四川省内江市资中县2024_2025学年高一数学上学期期末考试普通班试题含解析

这是一份四川省内江市资中县2024_2025学年高一数学上学期期末考试普通班试题含解析，共16页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分等内容，欢迎下载使用。
数学
考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题
纸上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑．如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．回答非选择题时，将
答案写在答题纸上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷与答题卡一并由监考人员收回．
一､单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求．
1. 已知命题 ， ，则命题 的否定为（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题判断即可.
【详解】命题 ， 为全称量词命题，
其否定为： ， .
故选：C
2. （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】直接用两角差的正弦公式化简求值.
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【详解】原式 .
故选：D
3. 设 ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用指对数函数的单调性求出 的范围判断.
【详解】因为 在 上单调递增，且 ，所以 ，即 ，
因为 在 上单调递减，且 ，所以 ，即 ，
因为 在 上单调递减，且 ，所以 ，即 ，
所以 .
故选：B.
4. 设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】先解不等式，然后根据充分、必要条件的知识求得正确答案.
【详解】因为 ，所以 或 ，所以 或 ，
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：B.
5. 正实数 满足 ，则实数 之间的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
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【解析】
【分析】由 ，得 ，而 与 的图象在 只有一个交点，从而可得
在 只有一个根 ，令 ，然后利用零点存在性定理可求得
，同理可求出 的范围，从而可比较出 的大小
【详解】 ，即 ，即 ， 与 的图象在 只有一
个交点，
则 在 只有一个根 ，令 ，
， ， ，则 ；
，即 ，即 ，由 与 的图象在 只有一个交点，
则 在 只有一个根 ，令 ， ，
， ，故 ；
，即 ，
即 ，由 与 的图象在 只有一个交点，
则 在 只有一个根 ，令 ， ，
， ，则 ；
故选：A
6. 函数 的图象大致为（ ）
A. B.
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C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求函数的定义域，结合幂函数和指数函数的增长速度的不同可得 时， ，证明
时， ，由此判断正确选项.
【详解】函数 的定义域为 ，
当 时， ， ，所以 ，
当 时， ， ，
随 的增大， 的增长速度会越来越快，会超过并远远大于大于 的增长速度，
故当 时， .
由于 ABD 不满足以上条件，故函数 的图象大致为 C.
故选：C.
7. 已知点 为函数 和 图象的交点，则 （ ）
A. B. C. 1 D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】先根据点在函数上得出等式，再同构设新函数 ，再求导函数得出函数的单调性
进而得出等式的值.
【详解】因为点 为函数 和 图象的交点，
所以 ，即 的根为 .
因为 ，所以 ，故 ，且 为方程 的根.
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令 ，则 ，所以 在 上单调递增.
又 ，所以 ，即 ，所以 .
故选：D.
8. 若函数 的图象关于直线 对称，则 的值域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用特殊值结合对称性求出 a 的值，可得函数解析式，再利用基本不等式，即可求得答案.
【详解】依题意， ，其图象关于直线 对称，
则 ，
所以 ，所以 ，解得 ，
所以 ，此时 ，满足题意；
因为 ，当且仅当 ，即 时等号成立，
所以 ，
故选：B．
二､多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，有多
项符合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9. 有以下判断，其中是正确判断的有（ ）
A. 与 表示同一函数
B. 函数 的图象与直线 的交点最多有 个
C. 对任意的实数 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是
D. 若不等式 对一切 恒成立，则实数 的取值范围为
【答案】CD
【解析】
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【分析】对于 A，结合函数相等的定义，即可求解；对于 B，结合函数的定义，即可求解；对于 C 利用二
次不等式恒成立求解即可；对于 D，利用参变量分离法即可求解.
【详解】函数 的定义域为 ， 的定义域为 ，故两个不是同一个函数，故 A 错误；
函数 的图象与直线 的交点最多有 个，故 B 错误；
，即 恒成立，
当 时， ，符合题意，
当 时， ，解得 ，
综上所述，实数 的取值范围是 ，故 C 正确；
不等式 对一切 恒成立，
则 ， ，
设 ， ，则函数 在 上单调递增，
故 ，所以实数 的取值范围为 ，故 D 正确.
故选：CD.
10. 已知 ，若对任意的 ，不等式 恒成立，则（ ）
A. B.
C. 的最小值为 12 D. 的最小值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】对 A，B，由 恒成立，讨论可得函数 ，必有 ，单调递减，且
零点为 ，即 ，可判断；对 C，利用 结合基本不等式即可得出；对 D，先将
代入中所求的式子，换元令 ，求出 的范围，根据二次函数的单调性即可求出最值
.
【详解】对于 A，B，因为 恒成立，又因为 ，
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所以当 时， ，当 时， ，
所以当 时， ，当 时， ，
所以对于函数 ，必有 ，单调递减，且零点为 ，
所以 ，所以 ，
故 A 正确，B 错误；
对于 C，因为 ，所以 ， ，
所以 ，当且仅当 ，即 时取等号，
所以 的最小值为 12，故 C 正确；
对于 D， ， ，
，
令 ，则 ，当且仅当 时，等号成立．
则 ，
由二次函数的性质可得 的最小值为 ，
即 的最小值为 ，此时 ， ，故 D 正确.
故选：ACD．
11. 已知数列 的前 项和为 ， 且 ，则下列命题正确的是（ ）
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A. 若 是递增数列，则数列 的前 项和为
B. 若 是递增数列，则数列 的前 项和为
C. 若 各项均为正数，则
D. 存在无穷多个不同的数列 ，使得
【答案】BCD
【解析】
分析】利用 求得 ，对于 A，先求得 ，然后利用裂项
相消求解判断；对于 B，对 分成奇数和偶数两种情况进行分类求解判断；对于 C，先求得 ，进而利用
错位相减法求解判断；对于 D，结合 分类讨论可判断.
【详解】由 ， ，
当 时， ，解得 或 （舍去）；
当 时， ，
则 ，
整理得， .
对于 A，因为 是递增数列，且 ，
所以 ，则 ，即 ，
所以数列 为等差数列，首项为 1，公差为 1，
则 ，
则 ，
则数列 的前 项和为：
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，故 A 错误；
对于 B，由 A 知， ，则 ，
当 为偶数时，数列 前 项和为：
，
当 为奇数时，数列 前 项和为：
，
综上所述，数列 前 项和为 ，故 B 正确；
对于 C，因 各项均为正数，则 ，即 ，
即 ，所以数列 为等差数列，首项为 1，公差为 1，
设 ， ，①
则 ，②
② ①得， ，故 C 正确；
对于 D，由 ， ， ，
得 或 ， ，
即 或 ， ，
即从 起，每一项是“前一项的相反数”或是“前一项加 1”.
若 ，则 或 ，
由于 ，从 起每项是“前一项加 1”，则到第 2024 项则为 ，符合题意.
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由 ，从 1 起每项加 1 至少要到第 2025 项，所以 不符合题意.
但对于数列 ，第 2026 项及之后的项也不确定，故 D 正确.
故选：BCD.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用 得到 ，进而求
解判断各选项.
三､填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 函数 的定义域为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据分母不为 及偶次方根的被开方数非负得到不等式组，解得即可.
【详解】对于函数 ，令 ，解得 ，
所以函数 的定义域为 ．
故答案为：
13. 已知 ， ，且 ，则 ______， 的最小值为______．
【答案】 ① 1 ②. 8
【解析】
【分析】变形得到 ，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.
【详解】由题意得 ，
则 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立．
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故答案为：1，8
14. 已知函数 ，若函数 有三个不同的零点，则实数 的取值范
围是________．
【答案】 ．
【解析】
【分析】由题意可知：①方程 在 存在一个解，列出不等式解得实数 的取值范围；②方
程 在 存在两个解，列出不等式解得实数 的取值范围.然后两个实数 的取值范围求
交集即可.
【详解】令 ，即 有三个不同的解，
∴方程 在 存在一个解，即 ，即 ，解得 或 ，
方程 在 存在两个解，
令 ，函数的对称轴是 ，
则 ，解得 ，
∴ .
故答案为： .
四､解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 设集合 ， ．
（1）若 ，求 ；
（2）若 ，求实数 的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）将 代入，求出集合 ，解不等式化简集合 ，再根据补集和交集的定义即可求出；
（2）根据 ，可得 ，对集合 是否为空集分类讨论，得到关于 a 不等式组，解出即可.
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【小问 1 详解】
当 时， ，由 得 或
所以 或 则
所以
【小问 2 详解】
由 得
①若 ，则 ，解得
②若 ，则 或 ，解得 或
综上，实数 的取值范围是
16. （1） ，求 ；
（2）已知 （ ），求 ．
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】（1）由条件可得 ，再将式子化为正、余弦的齐次式，代入计算，即可得到结果；
（2）由诱导公式化简，即可得到 ，再由 与 之间的关系，代
入计算，即可得到结果.
【详解】（1）由 可得 ，解得 ，
所以 .
（2）由 可得 ，
所以 ，
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即 ，又 ，所以 ，
则 ，
所以 ，
所以 .
17. 安溪作为世界藤铁工艺之都，孕育了藤铁家居工艺企业 2200 多家，加工点 3000 多个，从业人员 15 万
人，产品出口到世界 60 多个国家和地区.为了更好地发展，某公司投入 2 百万资金，设计开发了 ， 两种
工艺品.现公司拟投入资金开展生产，经市场调查与预测，生产 工艺品的毛收入与投入的资金成正比，已
知每投入 1 百万元，公司获得毛收入 0.25 百万元；生产 工艺品的毛收入 （百万元）关于投入的资金 （百
万元）的函数为 ，其图象如图所示.
（1）分别求生产 ， 两种工艺品的毛收入 （百万元）关于投入资金 （百万元）的函数关系式；
（2）公司计划投入 80 百万元资金用于生产 ， 两种工艺品，则如何安排，使公司所获利润最大，最大
利润是多少？
【答案】（1） ， ， ， ，
（2）投入 百万元生产 工艺品，投入 百万元生产 工艺品，公司所获利润最大，最大利润为 19 百万
元.
【解析】
【分析】（1）根据待定系数法可求出函数解析式；
（2）设投入 百万元生产 工艺品，则得到利润表达式，利用二次函数的性质求出最值即可.
【小问 1 详解】
因为生产 工艺品的毛收入与投入的资金成正比，所以设 ，因为当 时， ，所以
，所以 ，
即生产 工艺品的毛收入 （百万元）与投入资金 （百万元）的函数关系式为 ，
对于生产 工艺品的，因为函数 图像过点 ，
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所以
，解得 ，所以 ，
即生产 工艺品的毛收入 （百万元）与投入的资金 （百万元）的函数关系为 ，
【小问 2 详解】
设投入 百万元生产 工艺品，则投入 百万元生产 工艺品，则公司所获利润
，
所以当 ，即 百万元时，
即投入 百万元生产 工艺品，投入 百万元生产 工艺品，公司所获利润最大，最大利润为 19 百万元.
18. 已知锐角 的内角 ， ， ，所对的边分别为 ， ， ，且 ．
（1）求角 ；
（2）若锐角 外接圆的半径为 ，求 的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由三角形中角之间的关系及正弦定理 的正弦值，进而求出 角的大小；
（2）由正弦定理可得 ， 的表达式，再由 角的范围可得解．
【小问 1 详解】
在三角形中，由题意 ，
再由正弦定理可得： ，而 ，
锐角三角形中， ，
所以 ，即 ，
所以 ；
【小问 2 详解】
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由正弦定理可得 ，
所以 ，
故 ，
又 ，所以 ，
解得 ，
所以
，又 ，所以 ，
所以 ，
所以 的取值范围为 ．
19. 已知函数 的定义域为 ，区间 ， ，当 时，如果
，则称函数 是 上的 函数．
（1）判断下列函数是否是其定义域上的 函数，并说明理由：① ，② ；
（2）若函数 是 上的 函数，证明：对于任意的 ， （ ）和任意的 ，
总有 ．
【答案】（1）①是，②不是，理由见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用作差法，结合 函数的定义即可逐个判定；
（2）假设 ，则 ，则利用 函数的定义化简即可得证.
【小问 1 详解】
①当 时，
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，
所以 ， 是定义域上的 函数；
②当 时，
，
所以不满足 ， 不是定义域上的 函数．
【小问 2 详解】
证明：不妨设 ，则 ，
令 ，因为函数 为区间 上的 函数，
所以 ，
，
化简得 ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
．
【点睛】关键点点睛：本题主要考查函数恒成立问题，解题的关键是对新函数定义的理解与应用，考查逻
辑推理能力，属于难题.
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