四川省内江市资中县第二中学2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题 含解析

这是一份四川省内江市资中县第二中学2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题 含解析，共15页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分等内容，欢迎下载使用。
2024年11月
注意事项：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，考生将自己的姓名、准考证号填写在答题卡指定位置上．
3．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写．
4．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．
一、单选题
1. 已知集合，（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】化简集合，根据交集运算即可求解.
【详解】因为，
所以.
故选:A.
2. 下列命题正确的个数是（ ）
①命题“所有的四边形都是矩形”是存在量词命题；
②命题“”是全称量词命题；
③命题“”的否定形式是“”
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】根据全称量词命题和存在量词命题的概念判断①②的真假，根据全称量词命题与存在量词命题的关系判断③的真假.
【详解】对①：因为命题中含有“所有的”这个全称量词，故命题“所有的四边形都是矩形”是全称量词命题，所以①错误；
对②：因为命题含有“任意”这个全称量词，故命题“”是全称量词命题，所以②正确；
对③：命题“”的否定形式是“”，所以③错误.
正确的命题个数是1.
故选：B
3. 已知函数是幂函数，则的值为（ ）
A. B. 2C. 或2D. 0
【答案】C
【解析】
【分析】由幂函数的定义可得，求解即可.
【详解】因为是幂函数，
所以,即，解得或2.
故选:C.
4. 已知函数，则（ ）
A. B. 3C. 1D. 19
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知函数解析式可先求，然后代入可求.
【详解】由，则.
故选：B
5. 下列四组函数中，表示同一函数的一组是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据同一函数的判定方法，结合定义域和对应法则，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，函数与的定义域不同，所以两个函数不是同一函数；
对于B中，函数和，两个函数的定义域相同，对应关系也相同，所以两个函数是同一函数；
对于C中，函数满足，解得，即函数的定义域为，函数的定义域为，两个函数的定义域不同，所以不是同一函数；
对于D中，函数满足，解得，即函数的定义域，函数的定义域为，两个函数的定义域不同，所以不是同一函数.
故选：B.
6. 函数是定义在上的奇函数，当时，，则
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用奇函数的性质求出的值.
【详解】由题得，故答案为D
【点睛】(1)本题主要考查奇函数的性质，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)奇函数f(-x)=-f(x).
7. “函数的定义域为R”是“”的（ ）
A 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】由函数的定义域为R，即对任意x∈R恒成立，可得a的范围，则可得 “函数的定义域为R” 是“”的必要不充分条件.
【详解】因为函数的定义域为R，
所以对任意x∈R恒成立，
①当时，对任意x∈R恒成立；
②当时，只需，解得：；
所以.
记集合，.
因为A⫋B，所以 “函数的定义域为R” 是“”的必要不充分条件.
故选：B.
8. 已知且，不等式恒成立，则正实数m的取值范围是（ ）
A. m≥2B. m≥4C. m≥6D. m≥8
【答案】D
【解析】
【分析】由条件结合基本不等式可求的范围，化简不等式可得，利用二次函数性质求的最大值，由此可求m的取值范围.
【详解】不等式可化为，又，，
所以，
令，则，
因为，，所以，当且仅当时等号成立，
又已知在上恒成立，所以
因为，当且仅当时等号成立，
所以m≥8，当且仅当，或，时等号成立，
所以m的取值范围是，
故选：D.
二、多选题
9. 对于任意实数，，，，下列四个命题中真命题是（ ）
A. 若，，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，，则
【答案】BC
【解析】
【分析】根据选项中的已知条件，利用不等式的基本性质对选项逐一判断即可得出结论.
【详解】对于A，当，时，则，即A错误；
对于B，若，可得，两边同时除以，可得，即B正确；
对于C，若可得，即，
由可得，即，因此可得，即C正确；
对于D，若，c=−1>d=−2，可得，即D错误.
故选：BC
10. 若函数在上是减函数，则关于实数a的可能取值是（ ）
A. B. C. 0D. 1
【答案】AB
【解析】
【分析】先考虑各部分函数的单调性，然后分析两段函数在处的函数值的大小关系，从而求解出的取值范围.
【详解】当时，在上递减，所以对称轴，
当时，在上递减，所以，
又因为当时，，所以，
综上可知：.
所以实数a的可能取值为内的任意实数.
故选：AB
11. 定义在上的偶函数满足：，且对于任意，，若函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 在上单调递增B.
C. 在上单调递减D. 若正数满足，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据函数的单调性判断、的单调性判断AC，根据单调性比较大小判断B，根据单调性解不等式判断D.
【详解】对于任意，，
所以，所以在上单调递增，故选项A正确；
因为的定义域为，所以，
所以为奇函数，所以，由在上单调递增，
所以，故选项B正确；
对于任意，
，
因为，，所以，所以，
所以在上单调递增，故选项C错误；
，即，
又，所以，
因为在上单调递增，所以，
解得，即，故选项D正确.
故选：ABD
三、填空题
12. 函数的定义域为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据求定义域的法则求解.
【详解】要使函数有意义，
需满足，即，
则函数的定义域为，
故答案为：.
13. 函数，则该函数值域为__________．
【答案】
【解析】
【分析】分段求值域，再取并集即可求解.
【详解】当时，二次函数对称轴是，且开口向上，
此时在上单调递增；
当时，，即
所以得值域为.
故答案为:.
14. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，对任意的，恒有，则实数的最大值为_____．
【答案】
【解析】
【分析】写出函数的解析式，判断出函数在上单调递减，由，结合，可得出在区间上恒成立，于是得出，从而解出实数的取值范围，得出的最大值.
【详解】由于函数是定义在上奇函数，当时，，
，易知函数在上单调递减，
又，由，得，
即在上恒成立，则，
化简得，解得，因此，实数的最大值为，
故答案为.
【点睛】本题考查函数不等式恒成立问题，解题时要充分分析函数单调性与奇偶性，并将不等式转化为，利用函数的单调性求解，考查化归与转化思想的应用，属于难题.
四、解答题
15. 已知全集，集合.
（1）求；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1），
（2）.
【解析】
【分析】（1）求出集合，再根据集合的交、并、补的定义求解即可；
（2）由题意可得根据子集的定义求解即可.
【小问1详解】
由题意得，集合
所以，；
【小问2详解】
因为，所以
又因，所以，即.
所以的取值范围为.
16. 已知关于x的不等式的解集为或（）.
（1）求a，b的值；
（2）当，，且满足时，有恒成立，求k的取值范围.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）方法一：根据不等式的解集为或，由1和b是方程的两个实数根且，利用韦达定理求解；方法二：根据不等式的解集为或，由1和b是方程的两个实数根且，将1代入求解.
（2）易得，再利用“1”的代换，利用基本不等式求解.
【小问1详解】
解：方法一：因为不等式的解集为或，
所以1和b是方程的两个实数根且，
所以，解得
方法二：因为不等式的解集为或，
所以1和b是方程的两个实数根且，
由1是的根，有，
将代入，
得或，
∴；
【小问2详解】
由（1）知，于是有，
故，
当且仅当时，等号成立，
依题意有，即，
得，
所以k的取值范围为.
17. 在充分竞争的市场环境中，产品的定价至关重要，它将影响产品的销量，进而影响生产成本、品牌形象等某公司根据多年的市场经验，总结得到了其生产的产品A在一个销售季度的销量单位：万件)与售价单位：元)之间满足函数关系，A的单件成本单位：元)与销量y之间满足函数关系．
当产品A的售价在什么范围内时，能使得其销量不低于5万件？
当产品A的售价为多少时，总利润最大？(注：总利润销量售价单件成本
【答案】（1）（2）14元
【解析】
【分析】（1）根据题中所给的解析式，分情况列出其满足的不等式组，求得结果；
（2）根据题意，列出利润对应的解析式，分段求最值，最后比较求得结果.
【详解】（1）由得，或
解得，或.
即.
答：当产品A的售价时，其销量y不低于5万件．
（2）由题意，总利润
①当时，，当且仅当时等号成立.
②当时，单调递减，
所以，时，利润最大.
答：当产品A的售价为14元时，总利润最大．
【点睛】该题考查的是有关函数的应用问题，涉及到的知识点有根据题意列出函数解析式，根据函数解析式求函数的最值，注意认真分析题意，最后求得结果.
18. 已知函数是定义在上的奇函数，且．
（1）求函数的解析式；
（2）判断在上的单调性，并用单调性定义证明；
（3）解不等式．
【答案】（1），
（2）减函数；证明见解析；
（3）
【解析】
【分析】（1）根据奇函数的性质和求解即可.
（2）利用函数单调性定义证明即可.
（3）首先将题意转化为解不等式，再结合的单调性求解即可.
小问1详解】
函数是定义在上的奇函数，
；，解得，
∴，而，解得，
∴，．
【小问2详解】
函数在上为减函数；
证明如下：任意且，则
因为，所以，又因为，
所以，所以，
即，所以函数在上为减函数．
【小问3详解】
由题意，，又，所以，
即解不等式，所以，
所以，解得，
所以该不等式的解集为．
19. 若函数的定义域为，集合，若存在正实数，使得任意，都有，且，则称在集合上具有性质.
（1）已知函数，判断在区间上是否具有性质，并说明理由；
（2）已知函数，且在区间上具有性质，求正整数的最小值；
（3）如果是定义域为的奇函数，当时，，且在上具有性质，求实数的取值范围.
【答案】（1）不具有，理由见解析
（2）2 （3）
【解析】
【分析】（1）结合定义举出反例即可得；
（2）由题意可得，即可转化为对任意恒成立，构造相应函数，借助二次函数的性质即可得解；
（3）由题意结合奇函数的性质可得，再证明时，在R上具有性质即可得.
【小问1详解】
，
当时，，
故在区间−1,0上不具有性质；
【小问2详解】
函数的定义域为R，
对任意，则，
在区间0,1上具有性质，
则，即，
因为是正整数，化简可得：对任意恒成立，
设，其对称轴为，
则在区间上是严格增函数，
所以，，解得，
故正整数的最小值为2；
【小问3详解】
法一：由是定义域为R上的奇函数，
则，解得，
若，，有恒成立，所以符合题意，
若，当时，，
所以有，
若在R上具有性质，则对任意x∈R恒成立，
在上单调递减，则，x不能同在区间内，
，
又当时，，当时，，
若时，今，则，故，不合题意；
，解得，
下证：当时，恒成立，
若，则，
当时，则，，
所以成立；
当时，则，
可得，，即成立；
当时，则，
即成立；
综上所述：当时，对任意x∈R均有成立，
故实数的取值范围为.
法二：由是定义域为R上的奇函数，则，解得.
作出函数图像：
由题意得：，解得，
若，，有恒成立，所以符合题意，
若，则，
当时，则，，
所以成立；
当时，则，
可得，，即成立；
当时，则，
即成立；
综上所述：当时，对任意x∈R均有成立，
故实数的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于由题意得出必要条件，再证明其充分性即可得.