山东省济南市莱芜区（五四学制）2024-2025学年七年级下学期期中考试数学试题（解析版）

这是一份山东省济南市莱芜区（五四学制）2024-2025学年七年级下学期期中考试数学试题（解析版），共9页。试卷主要包含了 下列属于因式分解的是， 不等式的解集在数轴上表示为等内容，欢迎下载使用。
1. 下列诗句所描述的事件中，是不可能事件的是( )
A. 手可摘星辰B. 锄禾日当午
C. 举头望明月D. 鱼戏莲叶东
【答案】A
【解析】A、“手可摘星辰”意为伸手可以摘到星星，由于星星位于地球大气层之外，距离极远，现实中绝对无法通过“手摘”实现，因此为不可能事件；
B、“锄禾日当午”描述农民正午在田间劳作，属于日常农事活动，是随机事件；
C、“举头望明月”指抬头看月亮，这是人类常见的自然行为，可能发生，是随机事件；
D、“鱼戏莲叶东”描述鱼在莲叶东侧游动，鱼的位置具有随机性，可能发生，属于随机事件；
故选A．
2. 若，下列运用不等式基本性质变形正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】A、若，则应为，原说法错误，故不符合题意；
B、若，则应为，原说法错误，故不符合题意；
C、若，则应为，原说法错误，故不符合题意；
D、若，则，原说法正确，故符合题意，
故选：D．
3. 下列属于因式分解的是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】A、右边为，并非乘积形式，而是两项相减，不符合因式分解要求，不符合题意；
B、左边提取公因式，得到，是乘积形式且分解正确，属于因式分解，符合题意；
C、等式为乘法分配律的展开过程，属于整式乘法，而非因式分解，不符合题意；
D、右边，与左边不相等，分解错误，不符合题意；
故选：B．
4. 一个不透明的袋子中装有9个小球，其中6个红球、3个黑球，这些小球除颜色外完全相同，从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是红球的概率为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根据题意得：摸出的小球是红球的概率为．
故选：D
5. 不等式的解集在数轴上表示为( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
故选：B．
6. 若能用完全平方公式分解因式，则k的值为( )
A. 5B. 7C. 5或D. 或7
【答案】C
【解析】原多项式为，若能用完全平方公式分解，
∴其形式应为，展开后为，
∴，
当时，解得，即；
当时，解得，即；
因此，的值为或，
故选：C
7. 在一个不透明的盒子中装有红球和白球共20个，这些球除颜色外无其它差别，随机从盒子中摸出一个球，记下球的颜色后，放回并摇匀．通过大量的实验后发现摸出白球的频率稳定在左右，则盒子中白球的个数可能是( )
A. 4B. 8C. 12D. 16
【答案】B
【解析】由题意可得：
盒子中白球的个数可能是：，
故选：B．
8.教育部正式印发《义务教育课程方案》，将劳动从原来的综合实践活动课程中完全独立出来，并正式施行．某学校组织七年级学生到劳动实践教育基地参加实践活动，某小组的任务是平整土地，学校要求完成全部任务的时间不超过3小时．开始的半小时，由于操作不熟练，只平整了．若设他们在剩余时间内每小时平整土地，则根据题意可列不等式为( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由题意得：，
故选：A．
9. 已知关于x的二次三项式有一个因式为，则n的值为( )
A. B. 2C. 10D. 12
【答案】C
【解析】设另一个因式为，
则，
而，
所以，
解得：，
，
故选：C．
10. 关于x的不等式组恰好有2个整数解，则a满足( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
关于的不等式组恰好有2个整数解，
不等式组的整数解为：3，4，
，
，
故选：B．
二、填空题
11. 分解因式∶________．
【答案】
【解析】．
故答案为：．
12. 小明在如图所示的正方形网格纸板上玩飞镖游戏(每次飞镖均落在纸板上，且落在纸板的任何一个点的机会都相等)，则飞镖落在黑色区域的概率是__________．
【答案】
【解析】∵阴影部分的面积个小正方形的面积，
大正方形的面积个小正方形的面积，
∴阴影部分的面积占总面积的，
∴飞镖落在黑色区域的概率是．
故答案为：．
13. 若a+b=2，ab=3，则代数式a3b+2a²b²+ab3的值为________．
【答案】12
【解析】a3b+2a²b²+ab3
=ab(a²+2ab+b²)
=ab(a+b)²
a+b=2，ab=3
∴原式=ab(a+b)2
=3×22
=3×4
=12
故答案为：12．
14. 在方程组中，若，则k的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
得：
即：，
∵，
∴，
解得：．
故答案为：．
15. 按如图的程序进行运算，规定：当程序运行到“结果是否大于487”为一次运算，若运算进行3次才停止，则x的取值范围是__________．
【答案】
【解析】根据题意得：第一次：，
第二次：，
第三次：，
由题意可得不等式组，
解得：．
故答案为：．
三、解答题
16. 分解因式：
(1)；
(2)．
解：(1)
；
(2)
．
17. 解不等式组，并将解集表示在数轴上．
解：
由①得，
由②得，
数轴表示如下：
∴原不等式组的解集为．
18. 一只口袋里放着2个红球、8个黑球，这些球除颜色外形状大小完全相同．
(1)搅匀袋中的球后，从袋中任意取出一个球，取出黑球的概率为多少？
(2)如果往原来的袋中放进若干个红球，再取出相同数量的黑球，从中任意摸出一个球，使取出红球的概率达到，求放入多少个红球？
(1)解：从袋中任意摸出一个球有种等可能结果，其中是黑球的有8种结果，
所以从袋中任意取出一个球是黑球的概率为；
(2)解：设放入了x个红球，
根据题意，得：，
解得，
经检验，是原方程的根，
答：放入3个红球．
19. 甲乙两商场以同样的价格出售同样的商品，又各自推出优惠方式：在甲商场累计购物超过200元后，超出200元的部分打八折；在乙商场累计购物超过100元后，超出100元的部分打九折，设该顾客累计购物元．
(1)请用含的代数式分别表示顾客去甲、乙商场购物实际应支付的费用；
(2)请你帮该顾客设计方案，选择哪一家商场购买更划算．
(1)解：在甲商场购物所付的费用为；
在乙商场购物所付的费用为．
(2)解：①当时，，解得，
②当时，，解得，
③当时，，解得，
∴购物小于300元时，去乙商场合算；购物等于300元时，甲、乙商场费用相同；购物大于300元时，去甲商场合算．
20. 阅读下列材料：
在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替(即换元)，不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．下面是小涵同学用换元法对进行因式分解的过程．
解：设
原式(第一步)
(第二步)
(第三步)
(第四步)
请根据上述材料回答下列问题：
(1)小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的__________；
A．提取公因式法 B．平方差公式法 C．完全平方公式法
(2)老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：______；
(3)请你用换元法对多项式进行因式分解．
(1)解：，
则第二步到第三步运用了因式分解的完全平方公式法，
故选：C．
(2)解：原式
，
故答案为：；
(3)解：设
．
21. 为全面开展“阳光大课间”活动，某中学三个年级准备成立“足球”、“篮球”、“跳绳”、“踢毽”四个课外活动小组，学校体育组根据七年级学生的报名情况(每人限报一项)绘制了两幅不完整的统计图(如图)．
请根据以上信息，完成下列问题：
(1) ， ，并将条形统计图补充完整：
(2)根据七年级的报名情况，试问全校3000人中，大约有多少人报名参加足球活动小组？
(3)根据活动需要，从“跳绳”小组的二男二女四名同学中随机选取两人参加训练，请用列表或树状图的方法计算恰好选中一男一女两名同学的概率．
(1)解：调查的总人数(人)，
所以，即，
参加跳绳活动小组的人数(人)，
所以，即，
如图，
故答案为：25，108；
(2)解：(人)，
所以全校3000人中，大约有900人报名参加足球活动小组；
(3)解：画树状图为：
共有12种等可能结果数，其中一男一女两名同学的结果数为8，
所以恰好选中一男一女两名同学的概率．
22. 若是的三边，且满足关系式，是不等式组的最大整数解，求的周长．
解：∵，
∴，，
∴，．
∵由不等式组的解得，
∵是不等式组的最大整数解，
∴．
∴的周长为：．
23. 2025年中国新能源汽车市场火爆．某汽车销售公司为抢占先机，计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，1辆A型新能源汽车、2辆B型新能源汽车的进价共计48万元；4辆A型新能源汽车、3辆B型新能源汽车的进价共计132万元．
(1)求A，B型新能源汽车每辆进价分别是多少万元．
(2)公司决定购买以上两种新能源汽车共100辆，总费用不超过1380万元，该汽车销售公司销售1辆A型新能源汽车可获利万元，销售1辆B型新能源汽车可获利万元，若汽车全部销售完毕，那么购买并销售A型新能源汽车多少辆时获利最大？最大利润是多少？
(1)解：设型新能源汽车每辆进价万元，型新能源汽车每辆进价万元，
根据题意得：，
解得：，
答：A型新能源汽车每辆进价24万元，B型新能源汽车每辆进价12万元；
(2)解：设购买A型新能源汽车辆，则购买B型新能源汽车辆．
根据题意得：，
解得，
设所获得利润为万元，则，
∵，
∴随的增大而增大，
∴当时，有最大值，即当销售A型新能源汽车15辆时获利最大，最大利润为：
万元．
答：当销售A型新能源汽车15辆时获利最大，最大利润为万元．
24. 【活动回顾】
七年级下册教材中，我们曾探究过“函数的图象上点的坐标的特征”，了解了一元一次不等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系．
发现：一元一次不等式的解集是函数图象在轴上方的点的横坐标的集合．
结论：一元一次不等式：(或)的解集，是函数图象在轴上方(或轴下方)部分的点的横坐标的集合．
【解决问题】
(1)如图1，一次函数()的图象经过点，则不等式的解集是___________．
(2)如图2，两条直线交点坐标是，则不等式的解集是___________．
【拓展延伸】
(3)如图3，一次函数和的图象相交于点，分别与轴相交于点和点．
①求的面积；
②结合图象，直接写出关于的不等式组的解集是___________．
(1)解：∵一次函数()的图象经过点，，
∴观察图象，不等式的解集是，
故答案：；
(2)解：两条直线的交点坐标是，
由图象可得，当时，，
∴不等式的解是；
(3)解：①将代入得，
解得
∴
联立方程组，
解得，
∴，
当时，
解得
∴
∴
∴的面积；
②由的图象可知，当时，，
当时，，
∴关于x的不等式组的解集为．
25. “数缺形时少直观，形少数时难入微”，在探究“因式分解”时，我们借助直观、形象的几何模型，转化成“几何”形式来求解．运用到了“数形结合”的数学思想．下面，让我们一起来探索其中的规律．
【实践操作】
如图，有若干个边长为的小正方形纸片(类)、长为宽为的长方形纸片(类)以及边长为的大正方形纸片(类)．我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式．
(1)用若干个类、类、类纸片拼成图1中的长方形，根据图形可以因式分解得_______________．
(2)根据图2：若，，求的值．
【知识迁移】
类似地，我们还可以通过对立体图形的体积进行变换来得到一些代数恒等式．
(3)如图3，在一个棱长为的正方体中挖出一个棱长为的正方体，再把剩余立体图形切割(如图4)，得到三个长方体①、②、③(如图5)．易得长方体①的体积为．则长方体②的体积为____________，长方体③的体积为____________(结果不需要化简)．则因式分解_______________．
【拓展延伸】
(4)尝试因式分解：；
(5)应用：已知，，求出的值．
解：(1)，
故答案为：；
(2)由图2得：，
∵，
∴，
∵，
∴；
(3)长方体②的体积，
长方体③的体积，
则，
故答案为：；；；
(4)由(3)可知：
；
(5)∵
，
∵，
∴

．