2021-2022学年辽宁省葫芦岛市高二（下）期末数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年辽宁省葫芦岛市高二（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40分）

1. 已知集合，，则(    )

A.  B.  C.  D.

2. 已知，则“”是“”的(    )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

3. 记为等差数列的前项和．若，，则(    )

A.  B.  C.  D.

4. 关于的方程，有下列四个命题：
   甲：是该方程的根；
   乙：是该方程的根；
   丙：该方程两根之和为；
   丁：该方程两根异号．
   如果只有一个假命题，则该命题是(    )

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁

5. 第届冬奥会奥运村有智能餐厅、人工餐厅，运动员甲第一天随机地选择一餐厅用餐，如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为；如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为运动员甲第二天去餐厅用餐的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 已知在件产品中可能存在次品，从中抽取件检查，其次品数为，已知，且该产品的次品率不超过，则这件产品的次品率为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 在一次有关“概率”的研究性活动中，老师在每个箱子中装了个小球，其中个是白球，个是黑球，用两种方法让同学们来摸球．方法一：在箱中各任意摸出一个小球；方法二：在箱中各任意摸出两个小球．将方法一、二至少能摸出一个黑球的概率分别记为和，则(    )

A.  B.
C.  D. 以上三种情况都有可能

8. 已知，不等式对任意的实数恒成立，则实数的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20分）

9. 北京年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”一亮相，好评不断．为了研究“冰墩墩”与“雪容融”在不同性别的人群中受欢迎程度是否存在差异，某机构从关注冬奥会公众号的微信用户中随机调查了人，得到如下列联表：

参考公式：，其中．
附表

则下列说法中正确的是(    )

A. 有以上的把握认为“对两个吉祥物的喜好倾向与性别无关”
B. 有以上的把握认为“对两个吉祥物的喜好倾向与性别有关”
C. 在犯错误的概率不超过的前提下，可以认为“对两个吉祥物的喜好倾向与性别无关”
D. 在犯错误的概率不超过的前提下，可以认为“对两个吉祥物的喜好倾向与性别有关”

10. 下列说法正确的有(    )

A. 的最小值为
B. 已知，则的最小值为
C. 若正数，满足，则的最小值为
D. ，为正实数，若，则的最大值为

11. 设函数若在处取得极大值，的值可能为(    )

A.  B.  C.  D.

12. 某游戏棋盘上标有第，，，，站，棋子开始位于第站，选手抛掷均匀骰子进行游戏，若掷出骰子向上的点数不大于，棋子向前跳出一站；否则，棋子向前跳出两站，直到跳到第站或第站时，游戏结束．设游戏过程中棋子出现在第站的概率为则下列结论中正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

三、填空题（本大题共4小题，共20分）

13. 已知递增等比数列满足，则的前三项依次是______．
    填出满足条件的一组即可
14. 某生产线生产的零件尺寸单位：都服从正态分布，且，在生产线上随机取一个零件，尺寸在区间的概率为______．
15. 已知函数的导函数为，定义方程的实数根叫做函数的“新驻点”如果函数与的“新驻点”分别为，，那么和的大小关系是______．
16. 已知函数，，若存在，，使得成立，则的最大值为______．

四、解答题（本大题共6小题，共70分）

17. 已知数列的前项和为，数列的前项和为，从下面中选择两个作为条件，证明另外一个成立．
    ，，．
18. 已知函数的图象与函数的图象相切，记．
    求实数的值及函数的极值；
    若关于的方程恰有三个不等的实数根，求实数的取值范围．
19. 某公司对某产品作市场调查，获得了该产品的定价单位：万元吨和一天的销量吨的一组数据，根据这组数据制作了如下统计表和散点图．

表中．
Ⅰ根据散点图判断，与哪一个更适合作为关于的经验回归方程；给出判断即可，不必说明理由
Ⅱ根据Ⅰ的判断结果，建立关于的经验回归方程；
Ⅲ若生产吨该产品的成本为万元，依据Ⅱ的经验回归方程，预计每吨定价多少时，该产品一天的销售利润最大？最大利润是多少？
经验回归方程中，，

20. 疫情期间葫芦岛市某高中食堂，为支持学校隔离用餐的安排，保证同学们的用餐安全，为同学们提供了餐、餐两种餐盒．经过前期调研，食堂每天备餐时，两种餐盒的配餐比例为：为保证配餐的分量足，后勤每天随机抽取个餐盒进行重量检测．假定食堂备餐总数很大，抽样不影响备餐总量中，餐盒的比例，且每个餐盒的包装没有区分，被抽查的可能性相同．
    求抽取的个餐盒中恰有三个餐盒的概率；
    某天配餐后，食堂管理人员怀疑餐配菜有误，需要从所有的餐盒中挑出一个餐盒查看．如果抽出一个是餐食，则放回备餐区，继续抽取下一个；如果抽到的是餐食，则抽样结束．规定抽取次数不超过次．若抽样结束时抽到的餐盒数用随机变量表示，求的分布列与数学期望．
21. 已知首项为的等比数列公比小于，其前项和为，且，，成等差数列．
    求数列的通项公式；
    若实数使得对任意恒成立，求的取值范围．
22. 设函数．
    讨论函数的单调性；
    证明：
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：集合，
，
．
故选：．
求出集合，利用交集定义能求出．
本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：当时，满足，但，充分性不成立，
当时，满足，但，必要性不成立，
是的既不充分也不必要条件，
故选：．
利用举实例法，再结合充要条件的定义判定即可．
本题考查了充要条件的判定，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：由数列为等差数列，
又，
则，
设数列的公差为，
则，
即，
则，
故选：．
先由已知条件求出公差，然后结合等差数列前项和公式求解即可．
本题考查了等差数列基本量的运算，重点考查了等差数列前项和公式，属基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：若甲是假命题，则乙丙丁是真命题，可得，，符合题意；
若乙是假命题，则甲丙丁是真命题，可得，，两根不异号，不合题意；
若丙是假命题，则甲乙丁是真命题，可得，，两根不异号，不合题意；
若丁是假命题，则甲乙丙是真命题，两根和不为，不合题意．
综上可知，甲为假命题．
故选：．
分别设甲、乙、丙、丁为假命题，结合真命题中方程两根的情况判断．
本题考查简单的合情推理，考查逻辑思维能力与推理论证能力，是基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：设表示第天甲去餐厅用餐，，
设表示该生第一天去餐厅用餐，则，且，互斥，
由题意得，，，
运动员甲第二天去餐厅用餐的概率为：
．
故选：．
第天去哪家餐厅用餐的概率受第天在哪家餐厅用餐的影响，利用全概率计算公式能求出运动员甲第二天去餐厅用餐的概率．
本题考查概率的求法，考查全概率公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：设件产品中存在件次品，从中抽取件，其次品数为，
由得，
，
化简得，
解得或；
又该产品的次品率不超过，；
应取，
这件产品的次品率为．
故选：．
设件产品中存在件次品，根据题意列出方程求出的值，再计算次品率．
本题考查了古典概型的概率计算问题，也考查了离散型随机变量的分布列问题，是基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：在箱中任意摸出一个小球，则摸出的球是黑球的概率为，
则，
在箱中任意摸出两个小球，则摸出的球有黑球的概率为，
则，
又，所以，
故选：．
在箱中任意摸出一个小球，则摸出的球是黑球的概率为，在箱中任意摸出两个小球，则摸出的球有黑球的概率为，然后结合相互独立事件及相互独立事件的概率乘法公式求解即可．
本题考查了相互独立事件及相互独立事件的概率乘法公式，属基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：不等式可化为，即，
，，则，，
设，则，时，，是增函数，
所以由，得，，，
所以时，恒成立．
设，则，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，
所以，．
所以的最小值是．
故选：．
首先不等式同构变形为，引入函数，由导数确定单调性得，分离参数变形为，再引入函数，由导数求得其最小值，从而得的范围，得最小值．
本题考查用导数研究不等式恒成立问题，难点在于不等式的同构变形，然后引入新函数，由新函数的单调性化简不等式，从而再由变量分离法转化为求函数的最值，属于中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：由列联表可得：
，
结合附表可知：有以上的把握认为“对两个吉祥物的喜好倾向与性别有关”或在犯错误的概率不超过的前提下，可以认为“对两个吉祥物的喜好倾向与性别有关”，
故选：．
由列联表结合参考公式可得：，然后结合附表求解即可．
本题考查了独立性检验，重点考查了运算能力，属基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：对于选项A，的值域为，即选项A错误；
对于选项B，已知，则，当且仅当，即时取等号，即选项B正确；
对于选项C，正数，满足，即，则，当且仅当，即时取等号，即选项C正确；
对于选项D，，为正实数，若，则，即，当且仅当时取等号，即选项D正确，
故答案为：．
由基本不等式及其应用，结合“一正、二定、三相等”逐一判断即可得解．
本题考查了基本不等式及其应用，重点考查了拼凑法，属基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：由函数，
则，
当，有时，，时，，即函数的减区间为，增区间为，
即在处取得极大值；
当时，有或时，，时，，
即函数的增区间为，减区间为，，
即在处取得极大值；
当，即时，有或时，，时，，
即函数的减区间为，增区间为，，
即在处取得极小值；
当，即时，，即函数为增函数，即函数无极值；
当，即时，有或时，，时，，
即函数的减区间为，增区间为，，
即在处取得极大值，
综上可得：在处取得极大值时，的值取值范围为，
故选：．
先求导函数，然后利用导数分当；当时；当；当；当，五种情况讨论即可得解．
本题考查了利用导数研究函数的单调性及极值，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：由题意可知：棋子向前跳出一站的概率为；棋子向前跳出两站的概率为，
则，，
即选项A正确，选项B错误；
对于选项C，棋子出现在第站，则棋子可能在第站跳到第站，也可能在第站跳到第站，即，，即选项C正确；
对于选项D，由，，显然，即选项D正确，
故选：．
由题意可得棋子出现在第站，则棋子可能在第站跳到第站，也可能在第站跳到第站，然后求解即可．
本题考查了概率的应用，重点考查了阅读理解能力，属基础题．
 

13.【答案】，，填首项为正数，公比为的等比数列均可 

【解析】解：因为等比数列的项，故由得，，所以或，
若，则时即可满足等比数列递增，
若，则为摆动数列．不满足递增．
取，则的前三项依次是，，．
故答案为：，，．
因为等比数列的项，故由得，，所以或，若，则时即可满足等比数列递增，若，则为摆动数列．
解决本题的关键在于了解等比数列递增，递减时应满足的条件，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：由生产线生产的零件尺寸单位：都服从正态分布，
则正态分布曲线关于直线对称，
则，
故答案为：．
由生产线生产的零件尺寸单位：都服从正态分布，则正态分布曲线关于直线对称，然后求解即可．
本题考查了正态分布曲线的性质，属基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：由函数
则，
令，
则，
即，
由，
则，
设，
则为增函数，
由，，
则，
即，
故答案为：．
先分别求出，的导数，然后由“新驻点”的定义求出，，再比较大小关系即可．
本题考查了导数的运算，重点考查了导数的应用及零点定理，属基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：因为，其中，，
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递增，
且当时，，当时，．
因为，其中，，
当时，，，此时函数单调递增，
当时，，，此时函数单调递减，
且当时，，当时，．
因为存在，，使得成立，则，，
因为，由题意，
所以，则，所以，
故，其中，
构造函数，其中，则，
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，
因此，．
故答案为：．
利用导数分析函数、的单调性，结合已知条件可得出，变形后可得出，故，构造函数，其中，利用导数求出函数在上的最大值，即可得解．
本题考查了函数的单调性、转化思想、导数的综合应用及通过构造函数求最大值，综合性和技巧性较强，属于难题．
 

17.【答案】解：选作为条件证明，
因为，所以当时，．
当时，，
两式相减得，所以，
所以．
因为，所以，
即，
所以数列是首项为，公比为的等比数列．
因为，
所以．
选作为条件证明，
因为，所以当时，．
当时，，
两式相减得，所以，
所以，所以，
所以数列是首项为，公比为的等比数列．
因为，所以．
因为，所以当时，；
当时，．
因为当时也满足上式，所以，
故．
选作为条件证明，
因为，所以当时，；
当时，．
因为当时也满足上式，
所以．
因为，所以，
所以，
故． 

【解析】利用数列的递推关系，构造新的特殊数列即可求得结果．
本题考查了数列的递推关系，数列的求和等问题，属于基础题．
 

18.【答案】解：依题意，令，得，故
函数的图象与函数的图象的切点为
将切点坐标代入函数可得
或：依题意得，
即有唯一实数解
故，即

故F，解得或．
列表如下：

从上表可知处取得极小值．
由可知涵数大致图象如图所示．
作函数的图象，当的图象与函数的图象有三个交点时，
关于的方程恰有三个不等的实数根．结合图形可知．
 

【解析】令，进而求得，进而可知函数的图象与函数的图象的切点，把切点代入求得，进而求得函数的解析式，进而对函数进行求导，使其为求得，进而推断出函数的极大值和极小值．
首先根据中函数的单调性画出函数的草图，作函数的图象，进而根据当的图象与函数的图象有三个交点时，关于的方程恰有三个不等的实数根．最后根据图象确定的范围．
本题主要考查了函数与方程的应用，导函数求函数极值．考查了学生综合分析问题和解决的能力．
 

19.【答案】解：根据散点图的形状可知，更适合作为关于的经验回归方程．
令，则，
，
，则，
故关于的经验回归方程为．
设一天的利润为，
则
 
，
当且仅当，即时等号成立，
故每吨定价为万元时，该产品一天的销售利润最大，最大利润是万元． 

【解析】根据已知条件，结合散点图的形状，即可求解．
根据已知条件，结合最小二乘法和回归方程公式，即可求解．
设一天的利润为，则，再利用基本不等式，求出最值即可．
本题主要考查了利用最小二乘法求回归方程，以及基本不等式的应用，属于中档题．
 

20.【答案】解：依题意，随机地抽取一个餐盒得到餐盒的概率为，
用表示“抽取的个餐盒中餐盒的个数”，
则服从二项分布，即，
即其中有三个餐盒的概率，
即抽取的个餐盒中恰有三个餐盒的概率为；
由题意可得：的可能取值为：，，，，，
又，，，，，
则的分布列为：

则，
即的数学期望为：． 

【解析】由题意，随机地抽取一个餐盒得到餐盒的概率为，用表示“抽取的个餐盒中餐盒的个数”，则服从二项分布，即，然后求解即可；
先求出的可能取值为：，，，，，然后求出对应的概率，最后求出分布列及期望即可．
本题考查了二项分布的概率公式，重点考查了离散型随机变量的分布列及期望的求法，属基础题．
 

21.【答案】解：设等比数列的公比为，
由，，成等差数列，
即，
整理：，
所以，
即为，
又，
则，
即；
由得，
当为奇数时，随的增大而减小，所以．
当为偶数时，随的增大而增大，所以．
即的最大值为，
又实数使得对任意恒成立，
则，
则的取值范围为． 

【解析】设等比数列的公比为，结合，，成等差数列，求出，然后求其通项公式即可；
由得，再讨论当为奇数时，当为偶数时，的单调性，然后求出的最大值，最后求出的取值范围即可．
本题考查了等比数列通项公式的求法，重点考查了不等式恒成立问题，属中档题．
 

22.【答案】解：的定义域为，
由函数，
则，
令，
当时，恒成立，
即恒成立，
故在上单调递增；
当时，有二正根，，，
当，，即在和上单调递减，
当，，在上单调递增；
当时，恒成立，即恒成立，
故在上单调递减；
综上：当，在上单调递增；当时，在和上单调递减；在上单调递增，当时，在上单调递减；
证明：由知：当时，在上单调递减，
所以，
所以，当且仅当时取等号，
令，
则，
又当时，，
则，
故命题得证． 

【解析】先求导，然后讨论分：当时；当时；当时，三种情况讨论，求其单调区间即可；
由知：当时，，令，代入求解即可．
本题考查了利用导数研究函数的单调性，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属中档题．