精品解析：重庆市荣昌区2022-2023学年八年级下学期期末数学试题

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1. 的相反数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据相反数的意义，可得答案．
【详解】解：的相反数是，
故选：B．
【点睛】本题考查了相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．
2. 如图，中，，则的度数是（ ）
A. 38°B. 142°C. 152°D. 162°
【答案】B
【解析】
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对边平行，可得AD∥BC，所以可求得∠B的度数．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠A+∠B=180°，
∵∠A=38°，
∴∠B=142°．
故选：B．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边平行．还考查了平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补．
3. 下列根式是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用最简二次根式的条件判断即可．
【详解】解：A.原式，不符合题意；
B.原式，不符合题意；
C.原式为最简二次根式，符合题意；
D.原式，不符合题意；
故选：C．
【点睛】此题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的条件：被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式，是解本题的关键．
4. 下列命题：
①对角线相等的菱形是正方形；
②对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；
③对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形；
④对角线互相垂直的矩形是正方形；
其中是真命题的个数是（ ）
A. 个B. 个C. 个D. 个
【答案】A
【解析】
【分析】利用正方形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：对角线相等的菱形是正方形，正确，是真命题，符合题意；
对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，正确，是真命题，符合题意；
对角线互相垂直且相等平行四边形是正方形，正确，是真命题，符合题意；
对角线互相垂直的矩形是正方形，正确，是真命题，符合题意．
真命题有个，
故选A．
【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及定理，难度中等．
5. 估计的值在（ ）
A. 和之间B. 和之间C. 和之间D. 和之间
【答案】C
【解析】
【分析】将式子化简成，然后找这个无理数的整数范围即可．
【详解】解：．
，
，
故选C．
【点睛】本题考查了无理数大小的估算，二次根式的混合运算，熟练掌握相关运算法则以及估算的方法是解本题的关键．
6. 调查某班10名学生一周居家劳动的时间（单位：h），统计结果如下表：
这么这10名学生一周内的平均劳动时间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据加权平均数的定义列式计算即可．
【详解】解：10名学生一周内的平均劳动时间为，
故选：C．
【点睛】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．
7. 由下列条件不能判定为直角三角形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方或根据三角形内角和定理计算最大角是否是90°即可．
【详解】解：A、∵∠A＋∠B＝∠C，
∴∠A＋∠B＋∠C＝2∠C＝180°，
∴最大的角∠C＝90°，是直角三角形，故本选项不符合题意；
B、，即a2＋b2＝c2，故是直角三角形，故本选项不符合题意；
C、∵32＋42＝52，故是直角三角形，故本选项不符合题意；
D、∵∠A：∠B：∠C＝1：1：4，
∴∠C＝×180°＝120°，故不能判定是直角三角形，故选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，三角形内角和定理．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
8. 已知函数的图象如图所示，那么函数的图象大致是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据正比例函数的图象经过第二、四象限可判断出的符号，进而可得出结论．
【详解】解：正比例函数的图象经过第二、四象限，
，
，
一次函数的图象经过第一、二、四象限．
故选C．
【点睛】本题考查的是正比例函数的性质，一次函数的图象与系数的关系，先根据题意判断出的符号是解答此题的关键．
9. 如图，在矩形中，，将点折叠到边上点处，折痕为，连接，，若点是中点，则长为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】依据矩形的性质以及折叠，即可得到，，的长；再根据，利用对应边成比例即可得的长．
【详解】解：矩形中，，

，
又是的中点，
，
中，，
由题可得，，
，
，
，
，即，
解得，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了折叠问题、矩形的性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理的运用，翻折变换折叠问题实质上就是轴对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
10. 对、定义一种新运算，规定：（其中、均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：，若，，则下列结论正确的个数为（ ）
（1），；
（2）若，则；
（3）若，则、有且仅有组正整数解；
（4）若对任意有理数、都成立，则；
A. 个B. 个C. 个D. 个
【答案】C
【解析】
【分析】由题意联立方程组，求出、的值，即可确定正确；由已知，得到，求出即可确定正确；根据，，，可求、的值，从而确定不正确；由题意列出方程，得到，由对任意有理数、都成立，则，即可 确定不正确．
【详解】解：，，
，
解得，故正确；
，
，
，
，故正确；
，
，
当时，则不成立，
，
，
、都是整数，
或或，
或或或或或，
满足题意的、的值可以为，，，，，，故错误；
，
，
，
，
对任意有理数、都成立，
，故错误．
综上：正确的有．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，正确理解题目所给的新定义是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）
11. 二次根式有意义，则x的取值范围是______．
【答案】x≥-2
【解析】
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．
【详解】解：由题意得：x+2≥0，
解得：x≥-2，
故答案：x≥-2．
【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
12. 如图，一棵大树被台风刮断，若树在离地面3m处折断，树顶端落在离树底部4m处，则树折断之前高_____．

【答案】8m
【解析】
【分析】在折断大树与地面构成的直角三角形中，由勾股定理易求得斜边的长，进而可求出大树折断之前的高度．
【详解】如图；

在Rt△ABC中，AB=3 m，BC=4 m，
由勾股定理，得：AC==5 m，
∴AC+AB=3+5=8 m，即大树折断之前有8 m高．
故答案为 8m．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，属于基础题，解题的关键是在直角三角形ABC中运用勾股定理求出AC的长．
13. 在平均数、中位数、众数、方差等几个统计量中，最能刻画数据波动（离散）程度的量是______．
【答案】方差
【解析】
【分析】根据方差和标准差反映了一组数据与其平均值的离散程度的大小．方差（或标准差）越大，数据的离散程度越大，稳定性越小；反之，则离散程度越小，稳定性越好可得答案．
【详解】解：在平均数、中位数、众数、方差等几个统计量中，最能刻画数据波动（离散）程度的量是方差，
故答案为：方差．
【点睛】此题主要考查了统计量的选择，关键是掌握平均数、众数、中位数和极差、方差在描述数据时的区别．
14. 计算：____．
【答案】
【解析】
【分析】利用二次根式的性质化简，再相减．
【详解】解：
故答案是：．
【点睛】本题考查了二次根式的减法，解题的关键是掌握二次根式的化简及性质．
15. 如图，菱形中，，边，点，分别是，上的动点，连接，，，则图中阴影部分的面积是______．

【答案】
【解析】
【分析】连接，作交于，根据得出与全等，进而利用全等三角形的性质得出图中阴影部分的面积菱形的面积解答即可．
【详解】解：连接，作交于，

四边形为菱形，，，
，，
是等边三角形，
，
，
，，
，
，
，
，
在与中，
，
，
同理可得，，
图中阴影部分的面积，
故答案为：．
【点睛】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定与性质，关键利用全等三角形的性质得出图中阴影部分的面积菱形的面积解答．
16. 正比例函数图象上有两点，，当时，，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】利用正比例函数的增减性得出的符号，进而求出的取值范围．
【详解】解：∵正比例函数图象上有两点，，
当时，，
∴随的增大而减小，
∴，
解得：，
∴的取值范围是：；
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了正比例函数的性质，熟知正比例函数图象与系数的关系是解题关键．
17. 数使关于的方程的解是整数，且使一次函数的图象不经过第三象限，则满足条件的所有整数的值的和是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据关于的方程解是整数，且一次函数的图象不经过第三象限，可以求得满足条件的的值，从而可以得到满足条件的所有整数的和．
【详解】解：由分式方程得，，
分式方程程的解是整数，
是整数且不等于，
一次函数的图象不经过第三象限，
，
解得：，
是整数且不等于，
，，
，
满足条件的所有整数的值的和是，
故答案为：．
【点睛】本题考查一次函数的性质、分式方程的解，解答本题的关键是明确题意，求出满足条件的的值，利用一次函数的性质和分式方程的知识解答．
18. 如果一个三位数的十位数字比百位数字与个位数字之和大2，我们称这个三位数为“荣庆数”，我们将“荣庆数”的各位数字之和记为，比如152，百位数字与个位数字之和为，十位数字是5，，所以152是“荣庆数”， ______ ；若一个“荣庆数”是13的倍数，则的最大值是______．
【答案】 ①. 8 ②. 12
【解析】
【分析】由，知；设“荣庆数”的百位数字为，十位数字为，则个位数字为，可推得是13的倍数，而，，是正整数，即可得或或或，从而得到答案．
【详解】解：，
；
设“荣庆数”的百位数字为，十位数字为，则个位数字为，
，
是13的倍数，，
是13的倍数，
（为非负整数），
，，是正整数，
，
，是正整数，为百位数字，为十位数字，
，，
假设，此时，此时值最小，
，
假设，此时，此时值最大，
，
，
当时，，
解得，满足和，，符合题意，
当时，，此方程无符合题意的，的正整数解，
当时，，此方程无符合题意的，的正整数解，
当时，，此方程无符合题意的，的正整数解，
当时，，
解得：，满足和，，符合题意，
当时，，
解得：，不满足，不符合题意，
当时，，此方程无符合题意的，的正整数解，
当时，，
解得：，不满足，不符合题意，
当时，，
解得，不满足，不符合题意，
或，
或，
的值为4或12，
的最大值是，
故答案位：8，12．
【点睛】本题考查整式的加减，涉及新定义，解题的关键是读懂题意，求出使是13的倍数的正整数，的值．
三、解答题（本大题共8小题，共78.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. 计算下列各题．
（1）；
（2）．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】（1）先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答；
（2）利用二次根式的除法法则进行计算，即可解答．
【小问1详解】
解：

；
【小问2详解】


．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
20. 在学习平行四边形时，刘老师给同学们提了这样一个问题：如图，在▱中，点是边上一点，试证明的面积等于▱的一半，小明的思路是过点作的平行线，转化为证三角形全等解决问题．

请根据小明的思路完成下面作图和解答：
证明：用直尺和圆规，完成基本作图：过点作，交于点（只保留作图痕迹）．
，
______①，
______②，
四边形是平行四边形，
，
______③，
______④，
，（______⑤）
同理可得______⑥，
．
【答案】图见解析；①；②；③；④；⑤；⑥
【解析】
【分析】根据作一个角等于已知角的尺规作图完成基本作图即可；先根据平行线的性质得到，则，再根据平行四边形的性质和平行线的性质得到，则可判断，同理可得，然后根据全等三角形的性质即可得证．
【详解】证明：作图如下：

，
①，
②，
四边形是平行四边形，
，
③，
④，
，
同理可得⑥，
．
故答案为：①；②；③；④；⑤；⑥．
【点睛】本题考查了作一个角等于已知角的尺规作图、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键．
21. 如图，在四边形中，，，，，．
（1）求的长；
（2）求四边形的面积．
【答案】（1）6 （2）
【解析】
【分析】（1）由，即可求解；
（2）可证是直角三角形，由，即可求解．
【小问1详解】
解：，
，
，，
，
的长为；
【小问2详解】
解：，，，
，
，
，
是直角三角形，
，


，
四边形的面积为．
【点睛】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，掌握定理是解题的关键．
22. 如图1，已知矩形中，，，点是边中点，动点从点出发，沿路线运动到点停止，设点运动路程为，线段，，围成图形的面积为．

（1）求关于的函数关系式，并写出自变量取值范围；
（2）在图2中画出一次函数的图象，根据函数图象可知，该函数的性质是_____（写一条即可）；
（3）图2坐标系中已画出函数的图象，请根据图象，直接写出时的取值范围．
【答案】（1）；
（2）画图见解析，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小（答案不唯一）；
（3）画图见解析，．
【解析】
【分析】（1）分两种情况进行讨论，当点在边上时，此时；当点在边上时，此时，分别用含的代数式表示线段长度，计算得出答案；
（2）根据第问求出的函数解析式，在平面直角坐标系中描点绘制函数图象；
（3）观察函数图象可知有两个交点，当时，图象在图象上方，得到的取值范围．
【小问1详解】
解：如图中，当点在边上时，即时，

；
图中，当点在边上时，即时，




，
综上所述，；
【小问2详解】
一次函数的图象如图所示：

该函数的性质是：当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小答案不唯一；
【小问3详解】
由图象可知，时的取值范围是．
【点睛】本题主要考查的是一次函数综合题，涉及到一次函数的基本性质，矩形的性质等，分类求解和数形结合是解答此题的关键．
23. 为加强防诈骗安全教育，提高学生安全意识，某校七、八年级举行了国家安全知识问答活动，现从七、八年级各随机抽取15名学生，对他们在活动中的成绩（百分制）进行整理，描述和分组（成绩用x表示，共分成4组：A．；B．；C．；D．），下面给出部分信息：
七年级学生的成绩在C组中的数据为：89，85，82，87，84．
八年级学生的成绩为：76，72，73，99，82，98，99，86，99，95，89，85，93，89，86．
七年级学生成绩扇形统计图
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：______，______，扇形A的圆心角度数为______°；
（2）根据以上数据，你认为该校哪个年级的学生对国家安全知识掌握更好？请说明理由（写出一条理由即可）．
（3）该校七年级有1200名学生，八年级有1100名学生，若成绩不低于90分记为优秀，试估计该校七、八年级成绩为优秀学生人数之和；
【答案】（1）
（2）八年级，理由见详解
（3）该校七、八年级成绩为优秀的学生人数之和为人．
【解析】
【分析】（1）求出各组数据结合题目原数据即可求解；
（2）根据中位数进行判断即可；
（3）根据对应人数计算总数占比即可；
【小问1详解】
（人）；
（人）；
∴A组人数：（人）；
∴七年级中位数在C组中，
根据七年级学生的成绩在C组中的数据：89，85，82，87，84可知中位数为．
根据八年级学生的成绩为：76，72，73，99，82，98，99，86，99，95，89，85，93，89，86可知众数．
扇形A的圆心角度数为．
故答案为：．
【小问2详解】
八年级的学生对国家安全知识掌握更好，理由如下：
八年级中位数大于七年级的中位数，说明八年级的学生对国家安全知识掌握更好．
【小问3详解】
（人）；
∴该校七、八年级成绩为优秀的学生人数之和为人．
【点睛】本题主要考查扇形统计图、条形统计图、中位数、众数及样本估计总体，掌握相关知识是解题的关键．
24. 近段时间气温逐渐升高，电风扇等电器销量持续走好，我区某电器超市销售每台进价分别为元、元的，两种型号的电风扇，近两周的销售情况如表：
（进价、售价均保持不变，利润销售收入进货成本）
（1）求，两种型号的电风扇的销售单价；
（2）若超市准备用不多于元的金额再采购这两种型号的电风扇共台，为使超市在销售这两种电风扇所获得的利润最大，应采取怎样的进货方案？最大利润是多少？
【答案】（1）型号的电风扇的销售单价是200元，型号的电风扇的销售单价是150元
（2）该超市销售这两种电风扇要获得最大利润，应购进型35台，型15台，此时最大利润是2850元
【解析】
【分析】（1）设种型号的电风扇的销售单价为元，种型号的电风扇的销售单价为元，利用销售总价销售单价销售数量，结合第一、二两周的销售数量及销售总价，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设采购种型号的电风扇台，则采购种型号的电风扇台，利用总价单价数量，结合总价不多于元，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围；再利用总利润每台的销售利润销售数量购进数量即可得出函数解析式，由函数的性质求最值即可．
【小问1详解】
解：设型号的电风扇的销售单价是元，型号的电风扇的销售单价是元，
依题意得：，
解得，
答：型号的电风扇的销售单价是元，型号的电风扇的销售单价是元；
【小问2详解】
设型号的电风扇购进台，则购买型号台，
则应满足，
解得，
设该超市销售这两种电风扇获得的利润是元，
则，
，
随的增大而增大，
∵，
当时，最大，最大利润为（元），
答：该超市销售这两种电风扇要获得最大利润，应购进型台，型台，此时最大利润是元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：①找准等量关系，正确列出二元一次方程组；②根据各数量之间的关系，正确列出一次函数解析式和一元一次不等式．
25. 如图1，已知一次函数图象分别与，轴交于点，两点．

（1）求该一次函数解析式；
（2）点是正比例函数图象与该一次函数图象的交点，轴上有一动点，求的最小值及此时点的坐标；
（3）在（2）的条件下，将一次函数图象沿轴翻折，点对应点为，是轴上一点，点是正比例函数图象上一点，当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点的坐标．
【答案】（1）
（2），
（3）或或
【解析】
【分析】（1）待定系数法求函数解析式即可；
（2）先求出点坐标，作点关于轴的对称点，连接，与轴交于点，根据两点之间的距离公式求的值，求出直线的函数解析式，进一步即可求出点坐标；
（3）设点，，以，，，为顶点的四边形是平行四边形，分情况讨论：以，为对角线，以，为对角线，以，为对角线，分别列二元一次方程组，求解即可．
【小问1详解】
解：设该一次函数解析式为，
将，两点代入得，
解得，
该一次函数解析式为；
【小问2详解】
解：解方程组，
解得，
，
如图，作点关于轴对称点，连接交轴于点，连接，
，
，
故，
即线段为的最小值，
在中，令，则，
，
则，
，
即的最小值为；
此时由，得到直线解析式为，
当时，，
；
【小问3详解】
解：，
点对应点为，
设点，，
；
以，，，为顶点的四边形是平行四边形，分情况讨论：
以，为对角线，
可得，
解得，
点坐标为，
以，为对角线，
可得，
解得，
点坐标为，
以，为对角线，
得，
解得，
点坐标为，
综上，点的坐标为或或．
【点睛】本题考查了一次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式，利用轴对称性质求最小值，平行四边形的判定等，本题综合性较强，难度较大．
26. 菱形中，，连接，点是边上一点，连接交于点．
（1）如图1，若，当时，求的长；
（2）以为边向右侧作等边，连接，．
①如图2，点是中点，连接，求证：；
②如图3，当时，直接写出的值．
【答案】（1）；
（2）①见解析；②
【解析】
【分析】（1）由菱形可知，，平分，进而得到，，中，，在中，，；
（2）①延长至，使，即，连接，易通过证明≌，得到，，进而可得，由平行线的性质可得，由等边三角形的性质可知，，于是，易得，则，根据等角加同角相等得，于是可通过证明≌，得到，由可得；②连接交于点，过点作于点，设，则，，易得为等边三角形，，利用含度角的直角三角形性质得，，进而得到，由平行线的性质得到，因此，利用含度角的直角三角形性质得，根据三角形面积公式求得，等等角加同角相等可得，于是根据证明，得到，，则，根据三角形面积公式求得，再进一步计算即可求解．
【小问1详解】
解：四边形是菱形，，
，，平分，
，
，
，
，
，，
，
，，
∴，
∴，
，；
【小问2详解】
①证明：如图，延长至，使，即，连接，
点为的中点，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
；
②解：如图，连接交于点，过点作于点，
设，则，
，
四边形为菱形，，
，，，，，
为等边三角形，
，
在中，，，
，
，
，即，
，
在中，，
，
为等边三角形，
，，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
．
【点睛】本题主要考查菱形的性质、含度角的直角三角形性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、平行线的性质、三角形的面积，解题关键是熟知菱形的性质，正确作出辅助线，构造全等三角形，利用全等三角形的性质解决问题．
一周劳动时间
4
5
6
7
人数
2
3
4
1
七、八年级学生成绩对比统计表
统计量
平均数
中位数
众数
七年级
88
a
98
八年级
88
89
b
销售时段
销售数量
销售收入/元
种型号/台
种型号/台
第一周
第二周