四川省内江市资中县2024_2025学年高一数学上学期期末考试火箭班试题含解析

这是一份四川省内江市资中县2024_2025学年高一数学上学期期末考试火箭班试题含解析，共18页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答
题纸上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑．如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．回答非选择题时，将
答案写在答题纸上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷与答题卡一并由监考人员收回．
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求．
1. 已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据指数函数的单调性求出集合 ，解不等式求出集合 ，再根据集合交集的定义求解即可.
【详解】因为 ，所以 ，所以 ，
又 ，所以 .
故选：B.
2. 已知函数 有且仅有 3 个零点，则 的最大值为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】由题可得函数为奇函数， 在 上有且只有 1 个零点，然后利用零点存在定理可得
不合题意，当 时利用数形结合可得适合题意，进而即得答案.
【详解】因为
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所以 ，
故 为奇函数，且 为 的零点，所以 在 上有且只有 1 个零点，
又 ， ， ，
故零点均位于区间 内，
当 时， ， ，故存在 使得 ，
又 ，故存在 使得 ，
所以 在 上至少存在两个零点，故 不符合题意；
当 时，由 ，可得 ，
作出函数 与函数 的大致图象，
由图形可知函数 与函数 的有 3 个交点，即函数 有且仅有 3
个零点，适合题意，
所以 的最大值为 4.
故选：C．
3. 已知 ，且 ，则“ ”是“函数 在 上单调递增”
的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
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【分析】先由 在 R 上单调递增求得 的取值范围，再利用充分条件，必要条件的定义即得.
【详解】由 在 上单调递增，得 ，解得 ，
故“ ”是“函数 在 上单调递增”的充分不必要条件.
故选：A.
4. 数学上用“ ”表示连乘运算，例如： .设函数 ，
记 ， ，则使 成立的 m 的最小值为（ ）
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知条件求得的表达式 ，然后根据
，利用对数运算等知识求得正确答案.
【详解】 ，
，
，
，即 ，
解得 或 ，
又 ，所以使 成立的 m 的最小值为 9.
故选：B.
5. 函数 的大致图象是（ ）
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A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先求出函数的定义域，即可判断 B、D，再根据函数在 上的单调性排除 C.
【详解】函数 ，令 ，解得 ，
所以函数 定义域为 ，故排除 B、D；
当 时 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，故排除 C.
故选：A
6. 设 的外心为 ，重心为 ，并且满足 ，则当 最大时，
的外接圆半径为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设外接圆半径为 ，根据向量数量积的运算律结合重心的性质与二倍角的余弦公式得
，再利用导数求出极大值点即可.
【详解】设外接圆半径为 ，
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则根据重心向量公式有 ，
则
，
令 ，此时 ，
当 时， ，此时 单调递增；
当 时， ，此时 单调递减；
故当 最大时， 的外接圆半径为 .
故选；D
7. 已知 为定义在 上的奇函数，当 时， ，则方程
实数根的个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据奇函数的定义求出 的解析式，进而解方程即可.
【详解】因为 为定义在 上的奇函数，所以 ，
当 时， ， ，
当 时， ， ，
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综上 ，
当 时，令 无解；当 时，令 解得 ；
当 时，令 无解；当 时，令 解得 ；
当 时，令 ，解得 ，
综上 实数根的个数为 个，
故选：C
8. 函数 的部分图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】判断函数的奇偶性，再证明当 时， ，由此确定正确选项.
【详解】函数 定义域为 ，定义域关于原点对称，
因为 ，
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，
所以函数 为奇函数，图象关于原点对称，
当 时， ， ，故 ，
选项 ABD 都不同时符合以上所有特征，选项 C 符合以上特征，
故函数 的部分图象大致为选项 C 的图象.
故选：C.
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的四个选项中，有多
项符合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 函数 （ 且 ）的图象恒过定点
B. 函数 与 表示同一个函数
C. 函数 的最小值为 3
D. 若关于 x 的不等式 的解集为 或 ，则
【答案】AB
【解析】
【分析】根据指数函数的性质求得定点判断 A，根据同一函数的概念判断 B，根据基本不等式的应用条件判
断 C，根据二次不等式的解集及韦达定理求解 即可判断 D.
【详解】对于 A，因 （ 且 ）恒过定点 ，故函数 的图象恒过定点
，故 A 正确；
对于 B，函数 与 的定义域为 ，
且 ， ，故它们为同一个函数，故 B 正确；
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对于 C， ，
当且仅当 时取等号，但 方程无解，等号不成立，故 C 错误；
对于 D，依题意关于 x 的方程 有两根为 和 2，故必有
解得 所以 ，故 D 错误．
故选：AB
10. 下列选项正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于 A，利用作差法即可判断；对于 B，利用指数运算即可判断；对于 C，利用指数函数单调性，
并借助中间量 1，即可判断；对于 D，利用指数、对数的运算及对数函数的性质可判断.
【详解】对于 A，因为 ，
所以 ，故 A 错误；
对于 B，因为 ，所以 ，即 ，故 B 正确；
对于 C，因为 ， ，
所以 ，故 C 正确；
对于 D，因为 ，
又 ，所以 ，即 ，
所以 ，即 ，故 D 正确.
故选：BCD.
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11. 在 天 文 观 测 中 ， 某 恒 星 的 亮 度 随 时 间 ， 单 位 ： 百 年 ） 的 变 化 曲 线 可 以 用 函 数
来描述．观测发现在 和 时，该恒星的亮度均为 ，而
在 时，恒星处于最亮状态，则下列说法正确的有（ ）
A. 在区间 内，恒星亮度变化曲线的对称轴一定是奇数条
B. 在区间 内，恒星的亮度为 的次数一定是偶数次
C. 在区间 内，恒星达到最暗的次数一定是奇数次
D. 在区间 内，恒星达到最暗的次数一定是偶数次
【答案】BC
【解析】
【分析】对 取特殊即可排除 A 选项和 D 选项；由三角函数的对称性及最值判断 B 选项和 C 选项；
【详解】当 时，在区间 内恒星亮度变化曲线有 2 条对称轴，故 A 错误；
由于 时，恒星处于最亮状态，即函数 取最大值，
可解得 ，故 ，则 是函数 的对称轴，
区间 关于 对称，故恒星的亮度为 的次数一定是偶数次，B 正确；
因为当 和 时，该恒星的亮度均为 ，且 时恒星处于最亮状态， ，
故 ，则 ，即 时 取最小值，
在 内，恒星达到最暗的次数一定是偶数次，
在 内，由于区间关于 对称，且 时取最小值，故恒星达到最暗的次数一定是奇数次，
故在区间 内，恒星达到最暗的次数一定是奇数次，故 C 正确；
当 时， ，在区间 内恒星达到最暗的次数只有 1 次，故 D 错误．
故选：BC．
【点睛】方法点睛，本题重点考查的内容是三角函数的图像及性质，通过三角函数的最值及对称性来解决
本题.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
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12. 已知某个扇形的圆心角为 ，弧长为 ，则该扇形的半径为__________.
【答案】2
【解析】
【分析】将圆心角转化为弧度制后借助弧长公式计算即可得.
【详解】 rad，故 .
故答案为：2.
13. 若函数 有且仅有两个零点，则实数 b 的一个取值为______.
【答案】 （答案不唯一）
【解析】
【分析】根据零点概念对两段进行计算，分析，结合指数函数性质得解.
【详解】令 ，当 时，由 0，得 ，即 为函数 的一个零点，
故当 时， 有一解，即 有一解，得 .则 .
故答案为： （答案不唯一, 都可以）.
14. 设 函 数 的 定 义 域 为 为 的 导 函 数 ， ， 则
_______．
【答案】89
【解析】
【分析】由题设可得 ，进而有 且 ，即可求目标
函数的值.
【详解】由 ，则 ，
所以 ，则 ，即 ，且 ，
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则
．
故答案为：89
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. （1）如图，阴影部分表示角 的终边所在的位置，试写出角 的集合.
（2）已知 ，求 的值;
（3）已知 ，且 ，求 的值.
【 答 案 】 （ 1） ① ， ②
；
（2） ；
（3） .
【解析】
【分析】（1）根据任意角的概念和阴影部分表示的角，数形结合求出答案；
（2）利用齐次化求出 ，再利用齐次化化简，代入求值即可；
（3） 两边平方，结合同角三角函数关系求出 ，平方求出
，并根据 ， 得到 ， ，求出
.
【详解】（1）①
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，
② ；
（2） ，故 ，
解得 ，
；
（3） 两边平方得 ，
故 ，所以 ，
，
因 ，所以 ，
由于 ，故 ，
所以 ，故 .
16. 已知集合 .
（1）若 A 中有且仅有 1 个元素，求实数 m 的值；
（2）若 ，求实数 m 的取值范围.
【答案】（1） 或
（2）
【解析】
【分析】（1）分类讨论当 、 时方程根的个数，即可求解；
（2）求得集合 ，分 、 结合 的情况讨论方程的解的情况，可求实数 m 的
取值范围.
【小问 1 详解】
若 ，方程化为 ，此时方程有且仅有一个根 ；
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若 ，则当且仅当方程的判别式 ，即 时，
方程有两个相等的实根，此时集合 中有且仅有一个元素，
所以实数 m 的值为 或 ；
【小问 2 详解】
，
因为 ，所以 ，
由（1）知 时， ，不符合 ，
当 时，若 ，解得 ，此时 ，符合 ，
若 ，解得 ，此时方程 的根为 ，
集合 ，符合 ，
若 ，由 ，则可得 ，
此时有 且 ，无解，
综上所述：实数 m 的取值范围为 .
17. 已知函数 ．
（1）求 的最小值；
（2）若 ，求实数 的取值范围．
【答案】（1）2 （2）
【解析】
【分析】（1）利用基本不等式的性质，利用取等条件，得到答案.
（2）利用函数单调性，得到不等式进行计算，得到答案.
【小问 1 详解】
，
当且仅当 即 时取等号，故 的最小值为 2，
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【小问 2 详解】
易知 在 上单调递增，
因为 ，故 ，
整理得 ，即 ，解得 ，
故所求 ．
18. 渔场中鱼群的最大养殖量为 ，为了保证鱼群的生长空间，实际养殖量 小于 ，以便留出适当的
空闲量 ．已知鱼群的年增长量 和实际养殖量与空闲率（空闲率是空闲量与最大养殖量的比值）
的乘积成正比，比例系数为 ．
（1）写出 y 关于 x 的函数关系式，并求鱼群年增长量 y 的最大值；
（2）当鱼群年增长量 y 达到最大值时，求实数 k 的取值范围．
【答案】（1） ；
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意求出空闲率，即可得到 y 关于 x 的函数关系式，利用配方法可求得鱼群年增量的最大
值；
（2）由题意得 ，即 ，结合 ，即可得到结果.
【小问 1 详解】
由题意，空闲率为 ，
关于 x 的函数关系式是： ，
，
则函数在 上单调递增，在 上单调递减，
当 时， ．
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【小问 2 详解】
由（1）知,当鱼群年增长量 y 达到最大值时， ，
由题意有 ，即 ，
，
又 ， 的取值范围为 ．
19. 已知函数 .
（1）讨论函数 的奇偶性；
（2）记 ，若 与 在 有两个互异的交点，交点横坐标分别为 ，且
，求证： .
【答案】（1） 时，为偶函数； 时，为非奇非偶函数；
（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）根据奇偶性的定义，结合函数解析式，讨论 时， 的关系，即可判断；
（2）求得 在 上解析式，并分析其单调性，结合题意，求得 的范围以及 之间的
关系；
再对要证明的目标式进行消元和等价转化，只需证明 即可，最后根据 的范围，即可
证明.
【小问 1 详解】
易知 定义域为 ，关于原点对称；
又 ，故 ，
故当 时， ，为偶函数；
当 时， ，且 ，故此时 为非奇非偶函数.
小问 2 详解】
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，
令 ，且 ，解得 ；令 ，且 ，解得 ，故
，
当 时， 均单调递减，
故 也单调递减；
当 时， 单调递增；
故 与 在 有一个交点，在 有一个交点；
故 ， ，
则 ， ，且 ；
故 ， ；
又因为 ，且 ，则 ；
要证 ，即证： ，
只需证 ，
即证 ，
也就是证 ，
就是证 ，
即证 ；
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又因为 ， ， ，故 ，故 .
故
【点睛】关键点点睛：解决本题第二问的关键，一是能够找到 的范围，以及 的关系；二是，
对要证明的不等式进行等价转化，核心是要通过消元进行处理；属综合困难题.
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