宁夏中卫市2025届高三高考第三次模拟考试数学试卷

这是一份宁夏中卫市2025届高三高考第三次模拟考试数学试卷，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，若，则（ ）
A．或3B．0C．3D．
2．在复平面内，复数对应的向量，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知命题，，则为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
4．某学校为弘扬中华民族传统文化，举行了全校学生全员参加的“诗词比赛”.满分分，得分分及其以上为“优秀”.比赛的结果是：高一年级优秀率约是，高二年级优秀率约是，高三年级优秀率约是.其中高一高二高三年级人数比为，那么全校“优秀率”约是（ ）
A．B．C．D．
5．若直线：与直线：平行，则（ ）
A．4B．1C．1或-4D．-1或4
6．如图所示，在正方形铁皮上剪下一个扇形和一个直径为4的圆，使之恰好围成一个圆锥，则圆锥的高为（ ）
A．B．C．D．
7．已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数，若正数m，n满足，则的最小值为（ ）
A．3B．C．D．
二、多选题
9．已知直线和圆，则（ ）
A．直线l恒过定点（2，0）
B．存在k使得直线l与直线垂直
C．直线l与圆O相交
D．若，直线l被圆O截得的弦长为
10．已知等差数列的前项和为，若，，则下列结论正确的是（ ）
A．数列是递增数列B．
C．当取得最大值时，D．
11．若m，n分别是函数，的零点，且，则称与互为“零点相邻函数”.已知与互为“零点相邻函数”，则a的取值可能是（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
12．二项式的展开式的常数项是 .
13．已知递增的等比数列满足，，则的前3项和 ．
14．已知函数，在上单调递增，则实数a的取值范围为 .
四、解答题
15．已知，，.
(1)求函数单调递增区间；
(2)设的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若且.求面积的最大值.
16．近期根据中国消费者信息研究报告显示，超过40％的消费者更加频繁地使用网上购物，某网购专营店统计了2025年1月5日到9日这5天到该专营店购物的人数y和时间第x天间的数据，列表如下：
(1)由表中给出的数据判断是否可以用线性回归模型拟合人数y和时间第x天之间的关系？若可用，求出y关于x的经验回归方程，并估计1月10日到该专营店购物的人数；若不可用，请说明理由（人数用四舍五入法取整数，若相关系数，则线性相关程度很高，可以用线性回归模型拟合，r精确到0.01）；
(2)该专营店为了吸引顾客，推出两种促销方案．方案一：购物金额每满100元可减5元；方案二：一次性购物金额超过800元可抽奖三次，每次中奖的概率均为，且每次抽奖互不影响，中奖一次打9折，中奖两次打8折，中奖三次打6折．某顾客计划在此专营店购买1000元的商品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析选哪种方案更优惠．
参考数据：．，，
附：相关系数，，
17．已知双曲线C：的离心率为2，其右焦点F到一条渐近线的距离为.
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线：与双曲线C交于不同的两点A，B，且以线段为直径的圆经过点，证明：直线过定点.
18．已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论在区间上的零点个数；
(3)若，其中，求证：.
19．如图，直角梯形和矩形所在的平面互相垂直，，，.

(1)证明：；
(2)若，动点在矩形内（含边界），且.
①求动点的轨迹的长度；
②设直线与平面所成角为，求的取值范围.
x
1
2
3
4
5
y
75
84
93
98
100
《宁夏中卫市2025届高三高考第三次模拟考试数学试卷》参考答案
1．C
【分析】由集合相等的含义得，求解并验证互异性即可.
【详解】，
，解得或，
当时，，
不满足集合中元素的互异性，舍去.
当时，，
此时，满足题意.
综上，.
故选：C.
2．D
【分析】根据复数的向量表示得到，再根据复数的减法运算和复数模的公式即可得到答案.
【详解】由题意得，∴，
故选：D．
3．D
【分析】含有量词的命题的否定，只需要改量词，否定结论即可.
【详解】命题，的否定为，，
故选：D．
4．C
【分析】利用全概率公式计算即可.
【详解】根据全概率公式可得:
.
故选：C．
5．D
【分析】根据直线一般方程的平行关系求的值，并代入检验即可.
【详解】依题意得，，
得，
解得或，
若时，直线与直线平行，符合题意；
若时，直线与直线平行，符合题意；
综上所述：或．
故选：D
6．D
【分析】由扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长得，求得，进而由可求得圆锥的高.
【详解】由图知，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，圆锥底面圆的半径为，
设扇形半径为，则有，解得，因此圆锥的母线长为，
所以圆锥的高.
故选：D
7．B
【分析】由正弦函数的单调性结合题意可得.
【详解】由题意可得，
即，
令，可得，
因为函数在上单调递增，
所以，解得，
所以的取值范围是.
故选：B
8．D
【分析】根据函数解析式可得，据此得出，再由“1”的技巧及基本不等式得解.
【详解】因为，
所以，
所以，
所以由可得，即，
由，
则，
当且仅当，即时，等号成立.
故选：D
9．BCD
【分析】A选项，化为点斜式可以看出直线恒过的点，B选项两直线斜率存在且垂直，斜率乘积为-1，从而存在满足题意，C选项直线过的定点在圆的内部，故可以判断C选项；当时，先求圆心到直线的距离，再根据垂径定理求弦长
【详解】直线，即，则直线恒过定点，故A错误；
当 时，直线与直线垂直，故B正确：
∵定点（-2，0）在圆O：x2+y2=9内部，∴直线l与圆O相交，故C正确：
当时，直线l化为，即x+y+2=0，圆心O到直线的距离，直线l被圆O截得的弦长为，故D正确，
故选：BCD.
10．CD
【分析】设出公差，利用等差数列求和公式得到，，，，从而对选项一一判断，得到答案.
【详解】ABD选项，设的公差为，
，故，
，故，
所以，且，，即是递减数列，AB错误，D正确.
C选项，由于是递减数列，，，故当取得最大值时，，C正确.
故选：CD
11．ABC
【分析】求出函数的零点为，根据题中定义可得出函数的零点为，令，可知，直线与函数在上的图象有公共点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数a的取值范围.
【详解】易证是上的增函数，且，则.
因为与互为“零点相邻函数”，所以，即，解得.
因为，所以，所以在上有解，
即在上有解.设，则.
由，得，由，得，则在上单调递减，
在上单调递增.因为当时，，且，如下图，
所以，即，解得.
故选：ABC
12．/
【分析】首先写出二项式展开式的通项公式，然后找出常数项并求出常数项.
【详解】在二项式中，其展开式的通项公式为：
，进一步化简得
.
令，即.
将代入通项公式得.
故答案为：.
13．21
【分析】根据是等比数列，结合条件求得即可.
【详解】因为是等比数列，
所以．又，
所以或（舍去），
则的公比，，
从而．
故答案为：21
14．
【分析】根据函数为增函数可知在各段上为增函数，列出不等式组求解，即可得解.
【详解】由函数在上单调递增，
可得，即，解得，
故答案为：
15．(1)，
(2)
【分析】通过向量数量积得到函数表达式，并利用三角恒等变换化简函数表达式，再运用正弦函数单调性，整体代换计算即可.
利用余弦定理建立边角关系，结合不等式求面积的最大值.
【详解】（1）首先，根据题意，可得到：
，
，
，
令，，
得：，
即：，
所以的单调递增区间为，.
（2）由 ，得，
，解得：，，
可得，由于，所以；
利用余弦定理可得，，
，
由不等式 ，得：
，
，当且仅当“”时取“=”，
所以.
的面积，
当 取最大值 3 时，面积最大，.
16．(1)可用，，109
(2)选择方案二
【分析】（1）先计算相关系数，再结合线性回归方程的知识求解即可；
（2）首先根据二项分布的概率公式求出为的概率值，则方案二的期望可求，与方案一的950进行比较即可判断.
【详解】（1）由表中数据可得，，所以，所以可用线性回归模型拟合人数与天数之间的关系．而，则所以
令，可得，所以1月10日到该专营店购物的人数约为109．
（2）若选方案一､需付款元．
若选方案二､设需付款元，则的取值可能为，则，
，
所以，因此选择方案二更划算．
17．(1)
(2)证明见解析
【分析】(1)利用已知条件及，可求得双曲线方程；
(2)以线段为直径的圆经过点转化为，再联立直线与双曲线的方程，利用韦达定理得到，可得到直线过的定点.
【详解】（1）因为双曲线的右焦点为，渐近线方程为，
所以右焦点为到渐近线的距离为，
因为双曲线的离心率为，所以，
所以，解得，
所以双曲线的方程为．
（2）如图，
设，，
联立，得，
则，，，
所以，
，
因为以线段为直径的圆经过点，所以，
所以，即，
所以，
化简得，即，
因为，，所以，
所以直线的方程为，
所以直线过定点.
18．(1)
(2)1
(3)证明见解析
【分析】（1）根据导数的几何意义分别求切点坐标与切线斜率，再根据直线的点斜式方程化简转化可得所求；
（2）分当和两段分别确定函数的单调性与取值情况，从而判断每段函数零点个数，从而得结论；
（3）设，求导确定函数的单调性与取值情况，从而可得结论.
【详解】（1）由，得且，所以，
所以曲线在处的切线方程为：，即.
（2）①当时，，，所以.
所以在区间上无零点；
②当时，，，所以，
所以在区间上单调递增，
又，，
所以在区间上仅有一个零点，
综上，在区间上的零点个数为1.
（3）设，即，
所以，
设，，
因为时，，，所以，
所以在区间上单调递增，
即在区间上单调递增，
故，所以在区间上单调递增.
故，所以.
因为，所以，
又，所以.
19．(1)证明见解析
(2)①②
【分析】（1）通过证明平面，可完成证明；
（2）①如图建立空间直角坐标系，设的坐标为，由可得动点的轨迹，即可求长度；由①可设，据此可表示出平面的法向量，然后由空间向量结合三角函数知识可得答案.
【详解】（1）证明：直角梯形和矩形所在的平面互相垂直，且交线为，，
平面，所以平面,
因为平面，所以，
因为，
所以，可知，
又因为，平面，
所以平面，
又因为平面，
所以.
（2）

①因为平面，，
以为坐标原点，直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则，
设，则，
因为，所以，即，
整理可得：，
可知动点M的轨迹是以为圆心，半径为1的半圆，
所以动点M的轨迹的长度，
②由①可设：，
可得，
设平面的法向量，
则，则，取，可得，
则，
因为，则，可得，
所以，
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
D
D
C
D
D
B
D
BCD
CD
题号
11









答案
ABC