2024-2025学年北京市东城区高二上学期期中考试数学检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年北京市东城区高二上学期期中考试数学检测试题（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知，，，若，则（ ）
A．5B．4C．1D．
2．已知直线，．若，则实数（ ）
A．或B．或C．或D．或
3．直线绕其与轴的交点逆时针旋转得到直线，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
4．已知方程表示一个圆，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
5．与椭圆有相同焦点，且短轴长为的椭圆的方程是（ ）
A．B．
C．D．
6．如图，在平行六面体中，点E，F分别为AB，的中点，则（ ）
A．B．
C．D．
7．正方体中，、分别为、的中点，则（ ）
A．平面B．平面
C．平面D．平面
8．若点和点分别为椭圆的中心和左焦点，点为椭圆上点的任意一点，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
9．在三棱锥中，平面，，，，则直线与平面所成角的大小为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
10．在正方体中，若点P（异于点B）是棱上一点，则满足与所成的角为的点P的个数为（ ）
A．0B．3C．4D．6
二、填空题（本大题共5小题）
11．已知，，若，则实数的值为 ．
12．圆被直线截得的弦长为 ．
13．在正方体中，异面直线与所成角的余弦值为 .
14．已知椭圆的左、右焦点分别为、，为椭圆上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为 ．
15．在平面直角坐标系中，曲线是由到两个定点和点的距离之积等于的所有点组成的．对于曲线，有下列四个结论：
①曲线是轴对称图形；
②曲线是中心对称图形；
③曲线所围成的区域内只有个整点（横、纵坐标均为整数的点）；
④点Px,y是曲线上的点，则．
其中正确结论的编号为 ．
三、解答题（本大题共6小题）
16．已知圆C经过，，且圆心C在直线上．
(1)求圆C的标准方程；
(2)求圆C经过点的切线方程．
17．椭圆的左、右焦点分别为，，经过右焦点且斜率为1的直线与椭圆C交于A，B两点．
(1)写出椭圆C的焦点坐标和离心率；
(2)求的面积．
18．如图，平面，，，为的中点．
(1)求证：平面；
(2)求二面角的余弦值．
19．如图，六面体中，四边形为菱形，、、、都垂直于平面．若，．
(1)求证：；
(2)在棱（不含端点）上是否存在一点，使得三棱锥的体积与三棱锥的体积相等，若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由．
20．已知椭圆（）的长轴长为6，离心率．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过右焦点F作斜率为k（）的直线l，与椭圆C交于A，B两点，线段的垂直平分线交x轴于点P，求的值．
21．设n为大于等于2的正整数，n个实数构成的有序数组（）称为上的n维向量．n维向量通常用希腊字母，，等表示．
对于n维向量，，设，，定义内积=．
(1)已知，，，求，和；
(2)求证：四个二维向量中必有两个向量内积为非负数，五个三维向量中必有两个向量内积为非负数；
(3)若m个n（）维向量两两内积均为负数，求证：．
答案
1．【正确答案】A
【详解】因为，，，
所以，
因为，所以，解得，
所以.
故选：A.
2．【正确答案】C
利用两条直线斜率之积为求解.
【详解】若，则，解得或.
故选：C.
3．【正确答案】D
【详解】设直线的倾斜角为，则，
将直线绕其与轴的交点逆时针旋转得到直线，
则直线的倾斜角为，
因此，直线的斜率为，
故选：D.
4．【正确答案】D
【详解】方程表示一个圆，则，解得或，
所以实数a的取值范围为.
故选：D
5．【正确答案】A
【详解】椭圆的焦点坐标为，
所求方程的椭圆长半轴长，
所以所求方程为.
故选：A
6．【正确答案】A
【分析】由空间向量的加减和数乘运算直接求解即可.
【详解】根据题意，.
故选A.
7．【正确答案】B
【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
设，则A0,0,0、、、、、
、、、、，
设平面的法向量为m=x1,y1,z1，，，
则，取，可得，
设平面的法向量为n=x2,y2,z2，，，
则，取，则，
对于A选项，，A错；
对于B选项，，，且平面，则平面，B对；
对于C选项，，C错；
对于D选项，，，D错.
故选：B.
8．【正确答案】B
设点，可得出，且有，利用平面向量的数量积的坐标运算结合二次函数的基本性质可求得的最大值.
【详解】由椭圆方程得，设，则，
为椭圆上一点，，可得，且有，
．
因为，当时，取得最大值.
故选：B.
9．【正确答案】C
【详解】在三棱锥中，取的中点，连接，
由，得，而平面，平面，则，
平面，则平面，又平面，
因此平面平面，在平面上的射影为直线，
即是直线与平面所成的角，
由，得，
在中，，.
故选：C

10．【正确答案】B
【详解】在正方体中，以点为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
令，则，设，
，，于是，
整理得，显然点不能在坐标轴上，否则，
当时，，
而，无解，即点不能在棱上；
当时，，
若，则；若，则无解；若，则，
于是点不能在棱上，可以在棱上；
当时，，
若，则无解；若，则，于是点不能在棱上，可以在棱上，
所以可以在棱上，点P的个数为3.
故选：B
11．【正确答案】2
【详解】由，，得，，
由，得，即，即，解得，
所以实数的值为2.
故2
12．【正确答案】8
【详解】圆的圆心，半径，
点到直线的距离，
所以所求弦长为.
故8
13．【正确答案】
【详解】如图所示，连接，在正方体中，可得，
所以异面直线与所成角，即为直线与所成角，
设正方体的棱长为，可得
在直角中，可得，
所以异面直线与所成角的余弦值为.
故答案为.

14．【正确答案】
【详解】在椭圆中，，，则，即点、，
如图，为椭圆上任意一点，则，
又因为为圆上任意一点，
.
当且仅当、、、共线且、在、之间时等号成立．
所以的最小值为.
故答案为.
15．【正确答案】①②
【详解】设曲线上的点为，则由题可得，
即曲线的方程为，
若在曲线上，则，
①将代入可得
，
满足方程，即曲线关于轴对称，曲线是轴对称图形，故①正确；
②将代入可得
，
满足方程，即曲线是关于原点对称的中心对称图形，故②正确；
③由，可得，
令，则，解得，
此时点、、1,0在曲线内，
令，可得，可得，
若，则，即点−1,1、0,1、在曲线内，
由对称性可知，点、、也在曲线内，
综上所述，曲线所围成的区域内只有个整点，故③错误；
④因为满足方程，在曲线上，但此时，故④错误.
故①②.
16．【正确答案】(1)；
(2)或.
【详解】（1）线段的中点，直线的斜率，
则线段的中垂线方程为，即，
由，解得，因此圆C的圆心，半径，
所以圆C的标准方程为.
（2）点到直线的距离为2，即直线与圆C相切；
当切线斜率存在时，设切线方程为，即，
由，解得，因此方程为，
所以圆C经过点的切线方程为或.
17．【正确答案】(1)，；
(2).
【详解】（1）椭圆的长半轴长，短半轴长，则半焦距，
所以，离心率.
（2）由（1）知，直线的方程为，

由消去得：，解得，
所以的面积.
18．【正确答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：因为平面，平面，所以，，
因为，为的中点，则，
因为，、平面，所以，平面.
（2）解：因为平面，，
以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，
设，则、、、、，
设平面的法向量为，，，
则，取，可得，
由（1）可知，平面的一个法向量为，
则，
由图可知，二面角的平面角为锐角，
故二面角的余弦值为.
19．【正确答案】(1)证明见解析
(2)不存在，理由见解析
【详解】（1）证明：连接，如下图所示：
因为四边形为菱形，则，
因为平面，平面，则，
因为，、平面，所以，平面，
因为平面，平面，所以，，
又因为，所以，四边形为平行四边形，所以，，
所以，平面，因为平面，则.
（2）解：设，因为四边形为菱形，则，
因为，则是边长为的等边三角形，
则，
因为平面，且，
则，
又因为平面，以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、、，
因为，平面，平面，
则平面，
同理可证平面，
因为，、平面，
所以平面平面，
因为平面平面，平面平面，
所以，，
同理，，故四边形为平行四边形，
线段的中点为，且线段的中点也为，可得，
设平面的法向量为，，，
则，取，则，
，
所以，点到平面的距离为，
，则，
因为，
设，则，其中，
，
故在棱上不存在点，使得三棱锥的体积等于三棱锥的体积.
20．【正确答案】(1)；
(2).
【详解】（1）依题意，，由离心率，得椭圆半焦距，因此，
所以椭圆C的标准方程是.
（2）由（1）知，直线的方程为，
由消去得，设，
则，线段的中点，
线段的垂直平分线方程为，令，得，
，而，
所以.
21．【正确答案】(1)，，.
(2)证明见解析；
(3)证明见解析.
【详解】（1），，.
（2）先证命题：四个二维向量中必有两个向量内积为非负数.
不妨设，，，，
若存在，则有，那么命题得证，
若任意，，由抽屉原理知中必存在两个数同号，
不妨设，则又因为，所以.命题得证.
再证命题：五个三维向量中必有两个向量内积为非负数.
不妨设，，，
若存在，则，命题得证，
若任意，，考虑4个二维向量，
由4个二维向量中必有两个向量内积为非负数，
不妨设，又，则，命题得证.
（3）我们对归纳证明：个维向量中必有两个向量内积为非负数.
①当时，由第（2）问知命题成立；
②设当且时命题成立，当时，不妨设，
即第一个坐标分量为1，其他坐标分量均为0，设，，
若存在使得，则，命题得证，
若任意，，
则由时的归纳假设知这个维向量中必存在两个向量内积非负，
不妨设，则又因为，
所以
即时命题亦成立.
所以个维向量中必有两个向量内积为非负数，
从而若个维向量两两内积均为负数，则.