辽宁省朝阳市建平县实验中学2024-2025学年高二下学期开学考试 数学试题（含解析）

这是一份辽宁省朝阳市建平县实验中学2024-2025学年高二下学期开学考试 数学试题（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题
1. 已加复数，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据共轭复数的定义及复数减法的运算法则求解即可.
【详解】因为，所以，
因为，所以.
故选：C
2. 设，向量，，，且，，则等于（ ）
A. B. C. 3D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示求出，再根据向量坐标形式的模长公式计算即可得解.
详解】由题可得，解得，
所以向量，，所以，
所以.
故选：C.
3. 以直线恒过定点为圆心，半径为的圆的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据直线过定点可得圆心坐标，再结合半径可得圆的方程.
【详解】由，得，
令，则，
即直线恒过定点，
则圆的方程为，即，
故选：D.
4. 在中，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据正弦定理及余弦定理求解.
【详解】由正弦定理可知，，
设，
则.
故选：B
5. 已知点P，A，B，C，D是球O表面上的点，面，四边形是边长为的正方形．若，求的面积．（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】因侧棱垂直于底面，故将其补成直棱柱即可.
【详解】因面且四边形是正方形，故将其补成长方体.
如图，球心O为长方体的中心，，
则等腰的高为，
故的面积为.
故选：B.
6. 点是直线l上一点，是直线l的一个方向向量，则点到直线l的距离是（ ）
A. B.
C. 2D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用点到直线的距离公式计算即可．
【详解】，是直线的一个单位方向向量，
点P到直线l的距离为.
故选：B.
7. 公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯结合前人的研究成果，写出了经典之作《圆锥曲线论》，在此著作第七卷《平面轨迹》中，有众多关于平面轨迹的问题，例如:平面内到两定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆.后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆.已知平面内有两点和，且该平面内的点P满足，若点P的轨迹关于直线对称，则的值为 （ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】设点，运用直接法求得点P的轨迹方程为：，依题意圆心在已知直线上，代入化简即得.
【详解】设点，则由可得，，
两边取平方，，
化简得：，即，
依题意，其圆心在直线上，可得，
故.
故选：B.
8. 已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于，两点，若的中点坐标为，则椭圆的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设，利用点差法和中点坐标公式，及斜率公式可得，再结合的关系即可求解.
【详解】设，
代入椭圆方程可得：，
两式作差可得：，
又的中点坐标为，
所以，
则，又，
所以，即，
又，
所以，
所以椭圆的方程为：.
故选：.
二、多选题
9. 已知抛物线与双曲线有相同的焦点，点在抛物线上，则下列结论正确的有（ ）
A. 双曲线的离心率为2B. 双曲线的渐近线为
C. D. 点P到抛物线的焦点的距离为4
【答案】ACD
【解析】
【分析】由双曲线方程写出离心率、渐近线及焦点，即可知A、B、C的正误，根据所得抛物线方程求，即知D的正误.
【详解】双曲线的离心率为，故A正确；
双曲线的渐近线为，故B错误；
由有相同焦点，即，即，故C正确；
抛物线焦点为，点在上，则，故或，所以P到的焦点的距离为4，故D正确．
故选：ACD．
10. 设是两个平面，是两条直线，下列命题正确的是（ ）
A. 如果，，那么．
B. 如果，，那么．
C. 如果，，，，那么．
D. 如果，，，，那么．
【答案】AB
【解析】
【分析】由线面垂直的定义可知选项A正确；由面面平行的性质可知选项B正确；由线面垂直的性质定理可知选项C错误；由面面平行的判定定理可知选项D错误.
【详解】A. 如果，那么直线与平面内的任意一条直线都垂直，由于，故，选项A正确.
B. 如果，那么平面内的任意一条直线都与平面平行，由于，故，选项B正确.
C.平面与平面垂直的性质定理：两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直.
如图，选项条件中直线不一定是平面与平面的交线，故不能推出.选项C错误.
D.平面与平面平行的判定定理：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行.
如图，选项条件中两直线可能平行，不能得到.选项D错误.
故选：AB.
11. 如图，P是椭圆与双曲线在第一象限的交点，，且，共焦点，离心率分别为，，则下列结论正确的是（ ）
A. ，B. 若，则
C. D. 若，则的最大值是
【答案】AC
【解析】
【分析】由椭圆､双曲线的定义可得选项A正确；根据余弦定理结合离心率的概念可得选项B错误；利用二倍角公式结合弦化切可得选项C正确；利用基本不等式可得选项D错误.
【详解】A.由椭圆､双曲线的定义可知，，
∴，故A正确.
B.由题意得，.
由余弦定理得，
当时，，，即，
∴，故B错误.
D当时，，，即，故，
∵，∴由基本不等式得，，故，D错误.
C.∵，，
∴，故，
∵，∴，C正确.
故选：AC.
【点睛】关键点点睛：解决选项B、D的关键是利用余弦定理结合离心率概念得到的关系式，结合选项判断；解决选项C的关键是利用二倍角公式结合弦化切得到，由此可得结论成立.
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题
12. 圆与圆的公共弦长为______.
【答案】
【解析】
【分析】将两圆方程作差可得出相交弦所在直线的方程，求出圆的圆心到相交弦所在直线的距离，利用勾股定理可求得相交弦长.
【详解】将圆与圆的方程作差可得，
所以，两圆相交弦所在直线的方程为，
圆的圆心为原点，半径为，
原点到直线的距离为，
所以，两圆的公共弦长为.
故答案为：.
13. 已知直线与圆，则圆上的点到直线的距离的最小值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】由圆的方程可确定圆心和半径，根据圆的几何性质可知所求最小值为圆心到直线的距离减去半径.
【详解】由圆方程得：圆心，半径，
圆心到直线的距离，
圆上的点到直线距离的最小值为.
故答案为：.
14. 已知圆，椭圆的左、右焦点分别为，，为坐标原点，为椭圆上一点，直线与圆交于点，，若，则________.
【答案】6
【解析】
【分析】利用求出，然后将转化为求解即可.
【详解】
设，由于，
而，则，
所以，
．
故答案为：6
四、解答题
15. 已知直线与直线相交于点，以为圆心的圆过点.
（1）求圆的方程；
（2）求过点的圆的切线方程.
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】（1）联立直线得，圆的半径为，进而可得；
（2）斜率不存在时，，符合题意；斜率存在时，设直线方程，根据圆心到切线的距离为半径可得斜率，进而可得.
【小问1详解】
由，得，即，
由题意圆的半径为，
故圆的方程为.
【小问2详解】
当切线的斜率不存在时，方程为，与圆相切，符合题意.
当切线的斜率存在时，设斜率为，则切线方程为：，即，
由题意，得，即，
两边分别平方得，得，
故切线方程为，即，
综上过点的圆的切线方程为，.
16. 记的内角，，的对边分别为，，，且.
（1）求角的值；
（2）若为的中点，且，，求的面积.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由正弦定理得到，结合三角恒等变换得到；
（2）根据中点得到，两边平方得到，由余弦定理得到，联立求出，求出三角形面积.
【小问1详解】
由正弦定理得，，
则由，得，
，
，

，
；
【小问2详解】
为的中点，
，
又，
，①
由余弦定理得，，②
联立①②，解得，
，
的面积为.
17. 已知椭圆的离心率为，，分别是椭圆的左右焦点，过点的直线交椭圆于两点，且的周长为
（1）求椭圆的方程；
（2）直线与交于两点，求面积的最大值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据椭圆的定义可得的周长为，结合椭圆的离心率可得结果.
（2）利用弦长公式和点到直线的距离公式表示三角形面积，分析函数性质可得结果.
【小问1详解】
由椭圆的定义得，的周长为
，故.
由离心率得，∴，
∴椭圆C的方程为.
【小问2详解】
设，
由得，，
由Δ=4m2−122m2−2>0得，，
∴，
∴
，
∵点到直线的距离为，
∴的面积，
令，则
∵二次函数对称轴直线，
∴当时，，
∴.
18. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是梯形，，，，，，E为AB的中点，M为CE的中点.
（1）证明：；
（2）若，N为PC中点，且AN与平面PDM所成角的正弦值为，求四棱锥的体积.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用勾股定理证明垂直，再利用题干得，即可得到平面PBD，即可得到结论.
（2）建立空间直角坐标系，利用线面所成角的向量求法解得高度h，即可求得四棱锥的体积.
【小问1详解】
证明：在梯形ABCD中，连接交BD于CE一点，
因为且，所以四边形CDBE为平行四边形，
所以BD与CE的交点即为CE中点M.
由已知可得，，，，由余弦定理得,
所以三角形为直角三角形，所以，
又，，所以,且,所以平面PBD，
又平面PBD，所以.
【小问2详解】
由（1）知，平面PDM，如图，以D为坐标原点，分别以DB，DC为x，y轴，垂直于底面ABCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系，则，，
设，则，，
平面PDM的一个法向量为，
设直线AN与平面PDM所成角为，
则，
化简得.
由，可得，求得，.
故.
19. 已知抛物线的焦点为．过F作两条互相垂直的直线，，且直线与交于M，N两点，直线与交于E，P两点，M，E均在第一象限．设A，B分别为弦MN，EP的中点，直线ME与直线NP交于点H．
（1）求的方程．
（2）直线AB是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．
（3）证明：点H在直线上．
【答案】（1）
（2）直线过定点，理由见解析
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用焦点坐标求抛物线的方程；
（2）设直线和的方程，与抛物线联立方程组，利用韦达定理表示出A，B两点坐标，得直线AB方程，由方程判断所过定点坐标；
（3）表示出直线ME与直线NP方程，联立方程组求交点坐标即可.
【小问1详解】
抛物线的焦点为，则有，，
所以抛物线的方程为.
【小问2详解】
直线，与抛物线各有两个交点，可知直线，斜率存在且不为0，
设直线的斜率为，则直线，设，
由，消去并整理得，
此时，
由韦达定理得，，
由A为弦MN的中点，有，则，
由垂直的条件，可将换为，设，
同理得，，有，
当或时，直线的方程为，
当且时，直线的斜率为，方程为，
即，可知时，
所以直线过定点，其坐标为.
【小问3详解】
，同理得，
此时直线的方程为，
即，
同理，直线的方程为，
由，消去解得，
故直线ME与直线NP的交点在直线上.
【点睛】方法点睛：
解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形，强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．