湖南省长沙市岳麓实验中学2024-2025学年高二下学期6月月考数学试卷（Word版附解析）

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一、单选题
1. 设函数，则“”是“是偶函数”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】由充分条件、必要条件的概念结合偶函数的定义即可判断；
【详解】当时，，，为偶函数，
当是偶函数时，由，
即恒成立，
可得：恒成立，即，
所以“”是“是偶函数”的充要条件，
故选：C.
2. 已知全集，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据及即可求出集合.
【详解】已知全集，
,集合中没有，
若，则，则，与条件矛盾，故，
同理可得，
则.
故选：D.
3. 下列函数中偶函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性的判断方法即可得到答案.
【详解】对A，定义域为，关于原点对称，
且，则为奇函数，故A错误；
对B，，其定义域为，关于原点对称，
，而，则，则不是偶函数，故B错误；
对C，，定义域为，关于原点对称，
且，而，则，则其不偶函数，故C错误；
对D，的定义域为，关于原点对称，
且，则为偶函数，故D正确.
故选：D.
4. 如图所示，D，E为边BC上的三等分点，且则下列各式中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据三等分点得出向量相等结合向量的方向即可判断选项.
【详解】D，E为边上的三等分点，所以，
所以D选项正确；
若，则不成立，C选项错误；
方向不同不能相等，A选项错误；
方向相反不能相等，B选项错误.
故选：D.
5. 已知函数，数列满足，命题若是上的减函数，命题对于任意的正整数，，都有，则命题是命题的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】先根据题意将两个命题分别求出参数的范围，然后判断充分性和必要性即可.
【详解】命题若是上的减函数，得 ，解得，
命题对于任意的正整数，，都有，
不妨令，可得，有 ，
由题，知，解得，
所以命题是命题的充分不必要条件.
故选：A
6. 已知平面向量，不共线，，，，则（ ）
A. 三点共线B. 三点共线
C. 三点共线D. 三点共线
【答案】D
【解析】
【分析】运用向量共线的判定先证明向量共线，再得到三点共线.
【详解】对于A，，与不共线，A不正确；
对于B，，，则与不共线，B不正确；
对于C，，，则与不共线，C不正确；
对于D，，
即，又线段AC与CD有公共点C，所以三点共线，D正确．
故选：D．
7. 如图，“六芒星”是由两个边长为正三角形组成，中心重合于点且三组对边分别平行，点，是“六芒星”（如图）的两个顶点，动点在“六芒星”上（内部以及边界），则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】作在上的投影向量，观察图形结合数量积的几何意义求的范围.
【详解】由对称性可得，连接，与的交点为，
则为的中点，为的中点，
故，，，，
过点作直线的垂线，垂足记为，
则向量在向量上的投影向量为，
所以，
如图过点作，，垂足分别为，
所以，，
观察图象可得，其中与同向，与反向，
所以当点位于点的位置时，取最大值，最大值为，
当点位于点的位置时，取最小值，最小值为，
所以的取值范围是.
故选：B.
8. 已知函数，若关于x的方程恰有6个不同的实数根，则m的取值范围是（ ）
A. B. (
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据分段函数的解析式，作出函数的图象，根据图象可得当取不同值时，的交点个数，即可结合二次函数零点的分布求解.
【详解】根据，作出的大致图象如下：
由图可知：当时，此时由两个根，分别为，
当时，此时有4个交点，
当时，此时有3个交点，
当时，此时有2个交点，
故要使得由6个不同的零点，则令，有6个不同的实数根，
显然不是的根，
设的两个零点分别为，且，
故当时，此时有4个交点，有2个交点，满足题意，
故需要满足，解得，
当时，此时有3个交点，有3个交点，满足题意，
故需要满足，解得，
综上可得或
故选：A

二、多选题
9. 关于同一平面内的任意三个向量，下列四种说法错误的有（ ）
A. 若，且，则B.
C. 若，则或D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】若向量时，结合零向量的性质，可得判定A错误；根据向量模的三角不等式，可判定B正确；根据向量模的概念，可判定C错误；根据向量的数量积的运算不满足结合律，可判定D错误.
【详解】对于A中，若向量时，此时且，但不一定成立，所以A错误；
对于B中，由，所以B正确；
对于C中，若，但向量与不一定是共线同向或反向，所以C错误；
对于D中，由向量的数量积的运算不满足结合律，所以D错误.
故选：ACD.
10. 已知函数，则（ ）
A. 在区间上单调递增
B. 极大值点仅有一个
C. 无最大值，有最小值
D. 当时，关于的方程共有3个实根
【答案】BC
【解析】
【分析】利用函数的单调性与导数的关系可判断A选项；利用函数的极值点与导数的关系可判断B选项；利用函数的最值与导数的关系可判断C选项；数形结合可判断D选项.
【详解】对于A选项，当时，，则，
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，故A错误；
对于B选项，由A选项知，函数在上有一个极大值点，
当时，，则，此时函数单调递增，
当时，，此时函数有极小值点，无极大值点，
综上所述，函数仅有1个极大值点，故B正确；
对于C选项，当时，，
当时，，
所以，函数的最小值为，函数无最大值，故C正确；
对于D选项，如下图所示：

由图可知，当时，关于的方程共有4个实根，故D错误.
故选：BC.
11. 已知正四棱柱的底面边为1，侧棱长为，是的中点，
则（ ）
A. 任意，
B. 存在，直线与直线相交
C. 平面与底面交线长为定值
D. 当时，三棱锥外接球表面积为
【答案】AC
【解析】
【分析】对于A，由题意可得平面，从而可得，即可判断；
对于B，根据异面直线的定义可得；
对于C，根据题意找出交线，然后求出交线长即可；
对于D，根据外接球与正四棱柱的位置关系，找出球心，进而求出半径，即可得出表面积.
【详解】解：对于A，，，，，平面，
平面，平面，，故正确；
对于B，因为平面，平面，
所以平面，
与异面，故不相交，故错误；
对于C，延长，交于点，连接交于，为中点，
，
所以,
所以,
所以，
平面平面，
平面与底面交线为，
其中为中点，所以，故正确对；
对于D，，是直角三角形，外接圆是以为直径的圆，
圆心设为，半径，
取中点，则平面，，
所以，
所以，
，故错误.
故选：．
三、填空题
12 已知，则_____________．
【答案】
【解析】
【分析】利用复合函数求导函数方法求解即可.
【详解】由，
故答案为：
13. 2023年杭州亚运会的吉祥物包括三种机器人造型，分别名叫“莲莲”，“琮琮”“宸宸”，小辉同学将三种吉祥物各购买了两个（同名的两个吉祥物完全相同），送给三位好朋友，每人两个，则每个好朋友都收到不同名的吉祥物的分配方案共有____________种．（用数字作答）
【答案】6
【解析】
【分析】设“莲莲”，“琮琮”“宸宸”为,可得其组合形式为,把它分配给三人即可得结果.
【详解】根据题意，设“莲莲”，“琮琮”“宸宸”为,则可得其组合形式为,
故第一个好友具有种，第二个好友具有种，第三个好友只有种，
即每个好朋友都收到不同命的吉祥物的分配方案为：种.
故答案为：
14. 已知偶函数定义域为，其导函数是.当时，有，则关于的不等式的解集为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，设，结合题意求导分析可得函数在上为减函数，结合函数的奇偶性分析可得函数为偶函数，进而将不等式转化为，结合函数的定义域、单调性和奇偶性可得，解可得的取值范围，即可得答案．
【详解】解：根据题意，设，其导数为，
又由时，有，则有，
则函数在上为减函数，
又由为定义域为的偶函数，
则，则函数为偶函数，
，
，
又由为偶函数且在上为减函数，且定义域为，则有，
解可得：或
即不等式的解集为，
故答案为：
【点睛】本题考查函数的导数与函数单调性的关系，关键是构造新函数，并分析其单调性，属于中档题
四、解答题
15. 在中，内角所对的边分别为，满足．
（1）求证：；
（2）求的最大值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理将边化角，借助三角恒等变换公式化简即可.
（2）利用（1），求出，表示出，并进行换元转化为二次函数,进而求得最大值.
【小问1详解】
由题，
由正弦定理：，
所以，
整理，
所以，结合三角形内角性质，
或（舍）,
.
【小问2详解】
由，则由（1）问，得：，
所以，
且
又，
令，则，
所以
因为,
当时，所求的最大值为.
16. 已知各项均为正数的数列满足，且成等差数列，成等比数列.
（1）求的值；
（2）证明：数列为等差数列；
（3）记，求数列的前n项和为.
【答案】（1）9，6 （2）证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据条件可得和，然后令代入即可求得的值
（2）根据等差中项及等比中项的性质化简后，由等差中项可判断数列为等差数列
（3）由数列为等差数列求出，代入条件可求出，利用裂项相消法求和即可
【小问1详解】
因为成等差数列，所以，
当时，，即，所以，
因为成等比数列，所以，
当时，，即，所以
【小问2详解】
由条件可得，且，又，
故，代入中，得时，
有，即，
所以数列为等差数列
【小问3详解】
由（1）（2）知数列为等差数列且，
所以数列是首项为2，公差1为的等差数列，
得，即，
故，即，
所以时，，且也符合上式，故，
则，
数列的前n项和为，
17. 已知函数，，．
(1)当，时，求证：；
(2)若恒成立，求的最大值．
【答案】(1)证明见解析；(2)．
【解析】
【分析】(1)讨论的单调区间及单调性，求出的最小值，作差比较即得；
(2)分类讨论确定a>0，不等式等价转化，构建函数并求其最大值，进而计算出ab，并再求函数最大值而得.
【详解】(1)证明：当，时，，，
所以，，
所以当时，；当时，，上递减，在上递增，
所以当且仅当时，有最小值，
因为，所以；
(2)依题意：，
令，则有恒成立，
当时，对任意的实数，当且时，即，，矛盾；
所以，，而，
当时，，当时，，
从而在上单调递增，在单调递减，
故在时有最大值，
因此，所以，
设，则，
时，时，在上单调递增，在上单调递减，
所以在时，取最大值，当且仅当，即时取“=”，
故的最大值为．
【点睛】思路点睛：含参数的问题，对参数进行分类讨论，常见类型：
(1)问题中的变量或含有需讨论的参数的,要进行分类讨论的；
(2)问题中的条件是分类给出的；
(3)解题过程不能统一叙述,必须分类讨论的；
(4)涉及几何问题时,由几何元素的形状、位置的变化需要分类讨论.
18. 概率统计在生产实践和科学实验中应用广泛.请解决下列两个问题.
（1）随着中小学“双减”政策的深入人心，体育教学和各项体育锻炼迎来时间充沛的春天.某初中学校学生篮球队从开学第二周开始每周进行训练，第一次训练前共有6个篮球，其中3个是新球（即没有用过的球），3个是旧球（即至少用过一次的球）.每次训练，都是从中不放回任意取出2个篮球，训练结束后放回原处. 设第一次训练时取到的新球个数为ξ，求随机变量ξ的分布和期望.
（2）由于手机用微波频率信号传递信息，那么长时间使用手机是否会增加得脑瘤的概率？研究者针对这个问题，对脑瘤病人进行问卷调查，询问他们是否总是习惯在固定的一侧接听电话？如果是，是哪边？结果有88人喜欢用固定的一侧接电话.其中脑瘤部位在左侧的病人习惯固定在左侧接听电话的有14人，习惯固定在右侧接听电话的有28人；脑瘤部位在右侧的病人习惯固定在左侧接听电话的有19人，习惯固定在右侧接听电话的有27人.根据上述信息写出下面这张列联表中字母所表示的数据，并对患脑瘤在左右侧的部位是否与习惯在该侧接听手机电话相关进行独立性检验.（显著性水平
参考公式及数据：，其中，
【答案】（1）分布列见解析， 1
（2）表格见解析，长时间使用手机与是否得脑瘤没有显著关系
【解析】
【分析】（1）由题可知可取的值为0，1，2，后结合题目条件可得分布列与相应期望；
（2）由题目条件可将列联表补充完整，后由列联表数据计算，比较其与大小即可判断长时间使用手机与是否得脑瘤有无显著关系.
【小问1详解】
第一次训练时所取的球是从6个球（3新，3旧）中不放回取出2个球，所以可取的值为0，1，2..
则分布列如下
则期望为；
【小问2详解】
由题目条件可得列联表如下：
则=，故长时间使用手机与是否得脑瘤没有显著关系.
19. 在空间立体几何中，球面往往是重要的研究对象，同时，它与平面几何中的圆息息相关.而对于几何体的研究中，几何重心的选取显得尤为重要.古希腊著名数学家巴普斯（Pappus）在研究过程中发现了一个性质：平面内任一面积为的区域沿着垂直于该区域的平面运动得到体积为的立体，若记为此区域的几何重心运动的轨迹长度，则有.

（1）已知半圆面的几何重心在其对称轴上，求半径为3的半圆面的几何重心到圆心的距离（试着考虑绕直径旋转一周得到球体）；
（2）建立空间直角坐标系，取球心为，且半径为1的球体，点为其表面上一点.若、，，球体在点处的切面截坐标系的三轴组成平面三角形，求面积的最小值.
提示：①球面方程：，其中点为球心坐标，为球的半径；
②平面方程的点法式：，其中平面过点，其法向量.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，利用球的体积公式和求解即可；
（2）根据已知条件写出球面方程和切面方程，分别求出，，三点坐标，利用空间向量求出点到平面的距离，利用等体积法求出面积的表达式，最后利用基本不等式求出最小值即可.
【小问1详解】
球体体积，半圆面积，
设几何重心到圆心的距离为，
由于几何重心在对称轴上，则几何重心运动的轨迹长度为，
运用巴普斯定理有：，解得，
代入即；
【小问2详解】
球心为，
球面方程为，
又，在球面上，故.
切面的法向量为，
则切面方程为：
：
，
代入得到：，
于是，
设点到平面的距离为，
，
运用等体积法：设的面积为，
，
，
（当且仅当同时，即取等），
所以面积的最小值为.
【点睛】关键点点睛：第（1）问将半圆旋转一周后得到球体，半圆的几何重心运动的轨迹长度即为以圆心为半径，以几何重心到圆心的距离为半径的周长；第（2）问利用空间向量结合基本不等式求最小值.习惯固定在左侧接听电话
习惯固定在右侧接听电话
总计
脑瘤部位在左侧的病人
a
b
42
脑瘤部位在右侧的病人
c
d
46
总计
a+c
b+d
88
0
1
2
习惯固定在左侧接听电话
习惯固定在右侧接听电话
总计
脑瘤部位在左侧的病人
14
28
42
脑瘤部位在右侧的病人
19
27
46
总计
33
55
88