湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷（Word版附解析）

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时量：120 分钟 满分：150 分
得分：_______
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的项中，只有一项是符合题
目要求的.
1. 已知 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】解不等式可得集合 ，进而可得解.
【详解】由 ，得 ，所以 ，
又 ，
所以 ，
故选：B.
2. 已知 ，则 （ ）
A 1 B. C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】由已知可得 服从二项分布，根据二项分布方差的计算方法求解即可.
【详解】因为 ，所以 服从二项分布，
所以 .
故选： .
3. 角 的终边落在射线 上，则 的值为（ ）
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A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由三角函数的定义即可求解.
【详解】由题意在角 终边上取一点 ，
则 ，
，
故选：A.
4. 已知 ， ，则数列 的通项公式为（
）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用倒序相加法计算求解.
【详解】 ，
则
两式相加得
所以 ，
所以 .
故选：A.
5. 若 且 ，则 的取值范围是（ ）.
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A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】 利用半角公式 和 化简等式，再利用三角函数值的正负
即可得到 的取值范围.
【详解】 由半角公式 和 化简得
，且 ，
得 ，所以 .
故选：C.
6. 已知函数 的极小值点为 0，则 m 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求导， 时，函数的无极小值，当 ，函数的极小值为 ，当 ，可得函数的极大值
为 ，可得 的取值范围.
【详解】由 ，可得 ，
因为函数 的极小值点为 0，所以 ，
若 ，则 ，所以 上单调递增，故函数 无极小值，
又函数 的极小值点为 0，故 ，
又 时，令 ，可得 或 ，
当 ，所以 ，当 ， ，所以 0 是函数 的极小值点，符合题意，
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又 时，令 ，可得 或 ，
当 ， ，当 ， ，所以 0 是函数 的极大值点，不符合题意，
综上所述：m 的取值范围是 .
故选：A.
7. 在矩形 中， 为边 上的一点， ，现将 沿直线 折成
，使得点 在平面 上的射影在四边形 内（不含边界），设二面角 的大小
为 ，直线 与平面 所成的角分别为 ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据线面角的定义得出 、 、 的正切值表达式，再通过比较线段长度得出正切值大小关系，
进而得到角的大小关系.
【详解】如图所示，在矩形 中，过 作 交于点 ，将 沿直线 折成 ，则
点 在面 内 射影 在线段 上（不包含 两点），
设 到平面 上的距离为 ，则 ，
由二面角，线面角的定义得： ，
显然 ，所以 最大，所以 最大，
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当 与 重合时， ，
因为 ，所以 ，则 ，所以 ，
所以 ，
故选：D.
8. 已知点 ， ， 是 与 轴的交点．点 满足：以 为直径的圆与 相
切，则 面积的最大值为（ ）
A. B. 8 C. 12 D. 16
【答案】B
【解析】
【分析】由图可以判定，两圆内切，然后根据内切的判定得到 B 的轨迹方程为椭圆，根据椭圆的性质即可
确定 最大值.
【详解】
如图，设以 为直径的圆的圆心为 ， ，
显然两圆内切，所以 ，
又 为 中位线，所以 ，
所以 ，
所以 的轨迹为以 ， 为焦点的椭圆，
， ，
显然当 为椭圆短轴顶点即 时， 的面积最大，最大值为 ，
故选：B.
二、选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题
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目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 以下四个命题中，真命题的有（ ）
A. 在回归分析中，可用相关指数 的值判断模型的拟合效果， 越大，模型的拟合效果越好；
B. 回归模型中残差是实际值 与估计值 的差，残差点所在的带状区域宽度越窄，说明模型拟合精度越高；
C. 对分类变量 与 的统计量 来说， 值越小，判断“ 与 有关系”的把握程度越大．
D. 已知随机变量 服从二项分布 ，若 ，则 ．
【答案】AB
【解析】
【分析】根据相关指数的定义确定 A；
根据残差的性质确定 B；
根据独立性检验确定 C；
根据二项分布与均值的运算确定 D.
【详解】对于 A，由相关指数的定义知： 越大，模型的拟合效果越好，A 正确；
对于 B，残差点所在的带状区域宽度越窄，则残差平方和越小，模型拟合精度越高，B 正确；
对于 C，由独立性检验的思想知： 值越大，“ 与 有关系”的把握程度越大，C 错误．
对于 D， ， ，又 ， ，解得：
，D 错误．
故选： ．
10. 下列命题为假命题的有（ ）
A. 若 ，则
B. 若 ，则 ，
C. 函数 在区间 上单调递减
D. 函数 的最小值为 5
【答案】ABD
【解析】
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【分析】利用反例可判定 A，利用余弦函数的性质可判定 B，利用辅助角公式计算可判断 C，利用基本不等
式结合同角三角函数的基本关系可判定 D.
【详解】对于 A，若 ， ，则 ，即 A 错误；
对于 B，由余弦函数的性质可知若“ ”，
则“ 或 ， ”，即 B 错误；
对于 C， ，
当 时， ，故 C 正确；
对于 D， ，
当且仅当 时取得等号，但 不符合三角函数有界性，即 D 错误.
故选：ABD.
11. 点 在曲线 上，点 是点 关于 轴的对称点，点 是点 关于 轴的对称点，点 是点 关于
直线 的对称点.设 为坐标原点，则下列结论正确的有（ ）
A.
B. 点 在曲线 上
C. 为定值
D. 当且仅当点 与点 重合时， 取最小值
【答案】ACD
【解析】
【分析】设点 ，由题意得出点 坐标.由对称性得到 互为相反向量判断 A 选项；
由点的横纵坐标的关系判断 B 选项；由向量数量积为 0 得到垂直，从而知道三角形为等腰三角形得出角的
大小；列出 的解析式，求导后得出函数单调区，从而求出最小值.
【详解】点 在曲线 上，可设 ， 根据题意， ， ，
又点 是点 关于直线 的对称点，故 .
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对于 A 选项，点 和点 关于坐标原点对称， 项正确；
对于 B 选项，根据 确定曲线方程，设 ，得 ，B 选项错误；
对于 C 选项，因为 ，且 ，故 ，
所以 是等腰直角三角形，故 ，C 选项正确；
对于 D 选项， ， ，则 ，
∴ 在 单调递减，在 单调递增，
∴当且仅当 时， 取最小值 ，即点 与点 重合，D 选项正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 某科技攻关青年团队共有 人，他们的年龄分别是 ， ， ， ， ， ， ， ，则这 人
年龄的 分位数是__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据百分位数的计算公式即可得到答案.
【详解】把这 个数据按从小到大的顺序排列可得： ， ， ， ， ， ， ， ，
，所以这 人年龄的 分位数是 ．
故答案为： ．
13. 欧拉公式 （e 为自然对数的底数，i 为虚数单位）是瑞士著名数学家欧拉发明的，
是英国科学期刊《物理世界》评选出的十大最伟大的公式之一.根据欧拉公式可知，复数 虚部
为___.
【答案】 ##
【解析】
【分析】利用复数虚部定义即可求得复数 虚部.
【详解】由公式 得， ，
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所以复数 虚部为 .
故答案为：
14. 在斜 中， 为锐角，且满足 ，则 的最小值为
______.
【答案】
【解析】
【分析】将已知变形为 ，用两角和（差）的正弦公式得到
，进而得到 与 的关系，代入 用基本不等式
即可求最小值.
【详解】 ，
∴
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，∴ ，
∴ ，
∵ 为锐角，∴
∴
,
当且仅当 ，即 时等号成立.
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故答案为：
【点睛】方法点睛：本题关键是化“弦”为“切”，通过代入减元运用基本不等式求和的最小值.
四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在数列 中，若 ，且 ， 则称 为“ 数列”，设
为“ 数列”，记 的前 项和为 .
（1）若 ，求 ， ， 的值；
（2）若 ，求 的值.
【答案】（1） ， ，
（2）
【解析】
【分析】（1）根据递推公式列出数列 中的项，找规律，发现周期性即可得到答案；
（2）根据题意对 的奇偶分情况讨论即可得到答案.
【小问 1 详解】
当 时， 中的各项依次为 10，5，8，4，2，1，4，2，1， ，
即数列 从第四项开始每三项是一个周期，
所以 ，
，所以 ，
，所以 .
【小问 2 详解】
①若 是奇数，则 是偶数， ，
由 ，得 ，解得 ，符合题意.
②若 是偶数，不妨设 ，则 .
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若 是偶数，则 ，由 ，得 ，此方程无整数解；
若 奇数，则 ，由 ，得 ，此方程无整数解.
综上①②，可得 .
16. 为促进山区扶贫事业的持续发展，某研究所为深入研究当地海拔因素对某种古茶树产茶量的影响，在山
上和山下的试验田中分别种植了 株和 株 古茶树进行对比试验.现在从山上和山下的试验田
中各随机选取了 4 株作为样本，每株采摘的茶叶量（单位： ）如下表所示：
编号
① ② ③ ④ 位置
山上 5 4 4 3
山下 4 2 2 1
（1）根据样本数据，试估计山上试验田古茶树产茶的总产量；
（2）记山上与山下试验田古茶树产茶量的方差分别为 ，根据样本数据，估计 与 的大小关系（只
需写出结论）；
（3）从样本中的山上与山下古茶树中各随机选取 1 株，记这 2 株产茶量的总和为 ，求随机变量 的分布
列和数学期望.
【答案】（1）
（2）
（3）分布列见解析，
【解析】
【分析】（1）求出山上实验田的平均产量，再乘以 m 即可得答案；
（2）先计算平均数，再结合方差公式即可求得答案；
（3）随机变量 可以取 ，再分别求出概率，则 的分布列与数学期望可求.
【小问 1 详解】
由山上试验田 4 株古茶树产茶量数据，
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得样本平均数 ，
则山上试验田 株古茶树产茶量 估算为 ；
【小问 2 详解】
山上，山下试验田古茶树产茶量平均数分别为 4 和 ，
故方差 ，
，
故 ；
【小问 3 详解】
依题意，随机变量 可以取 ，
随机变量 的分布列为
9 8 7 6 5 4
随机变量 的期望 .
17. 如图，直三棱柱 中， 分别为棱 ， 上的点， 为
的中点，且 .
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（1）求证： 平面 ；
（2）当三棱锥 的体积最大时，求平面 与平面 夹角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）连接 ，设 ，连接 ，可证得四边形 为平行四边形，
进而可得 ，利用线线平行可得 平面 ；
（2）当 时，三棱锥 的体积最大.，建立空间直角坐标系，求得平面 的法向量，求
得平面 的一个法向量，利用向量法求得平面 与平面 夹角的余弦值.
【小问 1 详解】
如图，连接 ，设 ，连接 .
四边形 为平行四边形， .
为 的中点，即 .
又 平面 平面 ，
平面 .
【小问 2 详解】
，而 ，
当 时， 取最大值 2，
即当 时，三棱锥 的体积最大.
又三棱柱 为直三棱柱， .
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当 时，以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴建立如图所示空间直角坐标系.
则 .
设平面 的法向量为 ，
则 ，令 ，则 .
又平面 的一个法向量为 ，
设平面 与平面 的夹角为 ，则
，
即平面 与平面 夹角的余弦值为 .
18. 已知双曲线 的中心为坐标原点，上焦点为 ，离心率为 .记 的上、下顶点分别为 ，
，过点 的直线与 的上支交于 M，N 两点.
（1）求 的方程；
（2）直线 和 的斜率分别记为 和 ，求 的最小值；
（3）直线 与 交于点 P，证明：点 P 在定直线上.
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【解析】
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【分析】（1）利用双曲线的上焦点、离心率可求得 的值，进而可求得双曲线方程.
（2）设 的方程为 ，与双曲线方程联立，利用韦达定理及斜率坐标公式，推理计算即得
，进而计算可求得 的最小值.
（3）直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，联立方程线可求得交点的纵坐标为
定值，可得结论.
【小问 1 详解】
设双曲线的标准方程为 ，
由题意可得 ，解得 ，
所以双曲线的标准方程为 ；
【小问 2 详解】
双曲线的上下顶点为 ， ，设直线 的方程为 ， ，
联立 ，消去 ，可得 ，
则 ，且 ，
所以 ，
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所以 ，
所以 ，所以 ，
当 时， 的最小值为 ；
【小问 3 详解】
直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，
联立 ，得 ，解得 ，
即点 P 在定直线上 .
19. 如图所示，设 ， 是平面内相交成 角的两条数轴， ， 分别是与 x，y 轴正方向
同向的单位向量，则称平面坐标系 为 仿射坐标系，若在 仿射坐标系下 ，则把有序
数对 叫做向量 的仿射坐标，记为 .若 满足 ，则
称 是 仿射坐标系下的“完美向量”，已知在 仿射坐标系下 ， .
（1）若 ，求向量 的仿射坐标，并写一个“完美向量”的仿射坐标（不需要说明理由）；
（2）当 时， 是 仿射坐标系下的“完美向量”，且 ，求
（3）设 ，若 对 恒成立，求 的最大值.
【答案】（1）向量 的仿射坐标为 ；其中一个“完美向量”的仿射坐标为 .
（2）
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（3）
【解析】
【分析】（1）由题中新定义和平面向量的线性运算计算即可；
（2）由题中新定义结合三角恒等变化计算求解即可；
（3）由 对 恒成立得到 ，再由平面向量夹角的求法及三角函数值
域的求法计算即可.
【小问 1 详解】
，
所以向量 的仿射坐标为 .
其中一个“完美向量”的仿射坐标为 .
【小问 2 详解】
因为当 时， 是 仿射坐标系下的“完美向量”，
所以 ，
由题意得 ，则 ， ，
可得 ， ，
故 ， ，
所以 ， ，
所以
，
第 17页/共 18页
所以 .
【小问 3 详解】
因为 ，
，
，
因为 ，所以 ，
所以 对 恒成立，
又因为 ，所以 ，
得 ，
此时 ，
因为 ， ，且 ，
所以 ，
所以 ，
所以 的最大值为 .
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