第3章 一次方程组 小结与复习 教案 2025-2026学年湘教版数学七年级上册

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第3章 一次方程（组） 小结与复习（2课时） 课型：复习课 1.掌握方程、方程（组）得解、一元一次方程、二元一次方程（组）等概念. 2.掌握等式的基本性质，能正确解一元一次方程、二（三）元一次方程组，进一步掌握基本技能和基本方法，提高解方程（组）的运算熟练程度和准确率. 3.能正确运用一次方程（组）解决简单的实际问题，感悟方程是刻画现实世界的一个有效模型，理解和体会数学建模思想在实际问题中的作用，形成用数学知识解决问题的意识. 4.通过师生共同的活动，培养学生的应用意识，训练学生的思维. 【教学重点】掌握一次方程（组）的相关概念及其解法，运用一次方程（组）解决实际问题. 【教学难点】灵活使用适当方法解一次方程（组），灵活选择一次方程（组）解决实际问题. 第1课时 一次方程（组）的相关概念及解法 一、方程的有关概念 1. 方程：含有未知数的表示等量关系的等式叫作方程． 2. 一元一次方程的概念：只含有一个未知数(元)，未知数的次数都是1，这样的方程叫作一元一次方程． 3. 方程的解：使方程左右两边的值相等，这个数 c 就是这个方程的一个解. 习惯上记作 x = c. 4. 解方程：根据等式的性质求方程的解的过程． 二、等式的性质 1. 等式的性质1：等式两边都加上或减去同一个数(或整式)，等式两边仍然相等． 如果a＝b，那么 a±c＝b±c. 2. 等式的性质2：等式两边都乘同一个数， 或除以同一个不为 0 的数，所得结果仍是等式． 如果a＝b，那么 ac＝ bc ，(c ≠ 0). 3. 如果 a = b，那么 b = a.（对称性） 4. 如果 a = b，b = c，那么 a = c.（传递性） 三、一元一次方程的解法 解一元一次方程的一般步骤： (1) 去分母：方程两边都乘各分母的最小公倍数，别漏乘. (2) 去括号：注意括号前的系数与符号． (3) 移项：把含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程右边，移项注意要改变符号． (4) 合并同类项：把方程化成 ax＝b(a ≠ 0)的形式． (5) 系数化为1：方程两边同除以 x 的系数，得 x＝m 的形式. 四、二（三）元一次方程组的有关概念 1. 二元一次方程的概念：含有两个未知数，并且含未知数的项的次数都是1的方程，叫作二元一次方程. 2. 二元一次方程组的概念：只含有两个未知数，并且含未知数的项的次数都是1的方程组. 3. 二元一次方程组的解：使二元一次方程组中每个方程左右两边的值相等，叫作这个方程组的一个解. 4. 三元一次方程组的概念：含有三个未知数，并且含未知数的项的次数都是1的方程组叫作三元一次方程组. 五、二元一次方程组的解法 ①代入消元法： ②加减消元法： 六、三元一次方程组的解法 消元法：通过消元，把一个较复杂的三元一次方程组转化为简单易解的阶梯形的方程组，从而通过回代得出其解，整个求解过程称为用消元法解三元一次方程组. 考点一 方程（组）的有关概念 例1 如果 x = 2 是方程2x-a=6的解，那么 a 的值是 ( ) A. 6 B. 2 C. －2 D. －10 针对训练 1. 若 (m－2) x|m|－1＋3＝-1 是关于 x 的一元一次方程，则 m 的值为_____． 例2 若(a + 5)x + y| a | - 4＝2 是关于 x，y 的二元一次方程，则 a 的值为______． 针对训练 2. 若 xm+3 - yn - 2 = 5 是二元一次方程，则 mn 的值为________． 考点二 等式的基本性质 例3 根据等式的性质，下列各式变形正确的是 ( ) A.若 3x = 5，则 B.若 x = y，则 x - 2 = 2 - y C.如果 x = y，那么 -6x = -6y D. 如果x = 4，那么 x =2 针对训练 3.下列等式变形中不正确的是 ( ) A. 若 x = y，则 x + 2 = y + 2 B. 若，则 x = y C. 若 -5x = -5y，则 x = y D. 若 mx = my，则 x = y 考点三 一元一次方程的解法 例4 解下列方程：(1) 5x+3=-x-3 （2） 针对训练 4.解方程： 考点四 二（三）元一次方程组的解法 例5 解下列方程组： 针对训练 5. 解方程组： 第2课时 一次方程（组）的应用 七、用一次方程与方程组解决实际问题 1. 列方程 (组) 的应用题的一般步骤： 审：审清题意，分清题中的已知量、未知量． 设：设未知数. 列：根据题意寻找等量关系列方程． 解：解方程（组）． 验：检验方程的解是否符合题意． 答：写出答案(包括单位)． [注意] 审题是基础，找等量关系是关键. 2. 常见的几种方程类型及等量关系： (1) 行程问题中基本量之间的关系： ① 路程＝速度×时间； ②相遇问题：全路程＝甲走的路程＋乙走的路程； ③追及问题：甲为快者，被追路程＝甲走路程－乙走路程； ④流水问题：v顺＝v静＋v水，v逆＝v静－v水． （2）等积变形问题中基本量之间的关系： ① 原料面积 = 成品面积； ② 原料体积 = 成品体积. （3）储蓄问题中基本量之间的关系： ① 本金×利率×年数 = 利息； ② 本金 + 利息 = 本息和. （4）销售问题中基本量之间的关系： ① 实际售价 - 进价(成本) = 利润；② 利润÷进价×100% = 利润率； ③ 进价×(1 + 利润率) = 售价； 标价×折扣数÷10 = 进价. （5）和、差、倍、分问题中基本量之间的关系： ① 现有量 = 原有量 ×（1+增长率）. ② 现有量 = 原有量 ×（1- 降低率）. 考点五 一元一次方程的应用 例6 小丽每天要在7:50之前赶到距家1000m的学校上学. 一天，小丽以0.8m/s的速度出发，5 min后，小丽的爸爸发现她忘了带数学书. 于是，爸爸立即以1.2m/s的速度去追小丽，并且在途中追上了她. 爸爸追上小丽用了多长时间? 追上小丽时，距离学校还有多远? 例7 如图，足球的表面由白块和黑块组成. 已知黑块是五边形，白块是六边形，且每一白块的6条边中，有3边与黑块相接，另3边与白块相接，每一黑块的5边全与白块的边相接. 已知黑块总数是12，求白块数. 针对训练 针对训练 6.一百馒头一百僧，大和三个更无争，小和三人分一个，大小和尚得几丁. ——《算法统宗》 意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完.试问大、小和尚各有多少人？ 7.建一个长方形花圃，为了节约材料，以建好的墙或局部为长方形的长，其他三边用总长为70m的栅栏围成. 现在甲、乙两人各设计了一个方案：甲的方案是长比宽多10m，乙的方案是长比宽多4m. 已知墙长28m，问谁的方案比较符合实际？为什么？ 考点六 二元一次方程组的应用 例8 为建设宜居宜业和美乡村，满足人民日益增长的精神文化需求，某村委会决定扩建“村民活动中心”，分两次采购了同一型号的电脑和乐器(两次采购的单价不变)，具体如下表： 求该型号电脑和该种乐器的单价. 针对训练 8.为在全社会弘扬劳动精神、奉献精神，小亮所在年级到某地参加志愿者活动. 车上准备了5箱矿泉水，每箱的瓶数相同.到达目的地后，先从车上搬下2箱，分发给每位志愿者1瓶矿泉水，有8位未领到；接着又从车上搬下3箱，继续分发，最后每位志愿者都有2瓶矿泉水，还剩下8瓶. 问：有多少人参加志愿者活动？每箱有多少瓶矿泉水？ 先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充. 【板书设计】 这节复习课分为两个课时，采用先复习知识点再针对考点进行讲练的模式，学生的学习兴趣较浓厚，参与度高.每个考点例题与练习结合，并且做完题目再进行方法归纳总结，进一步加深对知识的理解，体会本章知识所涉及的数学思想和数学规律.同时，学会归纳概括和总结，积累学习经验，为今后的学习奠定基础.通过本章的学习，学生应掌握一次方程（组）的相关概念及解法，掌握用一次方程（组）解决实际问题的方法，体会数学来源于生活并服务于生活，形成应用意识.