2026年新高考数学专题复习学案 63.最小角定理与最大角定理

这是一份2026年新高考数学专题复习学案 63.最小角定理与最大角定理，共5页。
1.三余弦定理：
设为面上一点，过的斜线在面上的射影为，为面上的一条直线，则
证明：如图，过点作，由于，则，从而.
于是，，于是得证：
2.推论（最小角定理）：由于.
这说明：线面角是斜线与平面内任意直线的所成角的最小值，即线面角是线线角的最小值，
又称最小角定理.（凌晨讲数学）
3.最大角定理
锐二面角在一个半平面内的动直线与另一个半平面所成的线面角小于等于此二面角的平面角.
证明：如图，在平面内任取一条直线，作，垂足为，作，垂足为，易得直线与所成的角为，二面角所成的平面角为，则
，且，所以.
二．典例分析
例1.（佛山市2025届高三一模） 已知直线与平面所成的角为，若直线，直线，设与的夹角为，与的夹角为，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
解析：显然选A
例2．已知三棱锥的棱长均为平面为中点，.记和直线所成角为，则该三棱锥绕旋转的过程中，的最小值是___________.
解析：设与平面所成角为，因为，和直线所成角为，所以；
取的中点，连接，因为分别为中点，所以，或其补角是与所成角；在中，，所以且为锐角.三棱锥绕旋转的过程中，由线面角的性质可知， ，所以，即的最小值为.故答案为：.
例3（2017年全国卷3理16）为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角的直角边所在直线与都垂直，斜边以直线为旋转轴旋转，有下列结论：
①当直线与成角时，与成角；
②当直线与成角时，与成角；
③直线与所成角的最小值为；
④直线与所成角的最小值为.
其中正确的是_______（填写所有正确结论的编号）.（公众号：凌晨讲数学）
解析：如图所示，设为直线，为直线，过分别作的平行线，，则直线与直线所成的角分别为，.注意到，当斜边以直线为旋转轴旋转时，平面始终与所确定的平面是垂直的，设，由题意可知.
根据三余弦公式，有，同理，有，由此可以判断命题②③正确.
例4.（2018浙江8）已知四棱锥的底面是正方形，侧棱长均相等，是线段上的点（不含端点）.设与所成的角为，与平面所成的角为，二面角的平面角为，则.
A. B. C. D.
解：如图4，作垂直于平面，垂足为，取的中点，连接.过作垂直于直线，可知，过固定下的二面角与线面角关系，得.易知，也为与平面的线面角，即与平面的线面角，根据最小角定理，与直线所成的线线角，所以，故选D.


三．习题演练
1．已知直线和平面所成的角为，则直线和平面内任意直线所成的角的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
解析：根据线面角的定义，线面角是平面外的直线与平面内所有直线所成角中最小的角，
故与内直线所成角的最小值为，当在内的射影与平面内的直线垂直时，与之所成的角为，故与内直线所成角的范围为.故选：D.
2已知三棱锥 D−ABC, 平面 DAB⊥ 平面 ABC,记二面角 D−AC−B 的平面角 α,DA 与底面 ABC 所成的角为 β,AB 与平面 ADC 所成的角为 γ, 则
A. α⩾β⩾γB. β⩾α⩾γC. α⩾γ⩾βD. γ⩾α⩾β
解析：由最大角定理可知 β⩽α. 因为 β 可看作 AB 与 AD 成的角 (线线角), γ 是 AB 与平面 ADC 所 成的角 (线面角), 所以由最小角定理得 β⩾γ, 故选 A.
3.如图, 在棱长为 3 的正方体 ABCD−A1B1C1D1 中, 点 P 是平面 A1BC1 内一动点, 且满足 |PD| +PB1=2+13, 则直线 B1P 和直线 AD1 所成角的余弦值的取值范围为
A. 0,12B. 0,13C. 12,22D. 12,32
解析 设 B1D∩ 面 A1BC1=E, 则 DE=23DB1=23,B1E=13DB1=3, (利用等积法或截面平几法 皆可轻松证明)
因为 |PD|+PB1=2+13, 所以点 P 在以 D,B1 为焦点的椭球面上, 此椭球的焦距为 DB1=33, 长 轴为 2+13;
又点 P 是平面 A1BC1 内一动点, 易知平面 A1BC1 截粗球的图形为圆面, 故点 P 的轨迹是以 E 为圆心的 圆, 即 EP 为定值, 易求得 PE=1.
所以直线 B1P 和直线 AD1 所成角即为 B1P 和直线 BC1 所成角, 由最小角定理可知, B1P 和底面 A1BC1 所成的线面角 θ 即为 B1P 和直线 BC1 所成角的最小值，
易知 θ=π3, 且 B1P 和直线 BC1 所成角的最大值为 π2, 故直线 B1P 和直线 AD1 所成角的余弦值的取值 范围为 0,12.