2024-2025学年湖南省长沙市岳麓实验中学高二（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年湖南省长沙市岳麓实验中学高二（下）期末数学试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.某次会议安排甲、乙等六人的座位在第一排的1～6号，其中甲的座位号为奇数，乙的座位号为偶数，且甲、乙不相邻，则这六人不同的座位安排方法种数为( )
A. 48B. 96C. 128D. 186
2.若直线y=kx+b是曲线f(x)=ex−2023与g(x)=ex+2024−2025的公切线，则k=( )
A. 12025B. 20232024C. 20254047D. 24047
3.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点，则下列结论中正确的是( )
①直线D1D与直线AF垂直；
②直线A1G与平面AEF平行；
③点C与点G到平面AEF的距离相等；
④平面AEF截正方体所得的截面面积为92．
A. ①②B. ②③C. ②④D. ③④
4.已知两个单位向量a，b满足a⋅b=12，则|a+b|=( )．
A. 3B. 5C. 6D. 7
5.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，点C1关于平面ABCD对称的点为C2，矩形AA1CC1内(包括边界)的点P满足PC1⊥PC2，记直线AP与平面ABCD所成线面角为θ.当θ最大时，过直线AP作平面α平行于直线BD，则此时平面α截正方体所形成图形的周长为( )
A. 2 2+2 3+2
B. 2 2+2 3
C. 2 2+2 3−2
D. 2 3−2
6.已知f(x)=x3−3x，函数y=f(x)的定义域为[a,b](a，b∈z)，y=f(x)的值域为[a,b]的子集，则这样的函数的个数为( )
A. 1B. 2C. 3D. 无数个
7.等差数列{an}的公差d∈(0,1)，且sin2a3−sin2a7sin(a3+a7)=−1，当n=10时，数列{an}的前n项和Sn取得最小值，则首项a1的取值范围为( )
A. (−58π,−916π)B. [−58π,−916π]C. (−54π,−98π)D. [−54π,−98π]
8.如图正方体的棱长为1，A，B分别为所在棱的中点，则四棱锥S−ABCD的外接球的表面积为( )
A. 16π
B. 32π
C. 4116π
D. 414π
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下面关于f(x)=2sin(2x−π3)叙述中正确的是( )
A. 关于点(π6,0)对称B. 关于直线x=π6对称
C. 在区间[0,π3]上单调D. 函数f(x)的零点为π6+kπ(k∈Z)
10.已知函数f(x)=(x−1)2⋅sinx⋅ln(x+1)，则( )
A. f(x)在区间(2,3)内存在零点B. 0是f(x)的极小值点
C. f(x)在区间(0,1)内存在极大值D. f(x)在区间(−1,0)上单调递减
11.已知x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数.若函数f(x)=sin|x|+|sinx|，函数g(x)=[f(x)]，则下列说法正确的是( )
A. 函数g(x)是奇函数B. 函数g(x)的值域是{0,1,2}
C. 函数g(x)的图象关于直线x=π2对称D. 方程π2⋅g(x)=x只有一个实数根
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数f(x)=alnx+bx2+x在x=1处取得极大值−1，则a−b=______．
13.已知a，b，c均为正实数，函数f(x)=x2+(a+2b)x+lnx．
(1)若f(x)的图象过点(1,2)，则1a+2b的最小值为______；
(2)若f(x)的图象过点(c,ab+lnc)，且(3a+b)t≥c恒成立，则实数t的最小值为______．
14.平面直角坐标系中，已知点A(−1,−1)，B(0,3)，P(1,a)，N(1,a+1)，当四边形PABN的周长最小时，△APN的外接圆的方程为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，EF//AB，EF⊥FB，AB=2EF，∠BFC=90°，BF=FC，H为BC的中点．
(1)求证：FH//平面EDB；
(2)求证：AC⊥平面EDB；
(3)求二面角B−DE−C的大小．
16.(本小题15分)
如图，在平行四边形ABCD中，∠D=60°，E为CD的中点，且AE=CE，现将平行四边形沿AE折叠成四棱锥P−ABCE．
(1)已知M为AB的中点，求证：AE⊥PM；
(2)若平面PAE⊥平面ABCE，求二面角B−PE−C的余弦值．
17.(本小题15分)
已知函数f(x)=(x2−2x)ex．
(1)求f(x)的单调区间；
(2)当x