宁夏回族自治区中卫市2025届高三高考第三次模拟考试数学试卷（解析版）

这是一份宁夏回族自治区中卫市2025届高三高考第三次模拟考试数学试卷（解析版），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合A=0,1,a2,B=1,0,2a+3，若A=B，则a=（ ）
A．-1或3B．0C．3D．-3
【答案】C
【解析】∵A=B，
∴a2=2a+3，解得a=-1或3，
当a=-1时，a2=2a+3=1，
不满足集合中元素的互异性，舍去.
当a=3时，a2=2a+3=9，
此时A=B=0,1,9，满足题意.
综上，a=3.
故选：C.
2．在复平面内，复数z对应的向量OZ=1,2，则z-i=（ ）
A．22B．5C．3D．2
【答案】D
【解析】由题意得z=1+2i，∴z-i=1+i=2，
故选：D．
3．已知命题p:∃x∈-2,2，sinx≥ex，则¬p为（ ）
A．∀x∈-∞,-2∪2,+∞，sinx≥exB．∀x∈-2,2，sinx≥ex
C．∀x∈-∞,-2∪2,+∞，sinx0，
则2m+1n=2m+1n1m+n=3+2mn+1nm≥3+22mn⋅1nm=3+22，
当且仅当2mn=1nm，即m=1+22,n=2-1时，等号成立.
故选：D
二、多选题
9．已知直线l:kx-y+2k=0和圆O:x2+y2=9，则（ ）
A．直线l恒过定点（2，0）
B．存在k使得直线l与直线l0:x-2y+2=0垂直
C．直线l与圆O相交
D．若k=-1，直线l被圆O截得的弦长为27
【答案】BCD
【解析】直线l:kx-y+2k=0，即y=k(x+2)，则直线恒过定点-2,0，故A错误；
当k=-2时，直线l:kx-y+2k=0与直线l0:x-2y+2=0垂直，故B正确：
∵定点（-2，0）在圆O：x2+y2=9内部，∴直线l与圆O相交，故C正确：
当k=-1时，直线l化为-x-y-2=0，即x+y+2=0，圆心O到直线的距离d=|2|2=2，直线l被圆O截得的弦长为29-2=27，故D正确，
故选：BCD.
10．已知等差数列an的前n项和为Sn，若S23>0，S240
C．当Sn取得最大值时，n=12D．a13>a12
【答案】CD
【解析】ABD选项，设an的公差为d，
S23=23a1+a232=23×2a122=23a12>0，故a12>0，
S24=24a1+a242=24a12+a132=12a12+a130时，ex>1，-1≤csx≤1，所以f(x)>0.
所以f(x)在区间(0,+∞)上无零点；
②当-π0，sinx≤0，所以f'(x)=ex-sinx>0，
所以f(x)在区间(-π,0]上单调递增，
又f(-π)=e-π-10，
所以f(x)在区间(-π,0]上仅有一个零点，
综上，f(x)在区间(-π,+∞)上的零点个数为1.
（3）证明：设g(x)=f(x)-x-2(x>0)，即g(x)=ex+csx-x-2，
所以g'(x)=ex-sinx-1，
设g'(x)=h(x)，h'(x)=ex-csx，
因为x>0时，ex>1，-1≤csx≤1，所以h'(x)>0，
所以h(x)在区间(0,+∞)上单调递增，
即g'(x)在区间(0,+∞)上单调递增，
故g'(x)>g'(0)=0，所以g(x)在区间(0,+∞)上单调递增.
故g(x)>g(0)=0，所以f(x)-x-2>0.
因为m>0，所以f(m)-m-2>0，
又f(m)=n，所以n-m>2.
19．如图，直角梯形ABCD和矩形PADQ所在的平面互相垂直，AB⊥AD，AD//BC，AD=2AB=2BC=2.
（1）证明：PC⊥CD；
（2）若PA=2，动点M在矩形PADQ内（含边界），且MB⊥MD.
①求动点M的轨迹的长度；
②设直线CM与平面PBD所成角为θ，求sinθ的取值范围.
（1）证明：直角梯形ABCD和矩形PADQ所在的平面互相垂直，且交线为AD，PA⊥AD，
PA⊂平面PADQ，所以PA⊥平面ABCD,
因为CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD，
因为AC=AB2+BC2=2,CD=AB2+(AD-BC)2=2,AD=2，
所以AC2+CD2=AD2，可知AC⊥CD，
又因为PA∩AC=A，PA,AC⊂平面PAC，
所以CD⊥平面PAC，
又因为AC⊂平面PAC，
所以PC⊥CD.
（2）解：①因为PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，
以A为坐标原点，直线AB,AD,AP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则A（0,0,0）,B（1,0,0）,C（1,1,0）,D（0,2,0）,P（0,0,2），
设M0,y,z，则BM=-1,y,z,DM=0,y-2,z，
因为MB⊥MD，所以BM⋅DM=0，即yy-2+z2=0，
整理可得：(y-1)2+z2=1，
可知动点M的轨迹是以0,1,0为圆心，半径为1的半圆，
所以动点M的轨迹的长度12×2π×1=π，
②由①可设：M(0,1+csα,sinα),0≤α≤π，
可得CM=(-1,csα,sinα),BP=(-1,0,2),DP=(0,-2,2)，
设平面PBD的法向量n=(a,b,c)，
则n⊥BPn⊥DP，则n⋅BP=-a+2c=0n⋅DP=-2b+2c=0，取a=2，可得n=(2,1,1)，
则sinθ=|cs|=|n⋅CM||n|⋅|CM|=|-2+csα+sinα|6⋅2=362-2sin(α+π4)，
因为0≤α≤π，则π4≤α+π4≤5π4，可得-22≤sin(α+π4)≤1，
所以sinθ∈23-66,32.