2026年新高考数学专题复习学案 92.圆锥曲线第二定义与应用

这是一份2026年新高考数学专题复习学案 92.圆锥曲线第二定义与应用，共8页。
1.椭圆第二定义
已知点到定点的距离与它到定直线的距离之比是常数
，求点的轨迹.
解析：化简得
令，上述方程就可化为
2.双曲线第二定义
类似地，我们可以得到:当点到定点的距离和它到定直线的距离之比是常数时，这个点的轨迹是双曲线，方程为(其中)，这个常数就是双曲线的离心率.
解析：设是动点，定点为，定直线为，常数，由上述可得：，化简得到．其中．
3.抛物线的定义是众所周知的，不再赘述.
4.圆锥曲线第二定义
这样，圆锥曲线可以统一定义为:平面内到一个定点和到一条定直线不在上)的距离之比等于常数的点的轨迹.
当时，它是椭圆；当时，它是双曲线；当时，它是抛物线.其中是圆锥曲线的离心率，定点是圆锥曲线的焦点，定直线是圆雉曲线的准线.
二．典例应用
例1.圆锥曲线焦半径：椭圆，，分别为其左右焦点，为椭圆上一点，那么该椭圆左准线为，右准线为，根据椭圆第二定义：椭圆上的点到焦点的距离与它到对应准线的距离之比等于离心率
则，．
同理对于双曲线有相似的结论成立：为双曲线上的一点，，分别为双曲线的左右焦点，则，．
例2.（2018全国三卷）已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为．
（1）证明：；
（2）设为的右焦点，为上一点,且．证明：，，成等差数列，并求该数列的公差．
解：（1）设，则.两式相减，并由得.由题设知，于是.①
由题设得，故.
（2）由题意得，设，则.
由（1）及题设得. 又点P在C上，所以，从而，. 于是
. 同理.
所以.故，即成等差数列.设该数列的公差为d，则.②，将代入①得.所以l的方程为，代入C的方程，并整理得：
.故，代入②解得. 所以该数列的公差为或.
例3.已知直线与双曲线的左右两支分别交于、两点，与双曲线的右准线相交于点，点为右焦点，若，，则实数的值为_________.
解析：记、在右准线上的射影分别为点、，由及双曲线第二定义知：，又，所以，从而，则.
例4.证明：角度形式焦半径：上加下减，即
证明：设椭圆的准线与轴交于点，为椭圆的左右焦点，过右焦点的直线与椭圆交于两点.设，过两点向准线引垂线，垂足记为点.根据椭圆第二定义，,.过两点再向轴引垂线，垂足记为点.
显然，再代入可得，整理化简：
同理可得：
类似地，双曲线的一个焦点为F，P为双曲线上任意一点，设，则双曲线的焦半径，若直线交双曲线于另一点Q，则双曲线的焦点弦.（焦半径公式中取“+”还是取“－”由P和F是否位于y轴同侧决定，同正异负）
例5.已知椭圆，左焦点为，在椭圆上取三个不同点、、，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
解析：在椭圆中，，，，如下图所示：
椭圆的左准线为，以为顶点，轴的正方向为始边的方向，为角的终边，当时，过点作，过点作，垂足分别为点、，
易知四边形为矩形，则，由椭圆第二定义可得，则，又因为轴，则，所以，，所以，，因为，即，所以，，
同理可知，当为任意角时，等式仍然成立，同理可得，，因此，
，故的最小值为.故选：B.
例6．（1）设椭圆（）的左、右焦点分别为F1−c,0，，左、右准线方程分别为：，：.如图，由椭圆上的动点Px0,y0向，分别作垂线，垂足分别为，.椭圆的第二定义指出如下性质：椭圆的离心率（，）.请利用椭圆的第二定义证明：焦半径公式，.
（2）借助（1）中焦半径公式解决问题：已知为椭圆上两个不同的点，为右焦点，，若线段的垂直平分线交轴于点，求.
解析：（1）由，得，，又，，所以，，
即，.
（2）由题意，在椭圆中，，，，.设Ax1,y1，Bx2,y2，
则由焦半径公式，得，所以，所以线段的中点为.设.由题意知，直线与坐标轴不平行，且直线的斜率，所以线段的垂直平分线的斜率为，则线段的垂直平分线方程为.代入，得
，解得，所以.
三．习题演练
1.如图，中心在原点O的椭圆的右焦点为，右准线l的方程为：．
(1)求椭圆的方程；
(2)在椭圆上任取三个不同点，使，证明：为定值，并求此定值．
解析：（1）设椭圆方程为．因焦点为，故半焦距，又右准线的方程为，从而由已知，因此，，故所求椭圆方程为.
（2）
记椭圆的右顶点为A，并设（1，2，3），不失一般性，假设 ，且，．又设点在上的射影为，因椭圆的离心率，从而有 ．
解得 ．
因此，
而，
故为定值．综上，椭圆方程为；.
2.椭圆、双曲线、抛物线三种圆锥曲线有许多相似性质．比如三种曲线都可以用如下方式定义（又称圆锥曲线第二定义）：到定点的距离与到定直线的距离之比为常数e的点的轨迹为圆锥曲线．当为椭圆，当为抛物线，当为双曲线．定点为焦点，定直线为对应的准线，常数e为圆锥曲线的离心率．依据上述表述解答下列问题．
已知点，直线动点满足到点F的距离与到定直线l的距离之比为
(1)求曲线的轨迹方程；
(2)在抛物线中有如下性质：如图，在抛物线中，O为抛物线顶点，过焦点F的直线交抛物线与A，B两点，连接，并延长交准线l与D，C，则以为直径的圆与相切于点F，以为直径的圆与相切于中点．那么如图在曲线E中是否具有相同的性质？若有，证明它们成立；若没有，说明理由．
解析：（1）由题知，曲线的轨迹为焦点在轴上的椭圆，且，所以
所以椭圆E的轨迹方程为
（2）以为直径的圆与不相切．理由如下：当焦点弦的最大值为长轴长，此时圆方程为，圆与直线相离；当轴时焦点弦的最短，此时圆方程为，圆与直线相离；以为直径的圆与相切于点F，证明如下：
设，，直线的方程为
由化简得由韦达定理得
直线的方程为，令，得，
同理，
，，所以，以为直径的圆过点F
又因为中点坐标为，而，即
所以，，所以为直径的圆与相切于点F