2024年福建省泉州市南安市中考数学质检试卷（5月份）（含解析）

这是一份2024年福建省泉州市南安市中考数学质检试卷（5月份）（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列各数中，最小的数是( )
A. 2B. 1C. −12D. −2
2.如图是一节用作遥控器电源的电池，该电池的俯视图是( )
A.
B.
C.
D.
3.2024年南安市“福见南安⋅享成功”元宵节灯会在成功国际会展中心举行，期间迎来赏灯市民约150000人，将数据150000用科学记数法表示为( )
A. 1.5×105B. 1.5×106C. 15×104D. 0.15×106
4.下列计算正确的是( )
A. a3+a2=a5B. 2a2−a=aC. (−a3)2=a6D. 2a3÷a3=a3
5.下列各组数中，能作为一个三角形三边边长的是( )
A. 2，2，5B. 1，2，4C. 2，3，5D. 2，3，4
6.如图，在△ABC中，∠C=90°.用尺规作图法作出射线AE，AE交BC于点D，CD=3，则点D到AB的距离是( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
7.为了解某小区居民用水情况，随机抽查了10户家庭的月用水量，结果如下表，则关于这10户家庭月用水量数据组的说法，错误的是( )
A. 中位数是5B. 众数是5C. 方差是6D. 平均数是5
8.光在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时要发生折射.如图，∠1=70°，∠2=175°，则∠3的度数是( )
A. 70°
B. 80°
C. 85°
D. 75°
9.我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多六客，一房八客一房空.”诗中后面两句的意思是：如果一间客房住7人，那么有6人无房可住；如果一间客房住8人，那么就空出一间客房，若设该店有客房x间，房客y人，则列出关于x、y的二元一次方程组正确的是( )
A. 7x−6=y8x−1=yB. 7x−6=y8(x−1)=yC. 7x+6=y8x−1=yD. 7x+6=y8(x−1)=y
10.如图，正方形ABCD内接于⊙O，E为DC的中点，直线BE交⊙O于点F，如果⊙O的半径为2 2，则EF的长度为( )
A. 2 55
B. 2
C. 1
D. 33
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.如果温度上升3℃，记作+3℃，那么温度下降2℃记作______℃.
12.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，若AD=5，则BC= ______．
13.2024年春节期间，泉州“十龙九子”龙年艺术装置火速出圈，追“龙”合影、拍照打卡，已经成为古城游的新热潮.小明与小亮两人分别从西街钟楼、文庙前广场、梨园古典剧院三个景点中随机选择一处打卡，两人恰好选择同一景点的概率是______．
14.已知圆锥的高为8cm，母线长为10cm，则其侧面展开图的面积为______．
15.如图，矩形ABCD的顶点A，B分别在x轴，y轴上，OB=4，OA=3，AD=10，将矩形ABCD绕点O顺时针旋转90°，若点D正好落在反比例函数y=kx(k≠0)的图象上，则k= ______．
16.已知抛物线y=2x2+bx+4经过A(n,p)，B(3,q)，C(n+2,p)三点，若p三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
计算：|−10|+3−8−20240．
18.(本小题8分)
解不等式组：2x>−8x+14>x−32+1．
19.(本小题8分)
如图，已知AB=DC，∠ABC=∠DCB，求证：AC=BD．
20.(本小题8分)
先化简，再求值：(2m+1m−1)÷m2+2m+1m，其中m= 5−1．
21.(本小题8分)
为丰富课后延时服务的内容，某校开设了四类社团活动项目：A.象棋；B.篮球；C.剪纸；D.书法.为了解学生对每类社团活动项目的喜爱情况，随机抽取了部分同学进行调查，并将结果绘制出下面不完整的统计图，请结合图中信息解答下列问题：
(1)本次共调查了______名学生；并将条形统计图补充完整；
(2)C类所对应的扇形圆心角为______度；
(3)若该校共有学生1500人，则估计该校喜欢篮球的学生人数约有多少人？
22.(本小题10分)
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在AB边上，以AD为直径的⊙O与BC相切，切点为点E，连接DE，AE．
(1)求证：AE平分∠BAC；
(2)若⊙O的直径为5，AC=4，求BC的长．
23.(本小题10分)
数学综合实践小组用所学的数学知识来解决实际问题，报告如下：
该报告运算过程还没有完成，请按照解决思路，帮助实践兴趣小组完成该部分.(结果精确到0.01m，参考数据：sin70°≈0.940，cs70°≈0.342，tan70°≈2.747， 3≈1.732)
24.(本小题13分)
已知抛物线y=ax2+bx−2过(2,−3)，与x轴交于点A，B(点A在点B左边)，与y轴交于点C，且对于该二次函数图象上的任意不同两点M(x1,y1)，N(x2,y2)都满足：当x10．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点P是抛物线对称轴上一点，且∠BPC=90°，求点P的坐标；
(3)若Q是抛物线上一点，且在直线BC的下方，连接AQ交BC于点D，过点Q作QE/​/AC交BC于点E.记△QDE，△ACD的面积分别为S1，S2，判断S1S2是否存在最大值？若存在，求出最大值及点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
25.(本小题13分)
如图，在等腰直角△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，点F在边BC上，将线段FD绕点D按逆时针方向旋转90°得到ED，连接EF．
(1)如图1，若∠BFD=2∠ABD，求证：DF=BF；
(2)如图2，若点D在AC边上，EF与AC交于点M，已知DF=3 10，EM=2MF，求CF的长；
(3)如图3，点F与点C重合，点G为EF边的中点，且A，D，G三点共线，以BF和FG为邻边作▱BFGH，连接HF，若AB=BF=4，求HF的最小值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：∵−2<−12<1<2，
∴所给的各数中，最小的数是−2．
故选：D．
有理数大小比较的法则：(1)正数都大于0；(2)负数都小于0；(3)正数大于一切负数；(4)两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
此题主要考查了有理数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：(1)正数都大于0；(2)负数都小于0；(3)正数大于一切负数；(4)两个负数，绝对值大的其值反而小．
2.【答案】B
【解析】解：从上面看，是两个同心圆(里面的圆画成实线)．
故选：B．
根据从上面看得到的视图是俯视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，熟练掌握俯视图的定义是解题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：150000=1.5×105．
故选：A．
对于一个绝对值较大的数，用科学记数法写成a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n是比原整数位数少1的数．
此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4.【答案】C
【解析】解：A、a3与a2不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意；
B、2a2与a不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意；
C、(−a3)2=a6，故此选项符合题意；
D、2a3÷a3=2，故此选项不符合题意；
故选：C．
根据合并同类项、幂的乘方与积的乘方，单项式除以单项式的运算法则分别计算判断即可．
本题考查了合并同类项、幂的乘方与积的乘方，单项式除以单项式，熟练掌握它们的运算法则是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：A、2+2=4<5，不满足三边关系，故不符合题意；
B、1+2=3<4，不满足三边关系，故不符合题意；
C、2+3=5，不满足三边关系，故不符合题意；
D、2+3=5>4，满足三边关系，故符合题意．
故选：D．
根据三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．即可求解．
本题主要考查了三角形三边关系的运用，判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
6.【答案】B
【解析】解：如图，过点D作DH⊥AB于点H．
由作图可知AE平分∠CAB，
∵DC⊥AC，DH⊥AB，
∴DH=DC=3，
∴点D到AB的距离为3．
故选：B．
如图，过点D作DH⊥AB于点H.利用角平分线的性质定理判断出DH=DC=3即可．
本题考查作图−基本作图，角平分线的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
7.【答案】C
【解析】解：这组数据5出现了4次，最多，所以这组数据的众数为5吨；
这组数据的平均数=110(4×3+5×4+6×3)=5吨；
这组数据的方差S2=110[3(4−5)2+4(5−6)2+3⋅(6−5)2]=0.6；
中位数为：5吨
所以四个选项中，A、B、D正确，C错误．
故选：C．
众数是一组数据中出现次数最多的数，极差是数据中最大的与最小的数据的差，平均数是所有数据的和除以数据的个数，分别根据以上定义可分别求出众数，极差和平均数，然后根据方差的计算公式进行计算求出方差，即可得到答案．
本题考查了方差的定义、加权平均数、中位数及众数的定义，方差反映了一组数据在其平均数的左右的波动大小，方差越大，波动越大，越不稳定；方差越小，波动越小，越稳定．
8.【答案】D
【解析】解：如图，
∵AB/​/CD，∠1=70°，
∴∠MND=∠1=70°，
∵∠MND+∠END=∠2=175°，
∴∠END=105°，
∵CD/​/EF，
∴∠END+∠3=180°，
∴∠3=75°，
故选：D．
根据“两直线平行，同位角线段”求出∠MND=∠1=70°，根据角的和差求出∠END=105°，再根据“两直线平行，同旁内角互补”求解即可．
此题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：设该店有客房x间，房客y人，
根据题意得：7x+6=y8(x−1)=y，
故选：D．
设该店有客房x间，房客y人，根据“一房七客多七客，一房八客一房空”得出方程组即可．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组．根据题意得出方程组是解决问题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：如图，连接OC，OE，DF，
∵正方形ABCD内接于⊙O，点E是CD的中点，
∴∠OCE=12∠BCD=45°，OE⊥CD，
在Rt△OCE中，∠OCE=45°，OC=2 2，
∴OE=CE=DE= 22OC=2，
在Rt△BCE中，BC=CD=2CE=4，CE=2，
∴BE= BC2+CE2=2 5，
∵∠FDC=∠FBC，∠DFE=∠DCB，
∴△DEF∽△BEC，
∴EFCE=DEBE，
即DE⋅CE=BE⋅EF，
∴2×2=2 5⋅EF，
∴EF=2 55．
故选：A．
根据圆内接正方形的性质，直角三角形的边角关系，勾股定理，相交弦定理进行计算即可．
本题考查正多边形和圆，正方形的性质，勾股定理，相交弦定理，掌握圆内接正方形的性质，直角三角形的边角关系，勾股定理，相交弦定理是正确解答的关键．
11.【答案】−2
【解析】解：“正”和“负”相对，
如果温度上升3℃，记作+3℃，
温度下降2℃记作−2℃，
故答案为：−2．
在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
本题考查了正数与负数的知识，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．
12.【答案】10
【解析】解：∵∠BAC=90°，D是BC的中点，AD=5，
∴BC=2AD=10，
故答案为：10．
根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半得出BC即可．
此题考查直角三角形的性质，关键是根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半解答．
13.【答案】13
【解析】解：将西街钟楼、文庙前广场、梨园古典剧院三个景点分别记为A，B，C，
列表如下：
共有9种等可能的结果，其中两人恰好选择同一景点的结果有3种，
∴两人恰好选择同一景点的概率是39=13．
故答案为：13．
列表可得出所有等可能的结果数以及两人恰好选择同一景点的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
14.【答案】60πcm2
【解析】解：圆锥的高为8cm，母线长为10cm，
由勾股定理得，底面半径=6cm，
侧面展开图的面积=πrl=π×6×10=60πcm2．
故答案为：60πcm2．
利用勾股定理易得圆锥的底面半径，那么圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2．
本题利用了勾股定理和圆锥的计算，圆锥的侧面积就是展开后扇形的面积，即S侧=πrl．
15.【答案】30
【解析】解：如图，作DE⊥x轴，垂足为E，
∵∠BAD=90°，
∴∠OAB=∠EDA，∠DEA=∠AOB，
∴△AOB∽△EDA，
∴AODE=OBAE=ABAD，即3DE=4AE=510，
∴DE=6，AE=8，
∴OE=8−3=5，
∴D(−5,6)，
根据性质性质，三角形ODE绕点O顺时针旋转90°后，点D落在第一象限，且坐标为(6,5)，
∵点(6,5)在反比例函数图象上，
∴k=6×5=30．
故答案为：30．
作DE⊥x轴，垂足为E，可证明△AOB∽△EDA，得到AODE=OBAE=ABAD，代入数据求出DE=6，AE=8，据此得到点D坐标，再根据旋转性质得到旋转后的点D坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征得到k值即可．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征及旋转性质，熟练掌握旋转性质是关键．
16.【答案】n>3或12【解析】解：∵抛物线y=2x2+bx+4，
∴抛物线开口向上，与y轴的交点为(0,4)，
∵抛物线y=2x2+bx+4经过A(n,p)，B(3,q)，C(n+2,p)三点，
∴对称轴为直线x=n+n+22=n+1，
∵p∴n>3或n+2<3<2n+2，
解得n>3或12故n的取值范围是n>3或12故答案为：n>3或12由抛物线y=2x2+bx+4，可知抛物线开口向上，与y轴的交点为(0,4)，由抛物线y=2x2+bx+4经过A(n,p)，B(3,q)，C(n+2,p)三点，得出对称轴为直线x=n+1，然后根据点的坐标特征得出n>3或n+2<3<2n+2，解不等式(组)即可．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
17.【答案】解：|−10|+3−8−20240
=10−2−1
=7．
【解析】首先计算零指数幂、开立方和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
18.【答案】解：2x>−8①x+14>x−32+1②，
解不等式①得：x>−4，
解不等式②得：x<3，
∴不等式组的解集为：−4【解析】先求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到(无解)”求出不等式组的解集即可．
本题主要考查了解一元一次不等式组，正确进行计算是解题关键．
19.【答案】证明：在△ABC与△DCB中，
AB=DC∠ABC=∠DCBBC=CB，
∴△ABC≌△DCB(SAS)，
∴AC=BD．
【解析】根据SAS证明△ABC与△DCB全等，进而利用全等三角形的性质解答即可．
此题考查全等三角形的判定与性质，关键是根据SAS证明△ABC与△DCB全等解答．
20.【答案】解：(2m+1m−1)÷m2+2m+1m
=2m+1−mm⋅m(m+1)2
=m+1m⋅m(m+1)2
=1m+1，
当m= 5−1时，河源市=1 5−1+1=1 5= 55．
【解析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把m的值代入进行计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
21.【答案】40 72
【解析】解：(1)本次调查的人数是4÷10%=40(名)，
C的人数为40−4−16−12=8(名)，
补全条形统计图如下：
故答案为：40；
(2)C类所对应的扇形圆心角为360°×840=72°；
故答案为：72；
(3)1500×1640=600(人)，
答：估计该校喜欢篮球的学生人数约有600人．
(1)根据A的人数除以A所占的百分比，可得调查的人数，用总人数减去其它类别的人数求出C的人数，即可补全条形统计图；
(2)用360°乘以C所占的百分比即可；
(3)用总人数乘以B所占的百分比即可．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
22.【答案】(1)证明：连接OE，如图，
∵以AD为直径的⊙O与BC相切，
∴OE⊥BC，
∴∠C=90°，
∴OE//AC，
∴∠CAE=∠OEA，
∵OA=OE，
∴∠OAE=∠OEA，
∴∠OAE=∠CAE，
∴AE平分∠BAC；
(2)解：∵⊙O的直径为5，
∴OE=OA=52，
∴OE//AC，
∴△BOE∽△BAC，
∴BOBA=OEAC，即BOBO+52=524，
解得BO=256，
∴AB=OB+OA=203，
在Rt△ABC中，BC= AB2−AC2= (203)2−42=163．
【解析】(1)连接OE，如图，先根据切线的性质得到OE⊥BC，则OE/​/AC，然后证明∠OAE=∠CAE，从而得到结论；
(2)先证明△BOE∽△BAC得到BOBA=OEAC，则可求出BO=256，所以AB=203，然后利用勾股定理可计算出BC的长．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．
23.【答案】解：过点B作BG⊥AD，垂足为G，延长BC交DE于点H，
由题意得：BG=DH，BH=DG，BH⊥DE，
在Rt△ABG中，AB=3.5m，∠BAG=70°，
∴AG=AB⋅cs70°≈3.5×0.342=1.197(m)，
BG=AB⋅sin70°≈3.5×0.94=3.29(m)，
∴BG=DH=3.29(m)，
∵AD=4m，
∴DG=BH=AD−AG=4−1.197=2.803(m)，
∵DF=2.29m，
∴FH=DH−DF=3.29−2.29=1(m)，
在Rt△CFH中，∠CFH=60°，
∴CH=FH⋅tan60°= 3≈1.732(m)，
∴BC=BH−CH=2.803−1.732=1.071≈1.07(m)，
∴BC的长度约为1.07m．
【解析】过点B作BG⊥AD，垂足为G，延长BC交DE于点H，根据题意可得：BG=DH，BH=DG，BH⊥DE，然后在Rt△ABG中，利用锐角三角函数的定义求出AG和BG的长，从而求出DG和FH的长，最后在Rt△CFH中，利用锐角三角函数的定义求出CH的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
24.【答案】解：(1)∵当x10，
∴在y=ax2+bx−2中，当x<32时，y随x增大而减小，当x>32时，y随x的增大而增大，
∴抛物线y=ax2+bx−2的对称轴为直线x=32，
∴−b2a=32①，
∵抛物线y=ax2+bx−2过(2,−3)，
∴4a+2b−2=−3②，
由①②解得a=12b=−32，
∴抛物线的解析式为y=12x2−32x−2；
(2)在y=12x2−32x−2中，令y=0得0=12x2−32x−2，
解得x=−1或x=4，
∴A(−1,0)，B(4,0)，
在y=12x2−32x−2中，令x=0得y=−2，
∴C(0,−2)，
设P(32,t)，
∵∠BPC=90°，
∴BP2+CP2=BC2，
∴(4−32)2+t2+(32)2+(t+2)2=42+22，
解得t= 19−22或t=− 19−22，
∴P的坐标为(32, 19−22)或(32,− 19−22)；
(3)S1S2存在最大值，理由如下：
过Q作QK//y轴交BC与K，过A作AT//y轴交BC延长线于T，如图：

设Q(m,12m2−32m−2)，
由B(4,0)，C(0,−2)得直线BC解析式为y=12x−2，
∴K(m,12m−2)，
∴KQ=12m−2−(12m2−32m−2)=−12m2+2m，
在y=12x−2中，令x=−1得y=−52，
∴T(−1,−52)，
∴AT=52，
∵AT//y轴//KQ，
∴△ADT∽△QDK，
∴DQAD=KQAT=−12m2+2m52=−m2+4m5，
∵QE/​/AC，
∴△QED∽△ACD，
∴S1S2=(DQAD)2=(−m2+4m5)2，
∵−m2+4m5=−15(m−2)2+45，
∴当m=2时，−m2+4m5的最大值为45，
∴当P(2,−3)时，S1S2取最大值1625；
∴S1S2的最大值为1625，此时P的坐标为(2,−3)．
【解析】(1)由当x10，知抛物线y=ax2+bx−2的对称轴为直线x=32，得−b2a=32①，又抛物线y=ax2+bx−2过(2,−3)，有4a+2b−2=−3②，由①②解得a=12b=−32，故抛物线的解析式为y=12x2−32x−2；
(2)求出A(−1,0)，B(4,0)，C(0,−2)，设P(32,t)，根据∠BPC=90°可得(4−32)2+t2+(32)2+(t+2)2=42+22，解得t= 19−22或t=− 19−22，从而P的坐标为(32, 19−22)或(32,− 19−22)；
(3)过Q作QK//y轴交BC与K，过A作AT//y轴交BC延长线于T，设Q(m,12m2−32m−2)，求得直线BC解析式为y=12x−2，知K(m,12m−2)，故KQ=12m−2−(12m2−32m−2)=−12m2+2m，求出T(−1,−52)，得AT=52，因AT//y轴//KQ，所以△ADT∽△QDK，DQAD=KQAT=−12m2+2m52=−m2+4m5，由QE/​/AC，可得△QED∽△ACD，S1S2=(DQAD)2=(−m2+4m5)2，再根据二次函数性质可得答案．
本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，勾股定理逆定理的应用，三角形面积等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度．
25.【答案】(1)证明：设∠ABD=α，则∠ABD=2∠ABD=2α，
∵∠ABC=90°，
∴∠DBF=90°−α，
∴∠BDF=180°−∠BDF−∠ABD=90°−α，
∴∠BDF=∠DBF，
∴DF=BF；
(2)解：如图1，

作DG⊥EF于G，
线段FD绕点D按逆时针方向旋转90°得到ED，
∴DE=DF=3 10，∠EDF=90°，
∴EF= 2DF=6 5，∠E=∠DFE=45°，
∴EG=DG= 22DE=3 5，
∵EM=2MF，
∴EM=23EF=4 5，FM=13EF=2 5，
∴GM=EM−EG= 5，
∴DM= DG2+GM2= (3 5)2+( 5)2=5 2，
∵∠C=∠E=45°，∠DME=∠CMF，
∴△DME∽△FMC，
∴DECF=DMFM，
∴3 10CF=5 22 5，
∴CF=6；
(3)解：如图2，

取AF的中点I，作OI//BF，截取IO=BF，连接OH，
∵四边形BFGH是平行四边形，
∴GH=BF，GH/​/BF，
∴OI=GH，OI//GH，
∴四边形OHGI是平行四边形，
∴OH=GI，
∵AB=BF=4，∠ABF=90°，
∴AF=4 2，
∵G是EF的中点，DF=DE，
∴DG⊥EF，
∴∠AGF=90°，
∴IG=12AF=2 2，
∴OH=2 2，
∴点H在以O为圆心，2 2为半径的圆上运动，连接OF，交⊙O于点H′，当H运动在H′时，FH最小，
作OW⊥BF，交FB的延长线于W，
∵OW=BH=2，BW=OH=2，
∴FW=BF+BW=6，
∴OF= OW2+FW2= 62+22=2 10，
∴HF最小=H′F=OF−OH′=2 10−2 2．
【解析】(1)设∠ABD=α，则∠ABD=2∠ABD=2α，可推出∠BDF=∠DBF=90−α，从而得出DF=BF；
(2)作DG⊥EF于G，可依次求得EF= 2DF=6 5，EG=DG= 22DE=3 5，EM=23EF=4 5，FM=13EF=2 5，GM=EM−EG= 5，DM= DG2+GM2= (3 5)2+( 5)2=5 2，可证得△DME∽△FMC，从而DECF=DMFM，从而得出3 10CF=5 22 5，从而得出CF=6；
(3)取AF的中点I，作OI//BF，截取IO=BF，连接OH，可推出OH=IG=2 2，从而得出点H在以O为圆心，2 2为半径的圆上运动，连接OF，交⊙O于点H′，当H运动在H′时，FH最小，作OW⊥BF，交FB的延长线于W，根据勾股定理求得OF= OW2+FW2= 62+22=2 10，进一步得出结果．
本题考查了相似三角形的判定和性质，确定圆的条件，等腰三角形的性质，平行四边形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，确定点的运动轨迹．月用水量(吨)
4
5
6
户数
3
4
3
项目
设计遮阳篷前挡板
素材1
泉州是福建省的一座沿海城市，受其地理位置影响，气候比较湿润，夏季高温多雨，日照时间长，平均年日照时数2000小时左右，大门朝南的临街商铺都搭建了遮阳篷．
素材2
我市某景点的游客服务中心，为了方便旅游高峰期间游客遮阳，在服务窗口外安装了遮阳篷，结果发现旅游高峰期正午时纳凉面积不够，现在为使服务窗口外的纳凉区域增加到2.29m宽，计划在遮阳篷前端加装一块前挡板(前挡板垂直于地面)，抽象模型如图1，现在要计算所需前挡板BC的宽度．
前档板
测量数据
我们实地测量了相关数据，并画出了侧面示意图，如图2，遮阳篷AB长为3.5m，其与墙面的夹角∠BAD=70°，其靠墙端离地面高AD为4m.通过实地勘察，该服务窗口在每年的旅游高峰期间正午的太阳高度角(太阳光线与地面夹角∠CFE)约为60°，若加装前挡板BC后，此时服务窗口前恰好有2.29m宽的阴影DF，如图3．
解决
思路
运用所学的三角函数的相关知识，构造直角三角形，先求出遮阳篷前端B到墙面AD的距离；再构造直角三角形，当∠CFE为60°时，求线段BC的长度．
运算过程
…
A
B
C
A
(A,A)
(A,B)
(A,C)
B
(B,A)
(B,B)
(B,C)
C
(C,A)
(C,B)
(C,C)