，
因为O为BD的中点，所以AC⊥BD，且AO= 3，OB=OD=1，
又AO=OC，A1O1=O1C1，所以OO1//AA1，
因为AA1⊥平面ABCD，所以OO1⊥平面ABCD，
以O为坐标原点，OA，OB，OO1所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则O(0,0,0)，A( 3,0,0)，B(0,1,0)，D1(0,−1,2)，B1(0,1,2)，
(1)OA=( 3,0,0)，OD1=(0,−1,2)，BD1=(0,−2,2)，
设平面ACD1的法向量为m=(x,y,z)，则OA⋅m= 3x=0OD1⋅m=−y+2z=0，
取z=1，则x=0，y=2，所以m=(0,2,1)，
所以cs=BD1⋅m|BD1|⋅|m|=−4+22 2× 5=− 1010，
故直线BD1与平面ACD1所成角的正弦值为 1010．
(2)由(1)知平面ACD1的法向量为m=(0,2,1)，
而D1B1=(0,2,0)，
所以点B1到平面ACD1的距离为d=|D1B1⋅m||m|=4 5=4 55．
17.解：(1)证明：在四棱锥P−ABCD中，正方形ABCD的边长为2，取AD的中点O，连接OE，OP，
由PA=PD，AP⊥PD，得PO=1，由E为BC的中点，得OE=AB=2，
由△PBC为等边三角形，得PE= 3，于是OP2+PE2=4=OE2，即OP⊥PE，
又PE⊥BC，AD//BC，则AD⊥PE，而AD∩OP=O，AD，OP⊂平面PAD，
所以PE⊥平面APD．
(2)由(1)知，OP⊥AD，AD⊥PE，OP∩PE=P，OP，PE⊂平面POE，
则AD⊥平面POE，
而AD⊂平面ABCD，
于是平面POE⊥平面ABCD，在平面POE内过点O作Oz⊥OE，
又平面POE∩平面ABCD=OE，
因此Oz⊥平面ABCD，即直线OA，OE，Oz两两垂直，
以点O为原点，直线OA，OE，Oz分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
有O(0,0,0)，A(1,0,0)，D(−1,0,0)，B(1,2,0)，E(0,2,0)，C(−1,2,0)，
在Rt△POE中，由OP=1，OE=2，得∠POE=π3，P(0,12, 32)，
设平面ABP的法向量为m=(x,y,z)，AB=(0,2,0)，AP=(−1,12, 32)，
则AB⊥mAP⊥m，则AB⋅m=2y=0AP⋅m=−x+12y+ 32z=0，
取x= 3，得m=( 3,0,2)，
设平面AEP的法向量为n=(a,b,c)，AE=(−1,2,0)，AP=(−1,12, 32)，
则AE⊥nAP⊥n，则AE⋅n=−a+2b=0AP⋅n=−a+12b+ 32c=0，
取a=2，得n=(2,1, 3)，
因此cs〈m,n〉=m⋅n|m||n|=4 3 7×2 2= 427，
所以平面PAB与平面PAE的夹角的余弦值为 427．
18.解：(1)∵椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴长为2 2，短轴长为2.∴a= 2，b=1，
即可得c= a2−b2=1，
∴椭圆C的焦点坐标为(±1,0)；
(2)设A、B两点坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2)，
可知椭圆C的左焦点F(−1,0)，
联立 my=x−1x2+2y2=2，消元可得(m2+2)y2+2my−1=0，
y1+y2=−2mm2+2，x1x2=−1m2+2，
x1+x2=m(y1+y2)+2=42+m2，
x1x2=(my1+1)(my2+1)=m2y1y2+m(y1+y2)+1=−m2m2+2−2m2m2+2+1=2−2m2m2+2，
FA=(x1+1,y1)，FB=(x2+1,y2)，
FA⋅FB=(x1+1)(x2+1)+y1y2=2−2m2m2+2+4m2+2−1m2+2+1=7−m2m2+2．
若∠AFB为锐角，则7− m2m2+2>0，∴− 7