数学曲边梯形面积与定积分教课ppt课件

这是一份数学曲边梯形面积与定积分教课ppt课件，共60页。PPT课件主要包含了曲边梯形，---定积分，作和式In，感受理解，数学应用，定积分的定义等内容，欢迎下载使用。
曲线与平行于y轴的直线和x轴所围成的图形，通常称为曲边梯形，曲边三角形是特殊的曲边梯形。
1.4.1曲边梯形的面积
例1.直线x1、y0及曲线yx2所围成的图形（曲边三角形）面积S是多少？
为了计算曲边三角形的面积S，将它分割成许多小曲边梯形
对任意一个小曲边梯形，用“直边”代替“曲边”（即在很小范围内以直代曲），有以下三种方案“以直代曲” 。
用一个矩形的面积 A1近似代替曲边梯形的面积A， 得
用两个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积A， 得
A  A1+ A2+ A3+ A4
用四个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积A， 得
A  A1+ A2 +    + An
将曲边梯形分成 n个小曲边梯形，并用小矩阵形的面积代替小曲边梯形的面积， 于是曲边梯形的面积A近似为
分割越细，面积的近似值就越精确。当分割无限变细时，这个近似值就无限逼近所求曲边梯形的面积S。
下面用第一种方案“以直代曲”的具体操作过程
把区间[0，1]等分成n个小区间：
过各区间端点作x轴的垂线，从而得到n个小曲边梯形，他们的面积分别记作
当分点非常多（n非常大）时，可以认为f(x)在小区间上几乎没有变化（或变化非常小），从而可以取小区间内任意一点xi对应的函数值f(xi)作为小矩形一边的长，于是f(xi) △x来近似表示小曲边梯形的面积
表示了曲边梯形面积的近似值
在 [a, b]中任意插入 n -1个分点．
得n个小区间： [xi1 , xi ] (i=1, 2 , · · ·, n)．
把曲边梯形分成 n 个窄曲边梯形．
任取xi [xi1，xi ] ，以f (x i) Dxi近似代替第i个窄曲边梯形的面积．
区间[xi1 , xi ]的长度Dxi xi xi1 ．
曲边梯形的面积近似为：A
例2．弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量成正比，即力F(x)=kx（k是常数，x是伸长量），求弹簧从平衡位置拉长b所作的功。
解：将物体用常力F沿力的方向移动距离x,则所做的功W=Fx，本题F是克服弹簧拉力的变力，是移动距离x的函数，F(x)=kx，
将[0，b] n等分，记△x= ，
分点依次为x0=0，x1= ，x2= ,……，xn－1= ，xn=b，
当n很大时，在分段[xi，xi+1]所用的力约为kxi，所做的功△W≈kxi·△x=
则从0到b所做的总功W近似地等于
当n→+∞时，上式右端趋近于
于是得到弹簧从平衡位置拉长b所做的功为
以上两个实际问题，一个是求曲边梯形的面积，一个是求变力所做的功，虽然实际意义不同，但解决问题的方法和步骤是完全相同的，都归结为求一个函数在某一闭区间上的和式的极限问题.
1. 怎样从数学角度去定义它们？
设f(x)是定义在区间[a，b]上的一个函数，在闭区间[a，b]上任取n－1个分点
把[a，b]分成 n个小闭区间，其长度依次为△x=xi+1－xi，i=0，1，2，…，n－1，记λ为这些小区间长度的最大者，当λ趋近于0时，所有小区间的长度都趋近于0，在每个小区间内各取一点，
当λ→0时，如果和式的极限存在，我们把和式 In的极限叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，
2,定积分的相关名称：  ———叫做积分号， f(x) ——叫做被积函数， f(x)dx —叫做被积表达式， x ———叫做积分变量， a ———叫做积分下限， b ———叫做积分上限， [a, b] —叫做积分区间。
按定积分的定义，有 (1) 由连续曲线y=f(x) (f(x)0) ，直线x=a、x=b及x轴所围成的曲边梯形的面积为
(2) 设物体运动的速度v=v(t)，则此物体在时间区间[a, b]内运动的距离s为
(3)变力作功问题可表示为
1.由曲线y=x2+1与直线x=1,x=3及x轴所围成的曲边梯形的面积,用定积分表示为____________.
注 ：定积分数值只与被积函数及积分区间 [a, b] 有关, 与积分变量记号无关
例3.计算下列定积分:
解: (1)5/2;
思考: 函数在区间[a,b]上的定积分 能否为负的?
3.定积分的几何意义：
x=a、x=b与 x轴所围成的曲边梯形的面积。
当f(x)0时，由yf (x)、xa、xb 与 x 轴所围成的曲边梯形位于 x 轴的下方，
上述曲边梯形面积的负值。
注:一般定积分的几何意义是,在区间[a,b]上曲线与x轴所围成图形的面积的代数和.
就是图中几个曲边图形面积的代数和,(x轴上方面积取正号,x轴下方面积取负号)
用定积分表示下列阴影部分面积
例4.计算下列定积分:
如果⊿xO(n∞)时，Sn 无限趋近某个常数S，那么称该常数S为函数f(x)在区间[a, b]上的定积分,记作:
一般地,设函数f(x)在区间[a, b]上有定义,将区间[a, b]等分成n个小区间,每个小区间长度为⊿x(⊿x=b-a/n),在每个小区间上取一点,依次为x1,x2, …,xn.作和
2．定积分的实质：特殊和式的逼近值．
3．定积分的思想和方法：
求近似以直（不变）代曲（变）