【数学】辽宁省点石联考2024-2025学年高二上学期期末考试试卷（解析版）

这是一份【数学】辽宁省点石联考2024-2025学年高二上学期期末考试试卷（解析版），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）
1. 已知空间向量，（其中，），若，则最小值是（ ）
A.B. C. 2D.
【答案】D
【解析】因为，且，则，
所以，即，
所以，
当且仅当时等号成立.
故选：D.
2. 国庆期间，中华世纪坛举办“传奇之旅：马可•波罗与丝绸之路上的世界”展览，现有8个同学站成一排进行游览参观，若将甲、乙、丙3个同学新加入排列，且甲、乙、丙互不相邻，保持原来8个同学顺序不变，则不同的方法种数为（ ）
A. 84B. 120C. 504D. 720
【答案】C
【解析】8个同学站成一排有9个空，甲、乙、丙在9个空中任意排列，则不同的方法种数为.
故选：C.
3. 已知两条直线：和：，若，则与之间的距离为（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】A
【解析】：和：，
由可得，解得，
此时：，：即，
所以与之间的距离为.
故选：A.
4. 在棱长为2的正方体中，M，N分别是棱CD，AD的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根据题意，建立如图所示的空间直角坐标系，

因为在棱长为2的正方体中，M，N分别是棱CD，AD的中点，
可知，，，，，，，，所以，，
所以，
所以异面直线与所成角的余弦值为.
故选：D.
5. 已知抛物线的焦点为，P为抛物线上一点，若，则的最小值为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】因为抛物线的焦点为F1,0，则，得，
所以抛物线的方程为，令，则，
设过P作抛物线准线的垂线于点B，可得，则.
故点在抛物线内部，过点A作抛物线准线的垂线交抛物线于点P，此时取得最小值，最小值为.
故选：C.
6. 已知离散型随机变量X的分布列如下，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意知，解得，
因为，则，
则，
解得，
则
.
故选：C.
7. 某高中为了解学生的肥胖是否与经常饮用碳酸饮料有关，现对400名高二学生进行了问卷调查，学生饮用碳酸饮料的统计结果如下：学校有的学生每天饮用碳酸饮料不低于500毫升，这些学生的肥胖率为，每天饮用碳酸饮料低于500毫升的学生的肥胖率为.若从该中学高二的学生中任意抽取一名学生，则该学生肥胖的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设“学生每天饮用碳酸饮料不低于500毫升”为事件A，则，，
设“学生肥胖”为事件B，则，，
由全概率公式可得，
所以若从该中学高二的学生中任意抽取一名学生，则该学生肥胖的概率为.
故选：A.
8. 如图，平面ABCD，，，，，点M为BQ的中点，若，则N到平面CPM的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为平面，，易知AD，CD，PD两两垂直，
以D为原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系.
依题意得，，，.
所以，，，
设为平面CPM的法向量，则，即，
不妨设，可得，
由，得，
则N到平面CPM的距离为.
故选：B.
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 假设A，B是两个事件，且，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】因为，，所以，，
对于选项A，因为，，
所以，错误；
对于选项B，因为，所以事件A与B相互独立，
所以A与相互独立，所以，正确；
对于选项C，因为，所以，正确；
对于选项D，，D正确.
故选：BCD.
10. 现有8名师生站成一排照相，其中老师2人，男学生4人，女学生2人，则下列说法正确的是（ ）
A. 4个男学生排在一起，有1440种不同的排法
B. 老师站在最中间，有1440种不同的排法
C. 4名男学生互不相邻，男学生甲不能在两端，有1728种不同的排法
D. 2名老师之间要有男女学生各1人，有3840种不同的排法
【答案】BCD
【解析】选项A：4个男学生排在一起共有种站法，则有2880种不同排法，故A错误；
选项B：老师站在最中间共有种站法，则有1440种不同的排法，故B正确；
选项C：先排老师和女学生，共有种站法，再排男学生甲，有种站法，最后排剩余的3名男学生有种站法，
所以共有种不同的站法，故C正确；
选项D：先任选一名男学生和一名女学生站两位老师中间，有种站法，两名老师的站法有种，
再将这一男学生一女学生两位老师进行捆绑，与剩余的4个人进行全排列有种站法，
所以共有种不同的站法.故D正确.
故选：BCD．
11. 已知圆：与直线交于两点，点为线段的中点，为坐标原点，直线的斜率为，圆与轴交于两点，点是圆上异于的任意一点，直线分别交于两点，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 线段的长度为
C. 的面积为
D. 当点变化时，以为直径的圆过圆内的一定点
【答案】BD
【解析】如图，
选项A：由题知直线的方程为，则由，得，即，
因为点为线段的中点，所以，即，所以，故A错误；
选项B：由，得圆心C-2,0，所以到直线距离为，所以，故B正确；
选项C：因为到直线的距离为，的长度为，所以，故C错误；
选项D：由圆与轴交于两点，得，，
不妨设直线的方程为，其中，在直线的方程中，令，可得，
因为，则直线的方程为，直线的方程中，令，可得，即点，
设线段的中点为，则，圆的半径的平方为，
所以以线段为直径的圆的方程为，
即，
由，解得，因此，当点变化时，以为直径的圆恒过圆C内的定点，故D正确；
故选：BD.
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 的展开式中，的系数是__________.（用数字作答）
【答案】
【解析】由，
而的展开式的通项为，
则在的展开式中，含的项为，
故的系数是.
13. 已知抛物线C：的焦点为F，过直线l：上的点P作抛物线C的两条切线PM，PN，切点分别为M，N，则的最小值为__________.
【答案】5
【解析】由条件可知F1,0，设Px0,y0，Mx1,y1，Nx2,y2，则，，
再设切线PM的方程为，联立方程组，
整理得，由，且，可得，
则切线PM的方程为，即.
由切线PM过点Px0,y0，可得.
同理，切线PN的方程为，由切线PN过点Px0,y0，
可得，
则直线MN的方程为，
联立方程组，
整理得，
可得，，
则
，
当且仅当时，等号成立，故的最小值为5.
14. 已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，直线l：与C相交于点M，若，则离心率e的取值范围为__________.
【答案】
【解析】如图，双曲线C的焦点为F1-c,0，，渐近线方程为，
因为直线l的斜率，则直线l与双曲线C的一条渐近线平行，且过点，
设直线l与双曲线C的另一条渐近线相交于点N，
可知，，，，
因为，即，
且，即，
解得，，若，
即，解得，所以，又，所以.
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 现有一堆颜色不同，形状相同的小球在甲、乙两个完全相同的袋中，其中甲袋中有4个红色小球，2个白色小球，乙袋中有3个红色小球，1个白色小球.
（1）先从甲、乙两袋中任取一袋，然后在所取袋中任取一球，求取出的是红球的概率；
（2）将甲、乙两袋合为一袋，然后在袋中任取3球，设所取3个球中红球的个数为X，求X的分布列及期望值.
解：（1）设事件A为“取出的是红球”，事件为“取到甲袋”，事件为“取到乙袋”，
则，，，
则..
（2）合为一袋后，有7个红球和3个白球，则X的取值范围为，
；
；
；
.
则分布列为
所以.
16. 已知抛物线C：（）经过点（），F为焦点，且.
（1）求C的方程及；
（2）设O为原点，过F作斜率不为0的直线l交C于M，N两点，直线分别交直线OM，ON于A，B.证明：以AB为直径的圆经过x轴上的两个定点.
解：（1）因为抛物线C：（）经过点，F为抛物线的焦点，且，
所以由抛物线的定义，可得，解得，所以，
又因为P的横坐标为1，
所以，解得，
又，所以.
（2）因为直线l的斜率不为0，焦点坐标为1,0，
设直线l的方程为.
与抛物线方程联立可得.故，.
可得，，
设，，则，，
可得直线OM的方程为，
与联立，可得，同理可得.
易知以AB为直径的圆的圆心坐标为，
圆的半径为，
则圆的方程为.
令，整理可得，解得，
即以AB为直径的圆经过x轴上的两个定点，1,0.
17. 如图甲，已知正方形ABCD的边长为4，E，F分别为AD，BC的中点，沿EF将长方形EFCD折起，与平面ABFE形成的二面角，如图乙所示，点M在线段AB上且不与点A，B重合.
（1）若直线MF与由A，D，E三点所确定的平面相交，交点为N，，求AM的长度及此时点N到平面CDEF的距离；
（2）若，求平面MEC与平面CEF所成角的正弦值.
解：（1）由题意可知，，，，CF，平面CFB，
所以平面CFB，同理可得平面DEA，
因为二面角为60°，所以，
所以由题意得DEA与CFB是全等的等边三角形，
如图，取BF中点H，连接CH，则，由平面CFB，又平面CFB，所以，
又，所以平面ABFE，所以，
因为平面，
所以平面CEH，所以，
所以，，
设，则，，所以AM的长度为.
过N作于T，则由平面DEA，得，所以平面CDEF，即NT的长度为点N到平面CDEF的距离，
因为，所以，所以，，，
所以点N到平面CDEF的距离为.
（2）如图，取AE的中点为O，连接OD，OH，
由（1）得，，，，
因为，，所以，又，AE，平面AED，
，
所以平面AED，因为平面AED，所以，所以直线OH，OD，OE两两垂直，则以O为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，，，，
则，，，，
设平面MEC的法向量n1=x1,y1,z1，则，
令，则，，所以，
设平面CEF的法向量，
则，
令，则，，所以，
所以，
设平面MEC与平面CEF所成的角为，
所以，
综上所述，平面MEC与平面CEF所成角的正弦值为.
18. 某工厂为了提高精度，采购了一批新型机器，现对这批机器的生产效能进行测试，对其生产的第一批零件的直径进行测量，质检部门随机抽查了100个零件的进行统计整理，得到数据如下表：
已知零件的直径可视为服从正态分布，，分别为这100个零件的直径的平均数及方差（同一组区间的直径尺寸用该组区间的中点值代表）.
参考数据：；若随机变量，则，
，.
（1）试估计这批零件直径在的概率；
（2）以频率估计概率，若在这批零件中随机抽取4个，记直径在区间内的零件个数为Z，求Z的分布列及数学期望；
（3）若此工厂有甲、乙两台机器生产这种零件，且甲机器的生产效率是乙机器的生产效率的3倍，甲机器生产的零件的次品率为0.3，乙机器生产的零件的次品率为0.2，现从这批零件中随机抽取一件.若检测出这个零件是次品，求这个零件是甲机器生产的概率.
解：（1）由平均数与方差的计算公式分别得
.
.
故，.
设表示零件直径，则，即.
则，
，即.
（2）由题意知，这批零件直径在的概率为.
Z的取值范围为，
则，
，
，
，
，
因此可得Z的分布列为
因为Z服从二项分布，则Z数学期望.
（3）设“抽取的零件为甲机器生产”记为事件，“抽取的零件为乙机器生产”记为事件，
“抽取的零件为次品”记为事件B，
则，，，，
则，
，
所以这个零件是甲机器生产的概率为.
19. 已知椭圆：（）的右焦点为，且点在上.
（1）求的方程；
（2）若，，点为上一点.设直线PM与的另一个交点为点B，直线PN与C的另一个交点为点D.设，，证明：当点P在上运动时，为定值.
（3）若经过圆O：上一动点G作的两条切线，切点分别记为R，S，直线GR，GS分别与圆O相交于异于点G的两点.求的面积的取值范围.
（1）解：由题意知，，则①，
又因为点在上，
所以②，联立①②式可得，
解得，，所以的方程为.
（2）证明：设，，，直线PM的方程为，
其中，且，
联立，可得，
则，因为，
所以，所以，
，
设直线的方程为，其中，
同理可得，
所以
，
所以为定值.

（3）解：设点，，
当直线的斜率存在时，
设直线的方程为，
由，
消去y可得，
，
由题意得，整理可得，
则
，
所以直线的方程为，
化简可得，即，
经验证，当直线的斜率不存在时，
直线的方程为或也满足，
同理可得直线的方程，
因为在直线上，所以，
所以可得直线的方程为，
而在圆上，所以，
联立直线与椭圆的方程，整理可得，
则，，
到直线的距离，
.
令，，则，而，
所以的面积的取值范围是.
X
0
a
2
P
b
X
0
1
2
3
P
零件直径（单位：厘米）
零件个数
10
25
30
25
10
Z
0
1
2
3
4
P