重庆市2026届高三上学期第一次适应性考试数学试卷

这是一份重庆市2026届高三上学期第一次适应性考试数学试卷，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
x3
函数 y  ln 2  x 的定义域为()
A． 0, 2
B． 0, 2
C． , 2
D． , 2
已知集合 A  x  Z x 1  1 ， B  {1, 2, 3, 4}，则 A ∪ B  ()
A．1, 2
B．0,1, 2, 3, 4
C．1, 0,1, 2, 3, 4
D．1, 2, 3, 4
3 b
“ 3 a ”是“ a  b ”的()
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
已知csα π  3 ， 0 α π，则sin  5πα  ()
6 3 6

A． 6B． 6C． 3
333
D． 3
3
设α、β为两个平面， l 、 n 为两条直线，则下列结论中正确的是()
A．若l∥n ， n α，则l∥αB．若l∥α， l∥β，则α∥β
C．若l∥α， l  β，则α βD．若α∩ β n ， n  l ，则l α 或l  β
下列函数在其定义域内既是奇函数，又是增函数的是()
31
f  x   B． f  x  ex  ex
x
f  x  tan 2x
f  x  2x5
y
2
x
O ππ
12 3
–2
已知函数 f  x  Asin ωx φ A  0,ω 0, φ  π 的部分图象如图所示，
2 

 7π 
若方程 f  x  2m 在  12 , 0 上有两个不相等的实数根，则实数 m 的取值范
围是()
A． 2, 1
 1,  1 

3
1,
 1
3
,
2 
2 
 22 

已知双曲线C :
a2b2
 1b  a  0 ，右焦点 F c, 0 ，过点 D 2c, 0 且斜率为1的直线l 交C 于 A 、 B
两点，且 DADB  16b2 ，则C 的离心率为()
A． 2B． 15
2
51
3
C．D．
6
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
已知1 2x2 1 xn  a
 a x  a x2  a x3  a x4  a x5  a x6  a x7 ，则()
A． n  5
C． a4  25
01234567
B． a0  1
D． a0  a1  a2  a3  a4  a5  a6  a7  32
设函数 f  x 的定义域为 R，且满足 f  x 1  f 1 x ， f 2x 1 为奇函数，则下列说法正确的是()
A． y 
f  x 1 为偶函数B． f  x 关于1, 0 对称
C． f 2023  0D． f  x 的导函数 f  x 的周期为8
已知正实数 x 、 y 满足 xy  x  2 y  6 ，则下列说法正确的有()
A． xy 的最大值为18B． x  2 y 的最小值为12
C． 2x  y 的最小值为13D．
1
x  2
4
 y 12
1
的最小值为
2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
已知lg4 5  a ， lg25 2  b ，则 ab  ．
已知sin α π 6 ，则 1
 tanα．
4 6
tanα

已知函数 f  x  ex  aln x  b x  a ， a, b  R ，若 f  x  0 恒成立，则 a  2b 的最小值为．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13 分)
已知函数 f  x  csωx sin ωx ω 0 ，且 y 
22
f  x 的最小正周期是4π．
求ω的值，并求此时 y  f  x 的对称轴；
g  x  f 2  x 3 f x f π x ，求函数 g  x 的单调递减区间．
16．(15 分)
性别
愿意参与
不愿意参与
合计
男生
30
20
50
女生
25
25
50
合计
55
45
100
某中学为了解高二年级学生对“数学建模竞赛”的参与意愿与性别是否有关，现从学校中随机抽取了 100 名学生进行调查，得到如下列联表：
根据小概率值α 0.05 的独立性检验，能否认为“愿意参与数学建模竞赛与性别有关联”？
从样本中“愿意参与”的学生中按性别采用比例分别的分层抽样的方法抽取 11 人，再从这 11 人中随机抽取 3 人作为竞赛种子选手，记 3 人中女生的人数为 X ，求 X 的分布列和数学期望．
n ad  bc2
附： χ2  a  bc  d a  cb  d  ，
17．(15 分)
x2y23
P χ2  k 
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
已知椭圆C :
a2b2
 1a  b  0 过点 A4, 0 ，离心率为
，过点T 2, 0 的直线 l 与椭圆C 交于
2
不同的两点 M , N ．
求椭圆C 的方程；
若AMN 的面积为 48 ，且TM  λTN ，求实数λ的值．
5
18．(17 分)
已知函数 f  x  axe2x  2 ln x  4x ， a  R ．
当 a  0 时，求 f  x 图象在 x  1 处的切线方程；
若不等式 f  x  x3  1 x2  17 x  2 ln x 对x 0,  恒成立，求实数 a 的取值范围；
24
若函数 f  x 有两个不同的零点，求实数 a 的取值范围．
19．(17 分)
在蜜蜂群体中，侦察蜂发现食物源后，通过“蜜蜂舞”向同伴(观察蜂)指示食物源的距离 d (单位：百
米)．设食物源距离 d 为随机变量，其概率分布为： P d  k   1 ， k  1 ， 2 ， 3 ．在每次“蜜蜂舞”
3
中，侦察蜂选择摇摆的概率为 pd ，选择直线奔跑的概率为1 pd ，通过 3 次“蜜蜂舞”叠加传递距离信
息，且每次“蜜蜂舞”中侦察蜂选择直线奔跑或摇摆相互独立，即摇摆次数 X 服从二项分布 B 3, pd  ，
211
其中 p1  3 、 p2  2 、 p3  3 ．
求食物源距离 d 的方差 D d  ；
求随机变量 X 的概率分布列及数学期望 E  X  ；
观察蜂需要根据观察到的摆动次数 X 来判断食物源的距离 d ，设判断函数为 dˆ  bX  a ， a, b  R ，其中 a  E d   bE  X  ，若损失函数为 L  d  dˆ2 ，求b 的值使得 E  L 最小．
参考数据： E dX   8 ，参考公式：对任意两个随机变量 X 、Y 有 E  X  Y   E  X   E Y  ．
3
高 2026 届高三第一次适应性考试数学参考答案及评分标准
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
A
B
C
A
C
D
B
B
AB
BCD
BCD
1
4
3
1
【答案】A
x  0

【详解】由2  x  0
得，函数的定义域为0, 2
【答案】B
【改编来源】2024 全国甲卷理科数学
【详解】 A  0,1, 2 ， A ∪ B  0,1, 2, 3, 4
【答案】C
【改编来源】2025 年高考天津卷数学第 2 题
1
【详解】由 y  x3 ，是单调递增函数，故为充要条件
【答案】A
【详解】由csα π  3 ， 0 α π，得sin α π  6 ，
6 36 3

sin  5π α  π π6
 6
sin π   6 α  sin  6 α  3

【答案】C
【改编来源】2025 天津卷第 4 题，2024 全国甲卷(理)11 题
【详解】对于 A：若l //n, n α，则l //α或l α，错误；
对于 B：若l / /α, l / /β，则 n ∥α或α与β相交，错误；
对于 C：两条平行线有一条垂直于一个平面，则另一个必定垂直这个平面，若l //a, l  β，故 a  β，故 C 正确；
对于 D：若α∩ β n, n  l ，则 n 与α,β不一定垂直，错误．
【答案】D
【详解】对于 A， f  x   3 是奇函数，但 f 1  1, f 1  1，
x
故 f  x  3 1
x
在其定义域上不单调递增，故 A 错误；
对于 B， f  x  ex  ex 是偶函数，故 B 错误；
对于 C， f  x  tan 2x 在其定义域上不单调，故 C 错误；
1
对于 D， f  x  2x5 是奇函数，在其定义域上单调递增，故 D 正确．
【答案】B
【详解】根据函数 f  x  Asin ωx φ A  0,ω 0, φ  π 的部分图象，
2 

可得 A  2 ， 1  2π π π ，∴ω 2 ．再根据五点法作图，可得2 π，
 
4 ω312
 φ π
3
∴φ π， f  x  2 sin  2x  π ．在 7π
 上， 2xπ
 5π π


，


33 
, 0

 12
  
3
,
63 
方程 f  x  2m 在 7π  上有两个不相等的实数根，则实数 m  1,  1 



, 0
 12
2 
【答案】B
x  y  2c
2222
222

【详解】 b2 x2  a2 y2  a2b2  b
 a  y  4cb
y  b
4c  a   0
∴ y1 y2
b2 4c2  a2 
b2  a2
，故 DA
DB  2 y1 y2
2b2 4c2  a2
15

 16b2 ，解得e 
b2  a22
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
【答案】AB
【详解】选项 A：右边最高次为 7，故 n  2  7  n  5 ，A 正确．选项 B：令 x  0 ，则 a0  1，B 正确．
选项 C： x4 的系数为C 4  2  C 2  15 ，C 错误．选项 D：令 x  1, 则32  a  a  a L a ，D 错误
550127
【答案】BCD
【详解】∵ f  x 1  f (1 x) ，函数 y  f (x 1) 为奇函数，
∵ f 2x 1 为奇函数， f 2x 1   f 2x 1 对x  R 恒成立，
∴ f x 1   f  x 1 ，∴ f x 1   f  x 1 对x  R 恒成立，∴ f  x 关于(1, 0) 对称，B 正
∵ f  x  f 2  x ， f  x  8  f 2   x  8  f x  6  f   x  5 1   f  x  5 1
  f  x  4   f 2   x  4   f x  2   f   x 1 1  f  x 1 1  f  x
函数 f  x 是周期为 8 的周期函数，
∴ f (2023)  f (1)  0 ．对于 D， f  x  8  f (x) ，∴ f ' x  8  f '(x) ，∴ f  x 的周期为 8
【答案】BCD
xy
xy
【改编来源】人教 A 版必修一 P.58 复习参考题 2 第 5 题
2xy
【详解】对于 A ： xy  x  2 y  6  2
 6 ，∴ 
 3 2 
2   0 ，
则 xy  18 ，当且仅当 x  6 、 y  3 时取等，故 xy 的最小值为18 ，则 A 错误对于 B ： x  2 y  xy  6  12 ，故 x  2 y 的最小值为12 ，则 B 正确

对于C ：  x  2 y 1  8 ，显然x  2 不成立，故x  2 ，令a  x  2  0 ，故x  a  2 ，即 ab  8 ，



 y  1
 y  1
b  y 1  0
 y  b 1
2ab
则2x  y  2a  b  5  2 5  13 ，当且仅当 a  2 、b  4 ，即 x  4 、 y  5 时取等，则C 正确
1414
b  241
b  2
b  241111
对于 D ：
x  2
  y 1
2  a 
b  2
2 8
b  2
2  4  16  16 
b  2
  33   ，
24
6442
当且仅当 a  4 、b  2 ，即 x  6 、 y  3 时取等，则 D 正确
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
【答案】 1
4
111
【详解】∵ a  2 lg2 5 ， b  2 lg5 2 ， ab  4
【答案】3

π263
【详解】sin α sinα csα ， sinα csα，
4 263

21111
sinα csα  1 2 sinαcsα ， sinαcsα  ， tanα 3
【答案】1
33tanα
sinαcsα
【详解】①当 a  0 时，则ln x  b  0 不能恒成立
3
②当 a  0 时， x1  ln a ， x2  eb ， x  a ，故 f  x  ex  aln x  b x  a  0 要恒成立
a  eb

需满足ln a  0
，即 a 0,1 ，故 a  2b  a  2 ln a  1
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
【答案】(1)ω 1 ， x  2k 1π， k  Z ；(2) 2kπ 2π π 2kπ ， k  Z ．
23 , 3
【改编来源】【2020·上海·高考真题】【2025·全国二卷·高考真题】
12π111
【详解】(1) f  x  sinωx ， T  4π ，解得ω ，则 f  x  sin x2 分
2ω222
令 x  π kπ 解得 x  2k 1π， k  Z ，即 f  x 的对称轴为 x  2k 1π， k  Z5 分
22
(2) g  x  1 sin2 x 3 sin   x sin π x   1  1 cs x 3 sin x cs x
424
2  22 

88422
11

3
3
11  111π
  cs x sin x    cs x sin x    sin  x  10 分
88884  22846 
ππ π2ππ
令2kπ  x    2kπ, k  Z ，得2kπ x   2kπ, k  Z
26233
所以 g  x 的单调递减区间为2kπ 2π π 2kπ ， k  Z13 分


,
33
【答案】(1)愿意参与数学建模竞赛与性别无关联；(2)答案见解析
【解析】(1)零假设 H0 ：愿意参与数学建模竞赛与性别有关联与性别无关1 分

100  30  25  20  25 2
χ2  1.01  3.8414 分
50  50  55 45
根据小概率值α 0.05 的独立性检验，我们没有充分的证据推断 H0 不成立，
即认为愿意参与数学建模竞赛的意愿与性别有关联与性别无关5 分
(2)根据分层抽样的性质可知：愿意参与的学生中男生与女生的比例为 6：5
65
因此选出 11 人中，男生人数为11 6 人，女生人数为11 5 人6 分
1111
由题意可知： X  0,1, 2, 37 分
C3204
C2C1
755
11
P  X  0  6 ， P  X  1  6 5 10 分
C
C
3
11
C1 C2
16533
604
316511
C3102
P  X  2  6 5 ， P  X  3  5 13 分
C
C
11
11
316511316533
所以这 3 人中满意人数 X 的概率分布列为：
X
0
1
2
3
E  X   4  0  5 1 4  2  2  3  1515 分
3311113311
【答案】(1) x2  y2  1；(2)λ  3 或λ  5
P
4
33
5
11
4
11
2
33
164
 a  4
53
3
 a  4
 c
x2  y2 
【详解】(1)由题意得 e 
a2
，解得c  2 3 ，椭圆 C： 164
15 分

222
b  2
a  b  c
(2)由题知直线 MN 的斜率不为 0，故设直线l : x  ty  2 ， M  x1, y1 , N  x2 , y2 6 分
x  ty  2


由 x2
16
2
y  1 4
可得t
2  4 y2
 4ty 12  0 ，故Δ  64 t 2
 3  07 分
4t12
24 t 2  3
且 y1  y2   t 2  4 ， y1 y2  t 2  49 分
故 S 1  6  y  y
 3
 48
，解得t 2  112 分
VOAB2
12
t 2  45

y  y 4 y y
12

2
1 2
TM  λTN ， y  λy ， y  y  λ1 y   4
121225
y y  λy 2   12 ，15λ2  34λ15  0 ，λ  3 或λ  515 分
1 22553
【答案】(1) y  6x  2 ；(2) a  5 ；(3)  0, 2 
4e2
e 

【详解】(1) a  0 时， f  x  2 ln x  4x ，故 f  x   2  4 ，则 f 1  6 ，即 k  62 分
x
则 f 1  43 分
则切线方程为 y  6x  24 分
x2  1 x  1
f  x  x3  1 x2  17 x  2 ln x ， x  0 ，即 ae2x  x2  1 x  1 ，∴ a 245 分
24
x2  1 x  1
24
 2x  1  e2x  2e2x  x2  1 x  1 
e2 x
2 
24 2x 1 x 1
令 g  x 24 ， x  0 ，故 g x   7 分
e2 x
当 x 0,1 时， g x  0 ，即 g  x 在0,1 递增
e4 x
e2 x
当 x 1,  时， g x  0 ，即 g  x 在1,  递减9 分
55
则 g  xmax  g 1  4e2 ，故 a  4e2
.10 分
方法 1 ：
t  R
f  x  aeln x2x  2 ln x  2x ， 令 t  ln x  2x 在 x 0,  上递增， 故 t 与 x 一一对应， 且
令 g t   aet  2t ， t  R ，故 f  x 有两个零点，等价于 g t  在 R 上有两个零点11 分
处理方式 1： gt   aet  2
①当 a  0 时， gt   0 ，则 g t  在 R 上递减， g t  最多有一个零点，故不满足12 分
②当 a  0 时，令 gt   0 可得t  ln 2 ，即 g t  在ln 2 ,  递增
aa

令 gt   0 可得t  ln 2 ，即 g t  在 , ln 2  递减14 分
aa 

且当t   时， et  0 ，则 g t   
当t   时，与一次函数相比，指数函数 y  et 呈爆炸性增长，故 g t   15 分
要使 g t  在 R 上有两个零点，则 g  ln 2   2  2 ln 2  0 ，解得 a  0, 2 17 分
a ae 

处理方式 2： g t  在 R 上有两个零点，等价于方程 g t   0 有两个实根，即 a  2t 有两个根13 分
et
也等价于 y  a 与 h t   2t 图象有两个公共点
et
ht   2 1 t  ，则可得 h t  在,1 递增， 1,  递减14 分
et
且 h 1  2 ，当t   时， et  0 ，则 h t   15 分
e
当t   时，与一次函数相比，指数函数 y  et 呈爆炸性增长，故 h t   2t  016 分
et
则 h t  的大致图象为
2
e
y
x
O1
故当 a  0, 2  时， y  a 与 h t   2t 图象有两个公共点，即 f  x 有两个零点17 分
e et

方法 2： f  x  1 2x ae2x  2  ， x  011 分
x 

①当 a  0 时， f  x  0 ，即 f  x 在0,  单调递增，最多 1 个零点，故不成立12 分
②当 a  0 时，令 g  x  ae2x  2 ，显然 g  x 在0,  递增，
x
且 x  0 时， g  x   ， x   时， g  x   ，
故x  0 使得 g  x   0 ，即 x e2x0  214 分
000a
∴ f  x 在0, x0  递减，  x0 ,  递增，且 x  0 时， f  x   ， x   时， f  x  
处理方式 1：要使 f  x 在0,  上有两个零点，则 f  x   ax e2x0  2 ln x  4x  2  2 ln 2  0
0000a
解得 a  0, 2 17 分
e 

处理方式 2：要使 f  x 在0,  上有两个零点，则 f  x   ax e2x0  2 ln x  4x  2  2 ln x  4x  0 ，
000000
即ln x0  2x0 1  0 ，显然函数 h  x  ln x  2x 1在0,  递增，
且 h  1   ln 2  0 ， h 1  1  0 ，故x  1 ,1 使得， h  x   0 ，即ln x  2x  1，即 x e2x  e
 1 1
1
111
 2  2
则不等式ln x0  2x0 1  0 的解为 x0  x1
令φ x 
2 ，则φ x 
xe2 x
2 1 2x e2x
xe2 x 2
 0 ，故φ x 在 x1,  递减
且φ x  2 2 ，且 x   时，φ x  0 ，故 a φ x  0, 2 17 分
1x e2xe
0e 
11
【答案】(1) D d   2 ；(2)分布列见详解， E  X   3 ；(3) b   12
3231
【改编来源】人教 A 版选择性必修三 P.109 最小二乘法；背景：贝叶斯决策原理，最小化后验期望损失
【详解】
1 2  3
1 22  2  22  3  222
期望 E d   2 ，方差 D d   分
3
2 
33
 2 k  1 3k
Ck 2k
由题知， d  1 时， X ~ B  3,  ，则 P  X  k d  1  Ck     3
3 
3  3   3 27
1 
 1 k  1 3kCk
d  2 时， X ~ B  3,  ，则 P  X  k d  2  Ck     3
2 
1 
3  2   2 
 1 k  2 3k
8
Ck 23k
d  3 时， X ~ B  3,  ，则 P  X  k d  3  Ck     3
3 
3  3   3 27
X 的取值为0 ，1， 2 ， 3
3
P  X  k   
i1
P d  i  P  X  k d  i   1 3

3 i1
P  X  k d  i 
即 P  X  0  1 P  X  0 d  1  P  X  0 d  2  P  X  0 d  3  1  1  1  8   115 分

3 3  27827 72
P  X  1  1 P  X  1 d  1  P  X  1 d  2  P  X  1 d  3  1  6  3  12   257 分

3 3  27827 72
P  X  2  1 P  X  2 d  1  P  X  2 d  2  P  X  2 d  3  1  12  3  6   259 分

3 3  27827 72
P  X  3  1 P  X  3 d  1  P  X  3 d  2  P  X  3 d  3  1  8  1  1   1111 分

3 3  27827 72
故 X 的分布列为

0  25  50  333
故 E X  分
722
方法 2： E  X   E E  X d   1  3 2  3 1  3 1   3
3 323 2

由(1)(2)知， E d   2 ， E  X   3 ， D d   2 ，
23
119251251119313
X
0
1
2
3
P
11
72
25
72
25
72
11
72
D  X      ，故 a  2 
72472472472436
b13 分
2
3
2 
3 2 
则 E  L  E  d  bX  2  2 b    E d  2  b  X  2  
 

 
2 
2
3 2 
3 
 E d  2   b E  X  2    2bE d  2 X  2 
 

 D d   b2D  X   2bE  dX  2 X  3 d  3
2

 2  31 b2  2b  8  3  3  3  31 b2  2 b  216 分
336 33633

由二次函数的性质可知，当b   12 时， E  L 最小17 分
31