2026年新高考数学专题复习学案 95.圆锥曲线的光学性质

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1.抛物线的光学性质：
如图1所示，从抛物线的焦点F发出的光线，被抛物线反射后，得到的是一系列的与抛物线对称轴平行(或重合)的光线；如图2所示，设抛物线在P处的切线l交对称轴于点Q，PM⊥上切线l交对称 PM⊥轴于点 M，则焦点F是QM的中点.
2.椭圆的光学性质：
如图3所示，从椭圆的一个焦点发出的光线，被椭圆反射后，必定经过另一个焦点；如图4所示，椭圆在点P处的切线为l，直线PQ⊥l PQ⊥l交直线 F₁F₂,于点Q,则PQ平分 ∠F₁PF₂,由角平分线性质定理， |PF1||PF2|=|QF1||QF2|.
3.双曲线的光学性质：
如图5所示，从双曲线一个焦点发出的光线，被双曲线反射后，反射光线的反向延长线交于另一个焦点；如图6所示，双曲线在点 P 处的切线l与直线 F₁F₂相交于点Q，则PQ平分. ∠F₁PF₂,由角平分线性质定理， |PF1||PF2|=|QF1||QF2|
二．典例分析
例1．历史上第一个研究圆锥曲线的是梅纳库莫斯(公元前375年—325年)，大约100年后，阿波罗尼奥斯更详尽、系统地研究了圆锥曲线，并且他还进一步研究了这些圆锥曲线的光学性质，比如：从抛物线的焦点发出的光线或声波在经过抛物线反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的光线，经抛物线反射后，反射光线经过抛物线的焦点.设抛物线：，一束平行于抛物线对称轴的光线经过，被抛物线反射后，又射到抛物线上的点，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
解析：设从点沿平行于抛物线对称轴的方向射出的直线与抛物线交于点，易知，将代入抛物线方程得，即，设焦点为，则，设，由，，三点共线，有，化简得，
解得或(舍)，即.故选：D
例2．抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经拋物线反射之后得到的光线平行于抛物线的对称轴：反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射出，经过拋物线上的点反射后，再经抛物线上的另一点射出，则的周长为（ ）
A．B．C．D．
解析：抛物线的焦点为，准线为，由点在抛物线上，则，
直线方程为：，即，由，消去得，解得或，由，得，于是，，而，
所以的周长为.故选：D

例3．阿波罗尼斯（约公元前262年～约公元前190年），古希腊著名数学家﹐主要著作有《圆锥曲线论》、《论切触》等.尤其《圆锥曲线论》是一部经典巨著，代表了希腊几何的最高水平，此书集前人之大成，进一步提出了许多新的性质.其中也包括圆锥曲线的光学性质，光线从双曲线的一个焦点发出，通过双曲线的反射，反射光线的反向延长线经过其另一个焦点.已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，其离心率，从发出的光线经过双曲线C的右支上一点E的反射，反射光线为EP，若反射光线与入射光线垂直，则（ ）
A．B．C．D．
解析：设，，，由题意知，，，
所以，，，所以，
又，所以，解得，所以.
故选：B.
例4．椭圆具有如下光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点（如图）.已知椭圆的左､右焦点分别为，过点的直线与交于点，，过点作的切线，点关于的对称点为，若，，则（ ）
注：表示面积.
A．2B．C．3D．
解析：如图，由椭圆的光学性质可得三点共线.设，
则.
故，解得.又，所以，所以.
故选：C.
例5．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出去.反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.己知抛物线为坐标原点，一束平行于轴的光线从点射入，经过上的点反射后，再经上另一点反射后，沿直线射出，经过点，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．平分
D．延长交直线于点.则三点共线
解析：代入得，所以，又，直线方程为，即，由，解得或，所以，
即，，A错；
，B正确；
，，即，，又，即，且都是锐角，所以，C正确；
准线的方程是，直线方程为，由代入得，即，
所以在直线上，D正确.故选：BCD.
例6．双曲线具有光学性质：从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．如图，双曲线的左、右焦点分别为，从发出的两条光线经过的右支上的两点反射后，分别经过点和，其中共线，则（ ）
A．若直线的斜率存在，则的取值范围为
B．当点的坐标为时，光线由经过点到达点所经过的路程为6
C．当时，的面积为12
D．当时，
解析：如图所示，过点分别作的两条渐近线的平行线，则的斜率分别为和，
对于A中，由图可知，当点均在的右支时，或，所以A正确；
对于B中，光线由经过点到达点所经过的路程为
，所以B正确；
对于C中，由，得，即，所以，
设，则，因为，所以，整理得，解得或（舍去），所以，，所以的面积，所以C错误；
对于D项，在直角中，，所以，所以D正确．故选：ABD．
例7．如图甲，从椭圆的一个焦点出发的光线或声波，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，其中法线表示与椭圆C的切线垂直且过相应切点的直线，如图乙，椭圆C的中心在坐标原点，焦点为，，由发出的光经椭圆两次反射后回到经过的路程为8c．利用椭圆的光学性质解决以下问题：
椭圆C的离心率为_________；点P是椭圆C上除顶点外的任意一点，椭圆在点P处的切线为l，在l上的射影H在圆上，则椭圆C的方程为_________.
解析：设椭圆C的长轴长为，因为由发出的光经椭圆两次反射后回到经过的路程为8c，所以，得，所以椭圆C的离心率为，
如图，延长交于点，在中，，由反射角等于入射角，可得，所以，且为的中点，在中，，因为在l上的射影H在圆上，所以，所以，所以，所以，所以椭圆的方程为. 故答案为：，
例8．如图所示，由圆锥曲线的光学性质知道：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射（即经椭圆在该点处的切线反射）后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．已知椭圆C的方程为，其左、右焦点分别是，，直线l与椭圆C相切于点，过点P且与直线垂直的直线与椭圆长轴交于点M，则__________.

解析：因为直线与椭圆C相切于点，所以，解得，由椭圆C的方程为，所以,,由椭圆的定义可知：，由椭圆的光学性质得到直线平分，可得.
故答案为：.
例9．双曲线具有如下光学性质:从一个焦点发出的光线经双曲线反射后，反射光线的反向延长线一定经过另一个焦点.已知双曲线，如图从的一个焦点射出的光线，经过两点反射后，分别经过点和.若，则的离心率为__________.
解析：由双曲线的光学性质可知,的反向延长线交于双曲线的左焦点,如图所示：
由，两边平方可得,
所以，所以，所以，又，所以，设则，设，则，
根据双曲线定义，可得，所以，解得，所以在中，所以所以C的离心率为.故答案为：.
例10．已知椭圆C：上、下顶点分别为，且短轴长为，T为椭圆上（除外）任意一点，直线的斜率之积为，，分别为左、右焦点．
（1）求椭圆C的方程．
（2）“天眼”是世界上最大、最灵敏的单口径射电望远镜，它的外形像一口“大锅”，可以接收到百亿光年外的电磁信号．在“天眼”的建设中，用到了大量的圆锥曲线的光学性质，请以上面的椭圆C为代表，证明：由焦点发出的光线射到椭圆上任意一点M后反射，反射光线必经过另一焦点．（提示：光线射到曲线上某点并反射时，法线垂直于该点处的切线）
解析：（1）由题意知，直线的斜率存在且不为0，设，直线的斜率分别为，，由题意知，，由得，整理得，故椭圆C的方程为．
（2）
当M为椭圆顶点时结论显然成立，当M不是椭圆顶点时，要证明结论成立，只需证明法线平分．设M点坐标为，则．设与椭圆切于M点的切线方程为，与椭圆方程联立得消去y得：，，得．
所以切线斜率为，所以法线斜率为，法线方程为，令，可得法线与x轴交点N的横坐标为，易知，，所以，，，
所以，，所以，则或（舍去），
所以法线MN平分，所以原结论成