辽宁省点石联考2024-2025学年高三上学期期末考试数学试题（含答案解析）

这是一份辽宁省点石联考2024-2025学年高三上学期期末考试数学试题（含答案解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题(本大题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分)
1. 若复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ）
2. 已知命题，，命题，，则（ ）
3. 已知平面向量，满足，，且在上的投影向量为，则与的夹角为（ ）
4. （ ）
5. 在高三一次调研考试时，某学习小组对本组6名同学的考试成绩进行统计，其中数学试卷上有一道满分为15分的解答题，6名同学的得分为，统计结果为：，已知这6名同学该解答题得分的第80%分位数和平均得分均为12分，则该解答题得分的极差为（ ）
6. 记等差数列的前项和为，公差为，若，，则（ ）
7. 已知函数，，若过点的直线与曲线和均相切，则实数的值为（ ）
8. 已知，，为坐标原点，点是圆上任意一点，点是圆外一点，若，，则点的轨迹方程为（ ）
二、多选题(本大题共 3 小题，每小题 3 分，共 9 分)
9. 已知函数，则（ ）
10. 如图，在正三棱柱中，，点在底面内，，，，分别为棱，，，的中点，则下列结论正确的是（ ）
11. 已知函数的定义域为，的导函数为，，，当时，，则（ ）
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 3 分，共 9 分)
12. 已知集合，，若是的子集，则实数的值为______.
13. 已知四面体的四个顶点均在球的球面上，，，，若，则球体积的最小值为______.
14. 某商场举办一个促销活动，一次性消费达到一定金额可抽奖一次，抽奖规则：在一个不透明的箱子中放有7个质地、大小完全相同的小球，每个小球的表面上均标有1个数字，数字为1或2，每次抽奖从箱子中一次性随机摸取3个小球，若3个小球表面上所标数字之和为奇数，则中奖，否则不中奖.记标有数字1的小球个数为，从商场的角度考虑，若想使中奖率最低，则______.
四、解答题(本大题共 5 小题，每小题 10 分，共 50 分)
15. 已知为等差数列，其前项和为，为等比数列，，，.
(1)求和的通项公式；
(2)求数列的前项和.
16. 《推动大规模设备更新和消费品以旧换新行动方案》于2024年3月1日经国务院常务会议审议通过.家电以旧换新的具体品类包括冰箱、洗衣机、电视、空调、电脑、热水器、家用灶具、吸油烟机等，每位消费者每类产品可补贴一件，每件补贴标准不超过2000元，部分品类及补贴标准如下表.居民甲欲将家中电视机和洗衣机进行更换，其中更换电视机的概率为0.6，两种电器只更换一件的概率为0.4，两种电器都不更换的概率为0.2.
(1)求居民甲在不更换洗衣机的条件下更换电视机的概率；
(2)居民乙欲从表中5个品类中任选3个不同的品类进行以旧换新，每个品类只选一件，记居民乙获得政府补贴为，求的分布列与期望.
17. 如图1，在等腰梯形中，，，，为的中点，沿将折起，如图2.
(1)在图2中证明：；
(2)若直线与平面所成的角为，求平面与平面所成角的余弦值.
18. 已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若，求的取值范围；
(3)当时，记的导函数为，证明：对，不等式恒成立.
19. 定义：如果两个椭圆的长轴长不相等，但离心率相等，则称两椭圆相似.已知：与椭圆相似.
(1)求与的关系；
(2)若过原点的直线分别被和截得的弦长为和，证明：；
(3)若，，，两点在上，为上的一个动点，且线段，的中点都在上，判断的面积是否为定值，并说明理由.
辽宁省点石联考2024-2025学年高三上学期期末考试数学试题
整体难度：适中
考试范围：复数、集合与常用逻辑用语、平面向量、三角函数与解三角形、计数原理与概率统计、数列、函数与导数、平面解析几何、空间向量与立体几何、等式与不等式
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
A．和都是真命题
B．和都是真命题
C．和都是真命题
D．和都是真命题
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．1
D．2
A．3
B．4
C．5
D．6
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．1
D．2
A．
B．
C．
D．
A．的一个周期为
B．的图象关于直线对称
C．在区间上单调递减
D．
A．直线与所成角的余弦值为
B．若，则点的轨迹长度为
C．若，则
D．过，，三点的平面将三棱柱分成两部分的体积之比为（或）
A．为偶函数
B．的图象关于点中心对称
C．
D．
品类名称
热水器
冰箱
洗衣机
电视机
空调
补贴标准（单位：元/件）
1000
1000
1500
2000
2000
题型
数量
单选题
8
多选题
3
填空题
3
解答题
5
难度
题数
容易
1
较易
3
适中
13
困难
2
题号
难度系数
详细知识点
一、单选题
1
0.85
复数的除法运算；共轭复数的概念及计算；判断复数对应的点所在的象限
2
0.94
全称命题的否定及其真假判断；特称命题的否定及其真假判断
3
0.65
向量夹角的计算；求投影向量
4
0.65
逆用和、差角的余弦公式化简、求值；二倍角的正弦公式；三角函数的化简、求值——诱导公式
5
0.65
计算几个数的平均数；计算几个数据的极差、方差、标准差；总体百分位数的估计
6
0.65
等差中项的应用；求等差数列前n项和；等差数列通项公式的基本量计算
7
0.65
两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题；利用导数研究方程的根；求在曲线上一点处的切线方程（斜率）
8
0.65
求双曲线的轨迹方程；利用双曲线定义求方程
二、多选题
9
0.85
求余弦（型）函数的最小正周期；求csx（型）函数的对称轴及对称中心；求csx型三角函数的单调性；辅助角公式
10
0.15
锥体体积的有关计算；求异面直线所成的角；证明线面垂直；线面平行的性质
11
0.65
函数对称性的应用；由函数的周期性求函数值；函数奇偶性的应用；函数周期性的应用
三、填空题
12
0.85
根据集合的包含关系求参数；集合元素互异性的应用
13
0.65
球的体积的有关计算；基本不等式求积的最大值；多面体与球体内切外接问题
14
0.65
实际问题中的组合计数问题；计算古典概型问题的概率
四、解答题
15
0.65
错位相减法求和；等差数列通项公式的基本量计算；等差数列前n项和的基本量计算；等比数列通项公式的基本量计算
16
0.65
计算条件概率；求离散型随机变量的均值；利用全概率公式求概率
17
0.65
线面垂直证明线线垂直；面面角的向量求法；证明线面垂直
18
0.15
利用导数证明不等式；利用导数研究不等式恒成立问题；求在曲线上一点处的切线方程（斜率）；用导数判断或证明已知函数的单调性
19
0.65
求椭圆中的弦长；椭圆中三角形（四边形）的面积；求点到直线的距离；相同离心率的椭圆的方程
序号
知识点
对应题号
1
复数
1
2
集合与常用逻辑用语
2,12
3
平面向量
3
4
三角函数与解三角形
4,9
5
计数原理与概率统计
5,14,16
6
数列
6,15
7
函数与导数
7,11,18
8
平面解析几何
8,19
9
空间向量与立体几何
10,13,17
10
等式与不等式
13