湖南省长沙市岳麓实验中学2024-2025学年高二下学期7月期末考试数学试题（Word版附解析）

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1. 某次会议安排甲、乙等六人的座位在第一排的 号，其中甲的座位号为奇数，乙的座位号为偶数，且
甲、乙不相邻，则这六人不同的座位安排方法种数为（ ）
A. 48 B. 96 C. 128 D. 186
【答案】B
【解析】
【分析】根据甲的座位号为奇数，乙的座位号为偶数分类结合乘法原理及排列数计算即可.
【详解】先安排甲、乙，若甲坐 1 号座位，则乙可以坐 4 号或 6 号座位；
若甲坐 3 号座位，则乙可以坐 6 号座位；
若甲坐 5 号座位，则乙可以坐 2 号座位，共有 4 种安排方法．
在甲和乙的座位确定了的情况下，其余四人的座位安排方法有 种，
故这六人不同的座位安排方法种数为 ．
故选：B．
2. 若直线 是曲线 与 的公切线，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设直线 与函数 和 的图象相切于点 和 ，利用导数的几何
意义，求得切线方程，列出方程组，结合斜率公式，即可求解.
【详解】设直线 与函数 的图象相切于点 ，
与 的图象相切于点 ，
因为 ，且 ， ，
则曲线 在 处的切线方程为 ，
曲线 在 处的切线方程为 ，
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所以 ，解得 ，
所以 .
故选：C.
3. 已知正方体 的棱长为 2，E，F，G 分别为 的中点，则下列结论中正确的
是（ ）
①直线 与直线 垂直； ②直线 与平面 平行；
③点 C 与点 G 到平面 的距离相等； ④平面 截正方体所得的截面面积为 ．
A ①② B. ②③ C. ②④ D. ③④
【答案】C
【解析】
【分析】由 即为直线 与直线 所成的角，即可判断①；对于②，连接 ，由线
面平行的判定即可判断②；由平面 不过 的中点即可判断③；先找出截面，再计算面积即可判断④
.
【详解】解：对于①，由正方体 得 ，则 即为直线 与直线 所成
的角，
连接 AC，而 平面 ABCD，所以 ，所以在 中，则 不可能是直角，直线 与
直线 不垂直，故①不正确；
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对于②，连接 ，则 ，所以 平面 ， 平面
， 平面 ，所以 ∥平面 ，故②正确；
对于③，若点 C 与点 G 到平面 的距离相等，则平面 必过 的中点，连接 交 于 ，且
不是 的中点，
则平面 不过 的中点，即点 C 与点 G 到平面 的距离不相等，③不正确；
对于④，因为 ， ，所以等腰梯形 即为平面 截正方体所得的截面，
则 ， 之间的距离为 ，
则 面积为 ，故④正确.
故选：C.
4. 已知单位向量 ， 满足 ，则 （ ）
A. 1 B. 2 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据向量的数量积得出向量的模长即可.
【详解】因为
所以 .
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故选：D.
5. 已知正方体 的边长为 ，点 关于平面 对称的点为 ，矩形 内（包
括边界）的点 满足 ，记直线 与平面 所成线面角为 .当 最大时，过直线 做平
面 平行于直线 ，则此时平面 截正方体所形成图形的周长为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】作出图形，分析可知，点 在矩形 内的轨迹是以点 为圆心，半径为 的圆在矩形
内的圆弧，当 与圆弧相切于点 时， 最大，即 取最大值，然后作出截面，计算出各边
边长，相加可得出截面的周长.
【详解】如下图所示：
因为矩形 内（包括边界）的点 满足 ，
则点 在矩形 内的轨迹是以点 为圆心，半径为 的圆在矩形 内的圆弧，
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设直线 交 于点 ，过点 作 ，交 于点 ，
因为 平面 ，则 平面 ，
所以， 与平面 所成的角为 ，
由图可知，当 与圆弧相切于点 时， 最大，即 取最大值，
连接 ，则 ，易知 ，则 ，
所以， 是等腰直角三角形，则 ，
在矩形 中， ，则 ，
又因为 ，所以， 是等腰直角三角形，则 ，
所以， ，
因为 且 ，故四边形 为平行四边形，则 ，
设平面 分别交棱 、 于点 、 ，连接 ,
因为 ， 平面 ，平面 ，则 ，故 ，
设截面 分别交直线 、 于点 、 ，
因为 ， ， ，所以， ，
因为 平面 ，平面 ，则 ，
设 ， ，则 ，
同理可得 ，故 为等腰直角三角形，
易知 ，而 ，则 ，则 为 的中点，
所以， ，则 ，
故 ，
因为 ，且 ，则 为等腰直角三角形，
所以， ，则 ，
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因为 平面 ， 、 平面 ，则 ， ，
则 ，
所以， ，
同理可得 ，
故截面 截正方体 所得截面的周长为
，
故选：C.
【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法：
（1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可
确定线面角；
（2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度 ，从而不必作出线面角，则线面
角 满足 （ 为斜线段长），进而可求得线面角；
（3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设 为直线 的方向向量， 为平面的法向量，则线面角 的
正弦值为 .
6. 已知 ，函数 的定义域为 的值域为 的子集，则这
样的函数的个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 无数个
【答案】A
【解析】
【分析】求导得到单调区间，计算极值，画出函数图像，根据则 ，解得 或 ，
，解得 或 ，得到 ， ，再计算最值得到答案.
【详解】 ， ，
当 和 时， ，函数单调递增；
当 时， ，函数单调递减.
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为函数的极小值， 为函数的极大值，
画出函数图像，如图所示：
的值域为 的子集，
则 ，解得 或 ； ，解得 或 ，
，故 且 ， ， ， ，
当 ， ， ，故 ；
当 ， ，故 ，此时 ，不成立；
当 ， ，不成立；
综上所述： ，
故选：A
【点睛】关键点睛：本题考查了利用导数求函数的最值问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合
应用能力，其中利用 ， 得到 ， ，可以缩小范围，简化运算，
是解题的关键.
7. 已知等差数列 的公差 ，且 ，当 时，数列 的前 项和 取
得最小值，则首项 的取值范围是
A. B.
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C. D.
【答案】D
【解析】
【 详 解 】 试 题 分 析 ： 利 用 三 角 函 数 的 降 幂 公 式 将 条 件 转 化 为
再利用和差化积公式转化，求得 ，从而可求得等差数列
的公差 ，根据 即可求得首项 的取值范围．
∵ 为等差数列， ，
，
∵ 时，数列 的前 项和 取得最小值， ，
故选 D
考点：数列与三角函数的综合；等差数列的通项公式；等差数列的前 n 项和．
【方法点睛】本题考查数列与三角函数的综合，利用三角函数的降幂公式与和差化积公式求得
是关键，也是难点，继而可求出 ，问题迎刃而解，突出化归思想与函数与方程思想
的考查，属于难题．
8. 如图正方体的棱长为 1，A，B 分别为所在棱的中点，则四棱锥 的外接球的表面积为（ ）
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A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，设外接球球心为 ，列方程组求解球心，验证后可
得外接球半径，即可求得答案.
【详解】以 C 为坐标原点，以 所在直线为 轴，以与 垂直的棱为 y 轴，
建立如图所示空间直角坐标系，
则 ,
设四棱锥 的外接球球心为 ，半径为 R，
则 ，
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解得 ，即外接球球心为 ， ，
验证 ，符合题意，
即四棱锥 的外接球 ，其表面积为 ，
故选：C
二、多选题
9. 下面关于 叙述中正确的是（ ）
A. 关于点 对称 B. 关于直线 对称
C. 在区间 上单调 D. 函数 的零点为 （ ）
【答案】AC
【解析】
【分析】由题意利用正弦函数的对称性，单调性及零点逐项判断，得出结论
【详解】对于函数 ，
令 ，求得 ，可得它的图象关于点 对称，故 正确、 不正确．
区间 上， , 单调递增，故 正确．
令 ，得函数 的零点为 ，故 不正确，
故选：AC．
10. 已知函数 ，则（ ）
A. 在区间 内存在零点 B. 0 是 的极小值点
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C. 在区间 内存在极大值 D. 在区间 上单调递减
【答案】BCD
【解析】
【分析】令 ，得到零点，看区间 内有无这些零点，没有则不存在零点即可判断 A；在
附近，分析 、 、 正负， 时 ， 时 ，所以
是极小值点即可判断 B；对 求导．在 内，分析 各项正负，判断是否存在极大值即可判断
C；在 上，分析 正负，再分析 各项正负，得 ， 单调递减即可判断 D．
【详解】对于 A：函数 ，
令 ，则 或 或 ，解得 ， ， ， ，
在区间 内，不存在上述使 的 值，所以 在区间 内不存在零点，故 A 错误；
对于 B：当 在 附近时， ， 在 上单调递增，且 ，
当 时， ， ，所以 ；
当 时， ， 在 附近正负交替，但 ，
所以 是 的极小值点，故 B 正确；
对于 C：函数 的定义域为 ，
，
当 时， ， ， ， ，
，且在 内，随着 的变化， 会先大于 后小于 ，
则 在区间 内存在极大值，故 C 正确；
对于 D：当 时， ， ， ，
则 ，
，
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在 上， ， ， ， ；
， ， ， ；
， ， ， ，
即 ，则 在区间 上单调递减，故 D 正确．
故选：BCD．
11. 已知 ，用 表示不超过 的最大整数．若函数 ，函数 ，
则下列说法正确的是（ ）
A. 函数 是奇函数 B. 函数 的值域是
C. 函数 的图象关于直线 对称 D. 方程 只有一个实数根
【答案】BD
【解析】
【分析】借助函数奇偶性定义判断选项 A；通过列举作出函数 及 的图象判断选项 B；举特例判
断选项 C；通过函数 的取值分类讨论判断选项 D.
【详解】由题知，函数 定义域为 ，
，
所以函数 为偶函数，
由 得
，
所以函数 是偶函数.故 A 错误；
当 时，
；
当 时，
；
当 时，
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；
所以函数 的图象如图所示：
由 的解析式及图象可知：
当 时， ， ；
当 时， ， ；
当 时， ， ；
当 时， ， ；
当 时， ， ；
当 时， ， ；
当 时，因为 ，
所以 是 的一个周期，所以函数 的值域是 ，故 B 正确；
由 ，
，
所以 ，
所以函数 的图象不关于直线 对称.故 C 错误；
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对于方程 ，
当 时， ， ，此时方程有一个实数根；
当 时， ， ，此时方程没有实数根；
当 时， ， ，此时方程没有实数根；
所以方程 只有一个实数根，故 D 正确.
故选：BD.
三、填空题
12. 函数 在 处取得极大值-1，则 ______.
【答案】5
【解析】
【分析】
利用函数 极值点的定义列方程，解方程组即可.
【详解】因为 ，所以 ，
则 ，解得 ， ，则 .
故答案为：5
【点睛】本题考查了极值点以及极值的定义，解题的关键是求出函数的导函数，属于基础题.
13. 已知 均为正实数，函数 ．
（1）若 的图象过点 ，则 的最小值为______；
（2）若 的图象过点 ，且 恒成立，则实数 的最小值为______．
【答案】 ①. 9 ②.
【解析】
【分析】（1）由 的图象过点 得 ，根据基本不等式“1”的妙用计算即可；
（2）由 的图象过点 得 ，进而得出 ，利用换元法及基本
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不等式即可求得 的最大值，即可得出 的最小值．
【详解】（1）由 的图象过点 得， ，即 ，
所以 ，当且仅当 ，即 时等号成立．
（2）由 恒成立得， ，
因为 的图象过点 ，则 ，即 ，
当 时， 不合题意舍，
所以 ，即 ，则 ，则由 得 ，
所以 ，
设 ，
所以
，
当且仅当 ，即 ，则 时，等号成立，
故答案为：9； ．
【点睛】方法点睛：第二空由 的图象过点 得出 ，代入消元得出关于 的齐
次式，换元后根据基本不等式计算可得．
14. 平面直角坐标系中，已知点 ， ， ， ，当四边形 的周长最
小时， 的外接圆的方程为_________．
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【答案】
【解析】
【分析】根据两点之间的距离公式，列出四边形 的周长关于 的表达式，得到 轴上的点 与
和 距离之和最小时，四边形 的周长也最小．利用直线方程的求法，可得 时，四
边形 的周长最小．从而得到 的坐标，再用圆方程的一般式，求出经过三点 的圆方
程，从而得到 的外接圆的方程．
【详解】四边形 的周长为
，
只需求出 的最小值时的 值.
由于 ，表示 轴上的点
与 和 距离之和，只需该距离和最小即可.可得该距离最小为 和 间距离，
令 , 故 ,所以直线 方程为 ，令 ，得 ，
所以 .
由以上讨论，得四边形 的周长最小时， ， .
设过三点 的圆方程为 .
解得 .
故 外接圆的方程为 .
故答案为：
四、解答题
15.
如图，在多面体 中，四边形 是正方形， ∥ ， ， ，
， ， 为 的中点．
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（1）求证： ∥平面 ；
（2）求证： 平面 ；
（3）求二面角 的大小．
【答案】（1）见解析; （2）见解析; （3）
【解析】
【详解】（1）设 与 交于点 ，则 为 的中点，
， ，
四边形 为平行四边形， ，而 平面 ，
平面 ;
（2）由四边形 为正方形，有 ，
又 ， ，而 ，
平面 ， ，
又 为 的中点， ，
平面 ，又 ，
又 ， 平面 ;
（3） ， 平面 ，
在平面 内过点 作 交 的延长线于 ，
则 为二面角 的一个平面角，
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设 ，则 ，又 ，
,
，
二面角 为 .
16. 如图，在平行四边形 ABCD 中，∠D=60°，E 为 CD 的中点，且 AE=CE，现将平行四边形沿 AE 折叠成
四棱锥 P-ABCE.
（1）已知 为 的中点，求证： .
（2）若平面 平面 ，求二面角 的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【解析】
【分析】（1）取 AE 中点 N，连结 EM，MN，证明 面 PMN，即可证明 ；
（2）先证明 ，又 ， ，可以以 N 为原点， 分别为 x 轴，y 轴，
z 轴正方向建立空间直角坐标系，用向量法求解.
【详解】（1）证明：
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取 AE 中点 N，连结 EM，MN，由于翻折前 E 为 CD 中点，∴ .
∵ ,∴△ADE 为等边三角形，
∵N 为 AE 中点，∴ .
同理可证：△AME 为等边三角形，故 .
又 ，
∴ 面 PMN，
∴ .
（2）因为平面 平面 且交于 AE， ，所以 平面 ，
而 平面 ,所以 ，又 ， ，
可以以 N 为原点， 分别为 x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系，
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不妨设 AB=4，则 ，
，所以 ，
设 为平面 EPC 的一个法向量，则 ,即 ，
不妨设 ，则 .
同理可求：平面 EPB 的一个法向量
设二面角 的平面角为 ，显然 ，
所以 ，
即二面角 的余弦值为
【点睛】立体几何解答题的基本结构：
(1)第一问一般是几何关系的证明，用判定定理；
(2)第二问是计算，求角或求距离（求体积通常需要先求距离），通常可以建立空间直角坐标系，利用向量法
计算．
17. 已知函数 ．
（1）求 的单调区间；
（2）当 时， 恒成立，求实数 的取值范围；
（3）关于 的方程 有两个不相等的正实数解 ，且 ，求证：
．
【答案】（1）单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；
（2） ；
（3）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）先求函数的定义域，再求导，利用导数的正负求函数的单调区间即可.
（2）利用分离参数整理不等式，构造函数，求导并结合导数与函数单调性的关系求解即可.
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（3）由（1）大致作函数图象，利用函数与方程的关系进一步确定参数的范围，整理不等式，分别构造函
数，结合不等式性质证明即可.
【小问 1 详解】
函数 定义域为 ，求导得 ，
由 ，得 或 ；由 ，得 ，
所以函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .
【小问 2 详解】
当 时，不等式 等价于 ，
设 ，求导得 ，
函数 在 上单调递减， ，则 ，
所以实数 的取值范围是 .
【小问 3 详解】
当 时， ，
由（1）知， 在 上单调递减，在 上单调递增，
而 ，则 ，且 ，
由 ，且切点 ，得曲线 在 处的切线为 ，
由 ，切点 ，得曲线 在 处的切线为 ，
设 ，求导得 ，
设 ，求导得 ，
函数 在 上单调递增，而 ，
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当 时， ； 时， ，
函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
则 ，当且仅当 时取等号， 在 上恒成立，
设直线 与直线 交点的横坐标为 ，则 ，则 ，
则 ， ，同理得 ，
所以 ，得证.
18. 已知函数 ．
（1）若 为 的极小值点，求 a 的取值范围；
（2）若 有唯一的极值 ，证明： ， ．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）将函数求导之后，讨论 的取值范围，进而判断 的单调性和极值的情况，由 为
的极小值点，求出 最终的取值范围；
（2）当 ， 为唯一的极值，得 ，即证 ， ，构造新函数
，求 ，即可证明结论成立.
【小问 1 详解】
.
①当 时， 在 上单调递诚，在 上单调递增，所以 为 极小值点．
②当 时，由 得 或 ．
（ⅰ）当 时， 在 R 上单调递增，无极值点；
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（ⅱ）当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，
在 上单调递增，所以 为 的极小值点；
（ⅲ）当 时， 在 上单调递增，在 上单调递诚，
在 上单调递增，所以 为 的极大值点，
综上，a 的取值范围是 ．
【小问 2 详解】
根据（1）可知 ， 为唯一的极值，所以 ，所以 ．
所以即证 ， ．
设 ，则 ，
设 ，则 ，
设 ，则 ，
当 时， , , ,
所以 ，即 ，
所以 在 上单调递增．
， ，又 ，
所以 ，所以 ，使 ．
因此当 时， ，当 时， ．
得 在 上单调递减，在 上单调递增，
又 ， ，
因此当 时， ，当 时， ．
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，得 ，
第 23页/共 26页
所以 ，从而原命题得证．
【点睛】求函数的极值，要注意求导之后，讨论 的取值范围，利用原函数的单调性求函数的极值，对于
不等式的证明问题，要注意构造新函数，将其转化为求新函数的最值问题.
19. 如图，在三棱锥 中，平面 平面 ， ，点 在棱 上，
且 .
（1）证明： 平面 ；
（2）设 是 的中点，点 在棱 上，且 平面 ，求二面角 的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用余弦定理求出 ，利用勾股定理可证得 ，再利用面面垂直的性质的定理可证
得结论成立；
（2）推导出点 为 的中点，然后以点 为坐标原点，以 、 所在直线分别为 、 轴，过点
且垂直于平面 的直线作 轴建立空间直角坐标系，求出点 的坐标，利用空间向量法可求得二面角
的余弦值.
【小问 1 详解】
证明：由 得 ， ， ，
，由余弦定理可得 ，
，则 ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
平面 .
【小问 2 详解】
解：因为 平面 ， 平面 ，平面 平面 ，故 ，
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而 是 的中点，故 为 中位线，得 ，
又 ，故 为 中点，
由（1）可知 平面 ，以点 为坐标原点，以 、 所在直线分别为 、 轴，
过点 且垂直于平面 的直线作 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则 、 、 、 ，
设点 ，其中 ， ， ， ，
所以， ，解得 ，
则 ，解得 ，故点 ，
设平面 的法向量为 ， ， ，
则 ，取 ，可得 ，
设平面 的法向量为 ， ，
则 ，取 ，可得 ，
所以， .
由图可知，二面角 的平面角为锐角，故二面角 的余弦值为 .
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