2026年新高考数学专题复习学案 21.导数与圆锥曲线的综合性压轴

这是一份2026年新高考数学专题复习学案 21.导数与圆锥曲线的综合性压轴，共8页。
例1.（2024年四川省预赛）已知为正实数,若曲线与椭圆交于、两个不同的点,求证:直线的斜率.
解析：设，其中.注意到对数不等式:若,则. 取，得.
①将和
相减，得②.再将和相加，得③.注意到:时，由知，结合①②③知：
，解得.
在这里用到了指数均值不等式，它是很多导数与圆锥曲线综合问题的秘密武器，下面给出详细介绍：
1.指数均值不等式.若，则.
证明：（方法1.双变量消元直接证明）
欲证，两边同除以，即证，即证，即证
令即证不等式当时恒成立.
设，∴
而，即，∴，∴在上是减函数，又∴恒成立，得证.
接着证明右边的不等式，同样设等价于.令，则，两边同时除以得1）.
设
，再求（因为），所以在上单调递增.由于，因为在上单调递增，所以在上单调递增，1），即
0，所以，也就是.
综上，不等式得证.
（方法2.对数均值不等式转化）
两个正数和的对数平均定义：，对数平均与算术平均､几何平均的大小关系：
（此式记为对数平均不等式），取等条件：当且仅当时，等号成立．
证明如下：不失一般性，可设．（1）先证：……①
不等式①（其中）
构造函数，则．
因为时，，所以函数在上单调递减，故，从而不等式①成立.
（2）再证：……②
不等式②（）
构造函数，则．
因为时，，所以函数在上单调递增，
故，从而不等式②成立；综合（1）（2）知，对，都有对数平均不等式成立，当且仅当时，等号成立．
设，则，将代入对数均值不等式中，可得，即
把代入.
综上，由对数均值不等式可得到指数均值不等式.
例2 ．已知函数的图象与椭圆交于两个不同的点.是上的点，在处的切线交轴于点，过作轴的垂线交于在处的切线交轴于点，过作轴的垂线交于，重复上述操作，依次得到.
（1）求；
（2）记直线的斜率为.
（i）设的面积分别为，证明：；
（ii）若，求证：.
解析：（1）由题意在处的切线方程为；
令，可得，即.由可知在处的切线方程为；令可得，即；所以数列是以为首项，公差为的等差数列，所以.
（2）（i）设，由题意不同时为0，不妨令且；
.由（1）可知；
则.要证，即证，即证；令，即证，再令，即证，即证.构造函数，则，所以在上单调递增；即.所以得证.即.
（ii）由（i）可知，，所以.因为，得；即，即.
得，因为，所以；所以.所以.即.当时，有，即；所以，从而.
三．习题演练
1.（24届深圳中学高三检测）若曲线和圆相交于两个不同点，记直线的斜率为.
（1）当时，证明：；
（2）当时，证明：.
解析：我们来考虑曲线和圆相切的情形，假设其相切于点，根据圆在的切线方程为：，对于曲线而言,过点的切线为即，故，代入，解得:
又点在曲线上,解得要相交于两点,故向上平移,所以，此时，切线的斜率为.可以看到，这个题目的几何背景就是这样一个公切线背景.当然，代数证明方法较多，可见相关公众号.（公众号：凌晨讲数学）
2．（23届青岛高三二模）已知函数，圆．
（1）若，写出曲线与圆C的一条公切线的方程(无需证明)；
（2）若曲线与圆C恰有三条公切线．
（i）求b的取值范围；
（ii）证明：曲线上存在点，对任意，．
解析：（1）设f(x)的切线的切点为，∵，∴切线斜率为，
∴切线方程为，即，当b＝1时，圆的圆心为，半径为，当f(x)的切线也是圆的切线时，，即，易知是该方程的一个根，此时切线方程为．
（2）（i）设曲线与圆公切线的方程为(显然，l斜率存在)，∵与曲线相切，故，∴切点为，，即，即，∵与圆相切，∴，即，
∴，令，
则，设，则，易证明：．
①当时，∵在上单调递增，在上单调递减；∴，
∵，，；
∴存在，，使得．∴，，∴在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减；∵，且，又∵，且，
∴存在，使得，
∴当时，曲线与圆恰有三条公切线；（公众号：凌晨讲数学）
②当时，∵；∴存在，使得，∴在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减；∴，且，
∴不可能存在三个零点；
③当时，；∴在上单调递减，最多一个零点；∴最多一个极值点，不可能有三个零点；
综上，若曲线与圆恰有三条公切线，则的取值范围为．
（ii）函数的零点，即方程的解，即曲线和曲线交点的横坐标，结合图象，
显然存在，使得成立，∴对任意恒成立．
3．（24届高三温州二模） 如图，对于曲线，存在圆满足如下条件：
①圆与曲线有公共点，且圆心在曲线凹的一侧；
②圆与曲线在点处有相同的切线；（公众号：凌晨讲数学）
③曲线的导函数在点处的导数（即曲线的二阶导数）等于圆在点处的二阶导数（已知圆在点处的二阶导数等于）；
则称圆为曲线在点处的曲率圆，其半径称为曲率半径．
（1）求抛物线在原点的曲率圆的方程；
（2）求曲线的曲率半径的最小值；
（3）若曲线在和处有相同的曲率半径，求证：．
解析：（1）记，设抛物线在原点的曲率圆的方程为，其中为曲率半径．则，，故，，即，
所以抛物线在原点的曲率圆的方程为；
（2）设曲线在的曲率半径为．则，
由知，，所以 ，
故曲线在点处的曲率半径，所以，则，则，当且仅当，即时取等号，故，曲线在点处的曲率半径．
（3）函数的图象在处的曲率半径，故，
由题意知： 令，则有，所以，即，故． 因为，所以，
所以，所以．