四川省内江市资中县2024_2025学年高二数学上学期期末考试普通班试题含解析

这是一份四川省内江市资中县2024_2025学年高二数学上学期期末考试普通班试题含解析，共19页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸
上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑.如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.回答非选择题时，将答案写在
答题纸上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷与答题卡一并由监考人员收回.
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求.
1. 抛物线 的准线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】计算出 的值，由此可知准线方程.
【详解】因为抛物线 ，所以 ，
因为准线方程为 ，所以准线方程为 ，
故选：D.
2. 若 构成空间的一个基底，则下列选项可构成空间的另一个基底的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据空间向量基底的概念进行判断.
【详解】对 A：因为 ，所以向量 共面，所以 不能构成空
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间向量的基底；
对 B：因为 ，所以向量 共面，所以 不能构成空间向量的
基底；
对 C：因为 ，所以 共面，所以 不能构成空间向
量的基底；
对 D：因为不存在 ，使得 ，所以 不共面，所以
可以作为空间的另一组基底.
故选：D
3. 若直线 与圆 只有一个公共点，则 （ ）
A. 2 B. 1 C. 0 D.
【答案】C
【解析】
【分析】分析直线与圆的位置关系，结合点到直线的距离公式可求 的值.
【详解】因为直线与圆只有一个公共点，所以直线与圆相切.
又 ，所以圆心为 ，半径为 1.
由 .
故选：C
4. 已知 为等比数列 的前 项和，且 ， ，则数列 的公比 为（ ）
A. 1 B. C. 1 或 2 D. 1 或
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，利用数列前 项和的意义，结合等比数列通项列式求解.
【详解】在等比数列 中，由 ， ，得 ，则 ，
所以 或 .
故选：D
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5. 已知直线 ，直线 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分条件但不 必要条件 B. 必要条件但不是充分条件
C. 充要条件 D. 既不是充分条件也不是必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据 求出 ，再由必要但不充分条件定义判断可得答案.
【详解】若 ，则 ，解得 ，或 ，
当 时， ， ， ，符合题意，
当 时， ， ， ，符合题意，
所以若“ ”，则“ ，或 ”，
则“ ”是“ ” 必要条件但不是充分条件.
故选：B.
6. （ ）
A. 55 B. 120 C. 165 D. 220
【答案】C
【解析】
【分析】利用组合数的性质计算得解.
【详解】
.
故选：C
7. 在正方体 中， 分别为棱 上的点， 与 的夹角为 与 的
夹角也为 ．则 （ ）
A. B. C. D.
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【答案】B
【解析】
【分析】设 ，利用勾股定理得到 ，然后利用余弦定理列方程，解方程得到
，最后利用余弦定理求角即可.
【详解】
设 ， ，则 ， ， ，
因为 ，所以 ，
解得 ，
同理可得 ，
连接 ， ，
，
.
故选：B.
8. 已知 ，动点 与点 的距离是它与点 的距离的 倍．动点 的轨迹与直线
交于 两点，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
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【分析】设 ，根据 列等式，整理得动点 的方程，根据直线 的方程得到直线 恒
过定点 ，根据几何知识可得当 时， 最小，最后求弦长即可.
【详解】
设 ，则 ，整理得 ，
所以动点 的轨迹为圆心 为 ，半径为 的圆，
直线 的方程可整理为 ，
令 ，解得 ，
所以直线 恒过定点 ，
有几何知识可得当 时， 最小，
，所以 .
故选：A.
【点睛】方法点睛：求动点轨迹的方法：
①定义法：根据曲线定义得到曲线类型，然后计算；
②列等式法：设动点坐标，然后根据题设列等式，整理即可.
二、多项选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 已知曲线 ．则下列说法中正确的是（ ）
A. 若 ，则 是单位圆
B. 若 ，则 是焦点在 轴上的椭圆
C. 若 ，则 是平行于 轴的两条直线
D. 若 ，则 是双曲线且渐近线方程为
【答案】ABD
【解析】
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【分析】根据 的取值范围，将曲线化为标准方程，进而进行判断即可.
【详解】对于 A：当 时， ，曲线 ： ，表示以 为圆心，以 1 为半径的单
位圆，故 A 正确；
对于 B：当 时， ， ，曲线 ： ，表示焦点在 轴上的
椭圆，故 B 正确；
对于 C：当 ， ，曲线 ： 或 ，表示平行于 轴的两条直线，故 C
错误；
对于 D：当 时， ，曲线 ： ，表示焦点在 轴上的双曲线，
且其渐进性方程为： ，故 D 正确.
故选：ABD
10. 已知 是各项均为正数的等比数列，公比为 ，前 项和为 ，且 ，
， ，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 数列 是等比数列
C. 数列 是公差为 1 的等差数列 D. 数列 的前 项和不超过
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据给定条件，求出数列 首项公比，再逐项求解判断得解.
【详解】等比数列 中， ，而 ，则数列 单调递减，
由 ，得 ，又 ，解得 ，
对于 A， ，解得 ，A 正确；
对于 B， ，数列 不是等比数列，B 错误；
对于 C， ，则 ，
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，数列 是公差为 1 的等差数列，C 正确；
对于 D， ，数列 的前 项和 ，
，D 正确.
故选：ACD
11. 已知 ， 两点的坐标分别是 ， ，直线 ， 相交于点 ，且它们的斜率之和是 2，
动点 形成轨迹为曲线 ， 为坐标原点，则下列说法正确的是（ ）
A. 曲线 是中心对称图形
B.
C. 直线 斜率的取值范围为
D. 若 ，则 的面积为
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据斜率公式即可求解方程，代入 可判定 A,根据两点距离公式即可求解 B，根据斜
率公式即可求解 C，根据垂直的坐标关系，求解 ， ，即可求解 D.
【详解】设 ，则 ，化简可得 ，
由于 ，故 ，
对于 A， 满足 ，故曲线 是中心对称图形，A 正确，
对于 B, ，当且仅当 取到等号，
由于 ，故 B 错误，
对于 C, ，故 C 正确，
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对于 D，由 可得 ，故 ，联立与 可得
，故 ，故 ,故 D 正确，
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：根据 可得 ，故 ，求
， .
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 直线 的一个方向向量为_______．
【答案】 答案不唯一
【解析】
【分析】根据直线的斜率写方向向量即可.
【详解】斜率 ，所以直线的方向向量可以为 .
故答案为： 答案不唯一.
13. 已知双曲线 的一条渐近线与圆 交于 两点，若
，则双曲线 的离心率为_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据弦长得到圆心 到渐近线的距离，然后利用点到直线的 列等式，整理得到离心率.
【详解】
设圆 的圆心为 ，则 ，半径 ，
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因为 ，所以圆心 到渐近线的距离为 ，
由双曲线方程可得一条渐近线方程为 ，整理得 ，
则 ，整理得 .
故答案为： .
14. 如图，在纸上画一个半径为 2 的圆 ，再取一定点 ， ，将纸片折起，使圆周通过 ，然后展
开纸片，得到一条折痕 （为了看清楚，可把直线 画出来）.这样继续下去，得到若干折痕，这些折痕围成
的轮廓构成曲线 .若点 在曲线 上，且 ，则 的面积为________.
【答案】3
【解析】
【 分 析 】 设 点 关 于 直 线 的 对 称 点 为 点 ， 延 长 交 直 线 于 点 ， 根 据 对 称 性 分 可 知
，进而结合勾股定理求面积.
【详解】解：设点 关于直线 的对称点为点 ，延长 交直线 于点 ，
由题意可知，点 在圆 上，直线 为线段 的垂直平分线，则 ，
可得 ，
可知点 轨迹是以点 、 为焦点的双曲线，靠近点 的一支，
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因为 ，
若 ，则 ，可得 ，
即 ，可得 ，
所以 的面积为 .
故答案为：3.
【点睛】关键点点睛：根据题意结合对称性分析可知 ，则 的轨迹是以点 、
为焦点的双曲线，靠近点 的一支，进而可得面积.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已 知 数 列 为 等 差 数 列 ， 记 分 别 为 数 列 的 前 项 和 ．
．
（1）求 的通项公式；
（2）求 ．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据条件，可求 与 ，可明确数列 的通项公式.
（2）利用分组求和法结合等差、等比数列的求和公式求解.
【小问 1 详解】
设 的公差为 ．
可得 ．
由 ，
解得 .
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所以 ．
【小问 2 详解】
．
16. 已知 .
（1）若 ，求 的值；
（2）若 ，求数列 的前 项和 .
【答案】（1）9； （2） .
【解析】
【分析】（1）利用二项式定理求出 ，进而列式求出 值.
（2）利用赋值法求出 ，再利用分组求和法，结合等差、等比数列前 项和公式求出 .
【小问 1 详解】
依题意， ，所以 .
【小问 2 详解】
当 时， ，则 ， ，
所以数列 的前 项和 .
17. 某研究所研究耕种深度 （单位： ）与水稻每公顷产量 （单位： ）的关系，所得数据资料如下
表.
耕种深度 8 10 12 14 16 18
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每公顷产量 6 7 8 9 11 13
（1）求样本相关系数 （结果保留两位小数），并判断它们是否具有较强的线性相关性；
（2）求经验回归方程.
参考数据： ；
参考公式： ， ， .
【答案】（1） ，有较强的线性相关性，
（2）
【解析】
【分析】（1）根据相关系数的公式即可求解，
（2）利用最小二乘法即可求解.
【小问 1 详解】
由题意可知 ，
，
故
，故有较强的线性相关性，
【小问 2 详解】
，
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故 ，
将 代入可得 ，
故回归直线方程为
18. 如图，在平面直角坐标系 中，已知 是椭圆 上的一点，从原点 向圆
作两条切线分别交 于 两点．
（1）若 点在第二象限，且 ，求 和圆 的方程；
（2）若直线 的斜率存在，并分别记为 ，求证： 为定值．
【答案】（1） ，
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）先根据条件，判断出四边形 为正方形，再结合正方形的对角线和边长的长度关系，可
求 点坐标，进而可得 和圆 的方程.
（2）设切线方程为 ，根据直线与圆相切，可得关于 的一元二次方程，利用韦达定理，可得 ，
再结合 在椭圆上，可证 为定值.
【小问 1 详解】
过 作 于 ， 于 ，连接 ．如图：
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由圆 的方程，知圆 的半径 ．
由 ，知 ．
又因为 和圆 相切，所以四边形 为正方形．
所以 ．
由 ，解得 ．
所以圆 的方程为 ．
【小问 2 详解】
设过 点的圆 的切线方程为： ，即 .
则 ．
两边同时平方，化简得 .
则 ， 为方程 的两解.
由韦达定理： .
又因 ，所以 ．
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所以 ，为定值．
19. 已 知 对 任 意 平 面 向 量 ， 把 绕 其 起 点 沿 逆 时 针 方 向 旋 转 角 得 到 向 量
，叫做把点 绕点 沿逆时针方向旋转 角得到点 ．将双曲线
上的每一点绕坐标原点 沿逆时针方向旋转 后得到曲线 ．点 在 上，其横坐标为
．再按照如下方式依次构造点 ：过 作斜率为 的直线与曲线 交于另一点 ，
令 为 关于直线 的对称点，记 的坐标为 ．
（1）求曲线 的方程；
（2）求数列 通项公式；
（3）求证： ．
【答案】（1）
（2） ，
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据定义得到 和 坐标的关系，然后代入双曲线方程中，化简即可得到曲
线 的方程；
（2）根据 与 关于原点对称得到 ，然后将点 代入曲线 中，然后结合
整理可得 ，即可得到 为等比数列，再利用等比数列的通项公式计算即可；
（3）利用斜率公式得到 ， ，然后根据等比数列的性质得到 ，即可证明平行.
【小问 1 详解】
设双曲线 上任意一点 ，将其绕坐标原点 沿逆时针方向旋转 后得到点 ．则
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即
解得：
又因为 ．所以 ，
化简得： ，
故曲线 的方程为 ．
【小问 2 详解】
将点 代入 ，得
两式相减，得 ．
所以 ．又因为 ．
所以 ．
又因为 ，故 为首项为 ，公比为 2 的等比数列．
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所以 ．进一步可得 ．
【小问 3 详解】
因为 ，
．
又因为在等比数列 中， ．
所以 ．
【点睛】方法点睛：求通项的方法：
①公式法：利用等差等比的通项公式计算；
②累加法： ；
③累乘法： ；
④根据 计算；
④构造法：通过构造新数列为等差等比来求通项.
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