【数学】福建省厦门市海沧区2025年5月中考质检试卷 （解析版）

这是一份【数学】福建省厦门市海沧区2025年5月中考质检试卷 （解析版），共40页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 在实数，，，中，最小的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根据正数大于0,0大于负数，两负数比较，绝对值大的反而小得，
，
所以，最小的是，
故选：D．
2. 年月，我国浸没式光刻机成功问世．已知，将数字用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】，
故选：C．
3. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（ ）
A. 球体B. 圆锥C. 棱柱D. 圆柱
【答案】D
【解析】观察可知，这个几何体的俯视图为圆，主视图与左视图都是矩形，所以这个几何体是圆柱，故答案选D.
4. 下列运算中，计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】A. ，该选项正确，符合题意；
B. ，该选项错误，不符合题意；
C. ，不是同类项无法合并，该选项错误，不符合题意；
D ，该选项错误，不符合题意；
故选：A．
5. 如图，，是的直径，点在的延长线上，与相切于点，连接，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】与相切于点，
，
，
，
，
．
故选：B．
6. 投掷两枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有到的点数，则下列事件为不可能事件的是（ ）
A. 两枚骰子向上一面的点数之和等于
B. 两枚骰子向上一面的点数之和大于
C. 两枚骰子向上一面的点数之和等于
D. 两枚骰子向上一面的点数之和大于
【答案】D
【解析】1. 选项A：点数之和等于2．当两枚骰子均为1点时，和为2，可能发生，属于随机事件，不符合题意；
2. 选项B：点数之和大于2．当两枚骰子中至少有一个点数大于1时，和会大于2（如），但若两枚均为1点，和为2，不满足条件．因此该事件可能发生也可能不发生，属于随机事件；
3. 选项C：点数之和等于12．当两枚骰子均为6点时，和为12，可能发生，属于随机事件，不符合题意；
4. 选项D：点数之和大于12．由于两枚骰子的最大和为12，因此和不可能超过12，属于不可能事件，符合题意．
故选：D．
7. 如图，已知线段，，点在线段上，下列说法正确的是（ ）
A. 经过点，，，只能作一个圆
B. 经过点，，，只能作一个圆
C. 经过点，以的长为半径只能作一个圆
D. 经过点，，以的长为半径只能作一个圆
【答案】B
【解析】A、经过点，，，不能作圆，故本选项说法错误，不符合题意；
B、经过点，，，只能作一个圆，说法正确，符合题意；
C、经过点，以的长为半径能作无数个圆，故本选项说法错误，不符合题意；
D、经过点，，以的长为半径能作两个圆，故本选项说法错误，不符合题意；
故选：B．
8. 用若干个全等的正五边形按如图方式拼接，使相邻的两个正五边形只有个公共顶点，且两边所夹的锐角均为，按此方式拼接一圈后，中间形成的多边形是（ ）
A. 正五边形B. 正六边形C. 正八边形D. 正十边形
【答案】B
【解析】如图所示：
正五边形的每个内角为，
，
，
，
个全等的正五边形拼接可以拼成一个环状，中间会形成一个正多边形，
设形成的正多边形的边数为，由题意得：
，
解得：，
中间形成的多边形是正六边形，
故选：B．
9. 在中国古代建筑中，常通过榫构件和卯构件的精密连接，使得建筑物牢固且难以松动．如图，工匠们设计了一种特定的榫卯结合构件，在使用相同口径的圆木材料制作时，每个榫构件所需的圆木要比每个卯构件所需的圆木短．已知用总长为的圆木制作的榫构件数量与用总长为的圆木制作的卯构件数量相同．设制作个榫构件需要的圆木为，根据题意可列方程（ ）
A B.
C. D.
【答案】A
【解析】设制作个榫构件需要的圆木为，
根据题意得，，故选：．
10. 如图，平行四边形的顶点在轴的负半轴上，顶点，，都在反比例函数的图象上，且边经过原点．则平行四边形的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图，连接，
设点坐标为，，，
点与点关于原点对称，
，，
平行四边形，
，
解得：，
，
点反比例函数图象上，
，
解得，
，
，
．
故选：C．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
11. 在钟表校准中，若把比标准时间快分钟记作，则比标准时间慢分钟记作______．
【答案】
【解析】若把比标准时间快分钟记作，则比标准时间慢分钟记作，
故答案为：．
12. 计算：______．
【答案】1
【解析】，
故答案为：1．
13. 如图，在中，，是边上的中线，若，则_____．

【答案】
【解析】∵，是边上的中线且，
∴．
故答案为：.
14. 魏晋时期刘徽在其撰写的《九章算术注》中提到“不加借算”开平方的方法：，其中取正整数且最小，则用该方法计算约为______结果保留一位小数
【答案】
【解析】由题意得，
，
∴约为．
故答案为：．
15. 一个数学小组研究如何用某地的纬度来计算该地所在纬线（圈）的长度各成员查阅相关资料，得到如下信息：
①地球半径约等于；
②如图，在地球仪表面，与地轴垂直并环绕地球一周的圆圈叫做纬线（圈）；
③如图，为地球半径，弦，的大小为点所在地纬线（圈）的纬度根据以上信息，北纬纬线（圈）的长度约为______千米．
结果保留，参考数据：，，
【答案】
【解析】如图，过作于，
，
，，
，
（千米），
北纬的纬线长千米．
北纬纬线圈的长度约为千米．
故答案为：．
16. 已知二次函数的图象经过点，，当时，的取值范围是，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】二次函数，时，的取值范围是，
二次函数的开口向上，对称轴为直线，
开口向上时，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，反之越小，
且，
，
故，
解得．
故答案为：．
三、计算题：本大题共1小题，共6分．
17. 解方程组：．
解：，
①+②得3x＝6，即x＝2，
把x＝2代入①得y＝2﹣2＝0，
则原方程组的解是．
四、解答题：本题共8小题，共64分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
18. 如图，已知点，分别在，上，，求证．
证明：在和中，
，
，
．
19. 先化简，再求值： 其中
解：
，
当时，
原式．
20. 某校为了解九年级学生每周参加体育锻炼的时间单位：，随机调查了该校九年级名学生，根据统计的结果，绘制出如下的统计图和图．
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）______，______，所抽取的学生每周参加体育锻炼时间的众数为______；
（2）求所抽取的学生每周参加体育锻炼的平均时间；
（3）该校九年级共有名学生，根据样本数据，估计该校九年级学生每周参加体育锻炼时间是的人数．
解：（1）本次接受调查的九年级学生为：人，
，
，
由题意知，在本组数据中出现最多的数为，
所抽取的学生每周参加体育锻炼时间的众数为，
故答案为：，，；
（2）（h），
所抽取的学生每周参加体育锻炼的平均时间为；
（3）∵每周参加体育锻炼小时的学生人数为：人，
∴（人），
答：估计该校九年级学生每周参加体育锻炼时间是的人数150人．
21. 如图，正三角形的边长为，是边上不与点，重合的动点，过点作边的垂线，交于，用表示线段的长度，用表示的面积．
（1）直接写出的取值范围；
（2）求关于的函数表达式．
解：（1）过作于，
是边长为的等边三角形，
，
不与、重合，
，
；
（2）过作于，
是边长为的等边三角形，
，，
，
，，
，
，
．
22. 如图，正方形的边长为，点在边上，连接将线段绕点逆时针旋转得到线段．
（1）在图中作出线段；要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹
（2）当点，，三点共线时，求线段的长．
（1）解：如图，在的左侧作于点，以点为圆心，的长为半径画弧，交射线于点，
则线段即为所求．
（2）解：四边形为正方形，
，
点，，三点共线，
．
由旋转得，，，
，
，．
，
．
∴．
．
正方形的边长为，
，
，
，．
线段的长为
23. 某高校图书馆在考试期间常出现自习座位紧张的情况，为改善这一状况，学校决定对部分图书馆座位进行如下优化：
优化一引入座位预约系统：
该校对人文、社科两间阅览室只提供现场预约，每位同学只能选择其中一间阅览室预约座位，某天同一时刻，有甲、乙、丙三位同学在现场依次排队预约，轮到甲预约时，人文阅览室剩余个座位，社科阅览室剩余个座位
问题：请求出甲和丙两位同学预约到同一间阅览室的概率；每个座位被选到的概率相等
优化二合理增加座位数量
因学生自习需求增加，需在现有空间内合理增加座位数量，人文阅览室升级改造后，新增了一块长、宽的矩形学习区，目前有两种桌椅配套摆放方式供选择：
方式：一张桌子和四张椅子共用空间的大小为，如图；
方式：一张桌子和六张椅子共用空间的大小为，如图．
桌椅摆放时需满足以下条件：
桌子之间至少留有的通道横向和纵向均需满足；
共用空间的四周不能紧贴墙壁、书架等固定设施，至少要留出间隔．
问题：请设计一种使得新增座位总数最多的摆放方式，在矩形框中画出示意图，并求出总座位数注：桌椅的摆放仅限东西方向或者南北方向
解：问题：设分别用A、B、C表示三个座位，其中A、B为人文阅览室的两个座位，C为社科阅览室的座位，画树状图如下：
由图可知，一共有6种等可能性的结果数，其中甲和丙两位同学预约到同一间阅览室的结果数有2种，
∴甲和丙两位同学预约到同一间阅览室的概率为；
问题：，，
两种方式每个座位面积相同，
方式需要的通道少于方式，
尽量选择方式，
桌子四周都要留出通道，
方式所占面积相当于，方式所占面积相当于，能够放置桌子的面积为，
，，，
∵，，
纵向采用两个，个或个最利用空间，
，
横向排排，
采用纵向两个，个，如图：
座位总数为：个．
答：总座位数为个．
24. 在平面直角坐标系中，抛物线：与轴交于，两点点在点的左侧，其顶点为，点是抛物线上一点，且点在第四象限．
（1）抛物线的对称轴为直线______；
（2）当时，若抛物线与轴的交点为，求点到直线距离的最大值；
（3）延长线段交轴于点，当时，将沿方向平移得到，将抛物线平移得到抛物线，使得点，都落在抛物线上，试判断抛物线与是否交于某个定点，若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．
（1）解：，
令，
得或，
即，，
对称轴为直线，
故答案为：；
（2）解：当时，二次函数表达式为，画出图象如图所示，
令，则，
，
作于点，作轴交于点，
，，
由待定系数法可知直线的表达式为，，
设，则，
故，
则，因为的最大值为，
的最大值为．
即点到直线距离的最大值为．
（3）解：抛物线与是否交于定点，理由如下：
过点作轴于点，如图所示，
设，则，，
，
，
将沿方向平移得到，相当于将向右平移个单位，再向上平移个单位，又，，，
，，，
故抛物线的对称轴为直线，
抛物线的解析式为，
由，
解得，
抛物线与交于定点．
25. 如图，四边形内接于，，为延长线上一点，连接，．
（1）求证；
（2）如图，连接并延长至点，连接，若平分，求证；
（3）如图，在的条件下，若，，，延长交于点，求的长．
（1）证明：连接，如图，
，
，
，
．
，
，
，
，
，
，
；
（2）证明：如图，
，
，
，
，
四边形为圆的内接四边形，
，
，
．
在和中，
，
，
，
，
，
；
（3）解：过点作于点，于点，如图，
在和中，
，
≌，
，，
在和中，
，
，
．
，
，
，
，
设，则，，，
，
，
，
或不合题意，舍去，
，，
．
过点作交的延长线于点，
，
，
，
．
，
，
，
设，则，
，
，
，
，
或不合题意，舍去，
．