专题05 圆锥曲线的光学性质问题-2022年高考数学圆锥曲线压轴题专题突破（通用版）

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专题5、圆锥曲线的光学性质
从近几年圆锥曲线的命题风格看，既注重知识又注重能力，既突出圆锥曲线的本质特征。而现在圆锥曲线中面积、弦长、最值等几乎成为研究的常规问题。从八省联考的趋势看圆锥曲线的光学性质和新定义问题必将在高考占一席之地。因此在高考数学复习中，通过让学生研究圆锥曲线的光学性质和新定义的相关问题，快速提高学生的数学解题能力，增强学生的信心，备战高考．

1）椭圆的光学性质：
1．（2020.河北衡水中学高三模拟）人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律:如图，卫星在以地球的中心为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径(卫星与地心的连线)在相同的时间内扫过的面积相等设该椭圆的长轴长、焦距分别为，.某同学根据所学知识，得到下列结论:

①卫星向径的取值范围是;②卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁
③卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间;④卫星运行速度在近地点时最小，在远地点时最大.其中正确的结论是（ ）
A．①② B．①③ C．②④ D．①③④
【答案】B
【分析】①根据椭圆的简单几何性质可知卫星向径的最小值和最大值分别为什么；
②根据向径的最小值与最大值的比值，结合椭圆的性质即可得出结论；
③根据在相同的时间内扫过的面积相等，即可判断
④根据题意结合椭圆的图形知卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小．
【解析】如图所示，对于①，卫星向径的最小值为，最大值为，①正确；
对于②，卫星向径的最小值与最大值的比值为，越小，就越大，就越小，椭圆轨道越扁，②错误；

对于③，根据在相同的时间内扫过的面积相等，卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间，③正确；对于④，卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小，④错误；
综上，正确结论的序号是①③，共2个．故选．
【点睛】本题考查椭圆的相关性质，以及物理学中开普勒定律的理解，属于基础题．
2．（2021·全国高三模拟）如图所示，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.根据椭圆的光学性质解决下题：已知曲线的方程为，其左、右焦点分别是，，直线与椭圆切于点，且，过点且与直线垂直的直线与椭圆长轴交于点，则（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由椭圆的光学性质得到直线平分角，
因为
由，得到，故 .故答案为C.
3．（2020·成都七中高三模拟）椭圆有如下光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆反射，其反射光线必经过椭圆的另一焦点，已知椭圆，其长轴的长为，焦距为，若一条光线从椭圆的左焦点出发，第一次回到左焦点所经过的路程为，则椭圆的离心率为_____.
【答案】或或
【分析】由题意结合椭圆的定义分类讨论确定椭圆的离心率即可.
【解析】依据椭圆的光学性质，光线从左焦点出发后，有如图1，图2，图3所示的三种路径．
路径一，4a=5c，则e=；路径二，2（a-c）=5c，则e=；路径三，2（a+c）=5c，则.
故椭圆C的离心率为或或.

【点睛】本题主要考查椭圆离心率的求解，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

2）双曲线的光学性质
1．（2020·江苏省镇江中学高三月考）智慧的人们在进行工业设计时，巧妙地利用了圆锥曲线的光学性质，比如电影放映机利用椭圆镜面反射出聚焦光线，探照灯利用抛物线镜面反射出平行光线.如图，从双曲线右焦点发出的光线通过双曲线镜面反射出发散光线，且反射光线的反向延长线经过左焦点.已知双曲线的离心率为，则当入射光线和反射光线互和垂直时(其中为入射点)，的大小为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先利用双曲线的离心率为，得到，不妨设双曲线的标准方程为，设，利用双曲线的定义得到的长，直角三角形中利用勾股定理求出，求出即可得出结果.
【详解】因为，所以，，
不妨设双曲线的标准方程为，设，则.
所以，解得(已舍去).
所以，所以.故选：D.
【点睛】本题主要考查了利用双曲线的相关知识解决实际问题.属于较易题.
2．（2020·福建高三期末）光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出.如图，一个光学装置由有公共焦点，的椭圆与双曲线构成，现一光线从左焦点发出，依次经与反射，又回到了点，历时秒；若将装置中的去掉，此光线从点发出，经两次反射后又回到了点，历时秒；若，则与的离心率之比为（ ）
A． B． C． D．

【答案】B
【分析】根据椭圆和双曲线的定义，分别列出关系式再做差，得出椭圆双曲线“复合”光学装置中光线路程；然后计算单椭圆光学装置中光线路程，两者相比可得出椭圆长半轴和双曲线实半轴的关系，即可得两离心率的关系.
【解析】解：如图，由双曲线定义得： ①，

由椭圆定义得： ②，②-①得：；
所以椭圆双曲线“复合”光学装置中，光线从出发到回到左焦点走过的路程为
对于单椭圆光学装置，光线经过2次反射后回到左焦点，路程为
；
由于两次光速相同，路程比等于时间比，所以，所以.
所以.故选B.
【点睛】本题考查对圆锥曲线的定义的掌握与应用能力、识图能力、阅读及文字理解能力，属于基础题.
3．（2020·安徽省高三期末）光线被曲线反射，等效于被曲线在反射点处的切线反射．已知光线从椭圆的一个焦点出发，被椭圆反射后要回到椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点出发被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点发出；椭圆与双曲线有公共焦点（如图），现一光线从它们的左焦点出发，在椭圆与双曲线间连续反射，则光线经过次反射后回到左焦点所经过的路径长为 （ ）

A． B． C． D．
【答案】D
分析：根据题意，可知光线从左焦点出发经过椭圆反射要回到另一个焦点，光线从双曲线的左焦点出发被双曲线反射后，反射光线的反向延长线过另一个焦点，从而可计算光线经过2k（k∈N*）次反射后回到左焦点所经过的路径长．

【解析】因为光线被曲线反射，等效于被曲线在反射点处的切线反射．已知光线从椭圆的一个焦点出发，被椭圆反射后要回到椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点出发被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点发出
所以，光线从左焦点出发经过椭圆反射要回到另一个焦点，光线从双曲线的左焦点出发被双曲线反射后，反射光线的反向延长线过另一个焦点
如图，AF2=2m+AF1，BF1+BA+AF1=2a-AF2+AF1=2a-（2m+AF1）+AF1=2a-2m
所以光线经过2k（k∈N*）次反射后回到左焦点所经过的路径长为2k（a-m）故选D．
4．（2020·广东省高三模拟）阅读下列材料，解决数学问题．圆锥曲线具有非常漂亮的光学性质，被人们广泛地应用于各种设计之中，比如椭圆镜面用来制作电影放映机的聚光灯，抛物面用来制作探照灯等，它们的截面分别是椭圆和抛物线．双曲线也具有非常好的光学性质，从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线是发散的，它们好像是从另一个焦点射出的一样，如图（1）所示．反比例函数的图像是以直线为轴，以坐标轴为渐近线的等轴双曲线，记作C．(Ⅰ)求曲线C的离心率及焦点坐标；(Ⅱ)如图（2），从曲线C的焦点F处发出的光线经双曲线反射后得到的反射光线与入射光线垂直，求入射光线的方程．

【答案】(Ⅰ)答案见解析；(Ⅱ).
【分析】(Ⅰ)由题意联立直线方程与双曲线方程确定a,b,c的值即可确定焦点坐标和离心率；
(Ⅱ)由题意首先确定直线与反比例函数的交点坐标，然后结合点的坐标求解直线方程即可.
【解析】 (Ⅰ)联立直线方程与反比例函数可得双曲线的顶点坐标为，，
结合题意可得：，，则离心率，
且，故焦点坐标为，.
(Ⅱ)设入射光线与反比例函数的交点坐标为，由可得：
，整理可得：，
则，很明显，故，
则，原问题等价于求解直线PF的方程，
计算可得其方程为：.
【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，双曲线离心率的求解，双曲线的光学性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

3）抛物线的光学性质
1．（2020·绥阳县绥阳中学高考模拟）抛物线有如下光学性质：过焦点的光线（光线不同过抛物线对称轴上任意两点）经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.若一条平行于轴的光线从射出，经过抛物线上过的点反射后，再经抛物线上的另一点反射出，则直线的斜率为
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出A点坐标，根据光学性质可知直线AB经过焦点，从而得到结果.
【解析】代入解，得.即.由抛物线的光学性质知，直线经过焦点，
所以直线的斜率.故选A.
【点睛】本题考查抛物线的光学性质，考查抛物线的标准方程，考查直线的斜率的求法，属于基础题.
2．（2020·山东高三）抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线的焦点为F，一条平行于x轴的光线从点射出，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题中光学性质作出图示，先求解出点坐标以及直线的方程，从而联立直线与抛物线方程求解出点坐标，再根据焦半径公式以及点到点的距离公式求解出的三边长度，从而周长可求.
【详解】如下图所示：因为，所以，所以，所以，
又因为，所以，即，
又，所以，所以或，
所以，所以，所以，
又因为，，，
所以的周长为：，故选：B.

【点睛】结论点睛：抛物线的焦半径公式如下：（为焦准距）
（1）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则；
（2）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则；
（3）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则；
（4）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则.
3．（2020·湖南高三（文））抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.现有抛物线，如图一平行于轴的光线射向抛物线，经两次反射后沿平行轴方向射出，若两平行光线间的最小距离为4，则该抛物线的方程为__________．

【答案】
【分析】先由题意得到必过抛物线的焦点，设出直线的方程，联立直线与抛物线方程，表示出弦长，再根据两平行线间的最小距离时，最短，进而可得出结果.
【解析】由抛物线的光学性质可得：必过抛物线的焦点，
当直线斜率存在时，设的方程为，，
由得：，整理得，
所以，，所以；
当直线斜率不存在时，易得；综上，当直线与轴垂直时，弦长最短，
又因为两平行光线间的最小距离为4，最小时，两平行线间的距离最小；
因此，所求方程为.故答案为
【点睛】本题主要考查直线与抛物线位置关系，通常需要联立直线与抛物线方程，结合韦达定理、
弦长公式等求解，属于常考题型.
4．（2020·重庆高三月考）光学是当今科技的前沿和最活跃的领域之一，抛物线有如下光学性质:由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出，今有抛物线，一平行于轴的光线从上方射向抛物线上的点，经抛物线2次反射后，又沿平行于轴方向射出，若两平行光线间的最小距离为8. （1）求抛物线的方程；（2）若直线与抛物线交于，两点，以点为顶点作，使的外接圆圆心的坐标为，求弦的长度.

【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）由题意设直线方程为：，，然后直线方程与抛物线方程联立成方程组，运用韦达定理得，，而两平行光线距离，由此得，进而得抛物线的方程；（2）设，，，中点，然后直线与抛物线方程联立方程组消元后利用韦达定理得，，再由得斜率乘积等于，列方程可求出的值，再利用弦长公式可求得结果
【详解】（1）设，，∵，设直线方程为：，，
由，得，∴，，
则两平行光线距离，∴，故抛物线方程为.
（2）设，，，中点
由，得，，∴，，
∵， ∴，即 ，解得，
∴，，∴.
【点睛】此题考查抛物线方程的求法，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的应用，考查计算能力，属于中档题

4）圆锥曲线的新定义问题
1．（2020·内蒙古高三期末）一般地，我们把离心率为的椭圆称为“黄金椭圆”．对于下列命题：
①椭圆是黄金椭圆；②若椭圆是黄金椭圆，则；
③在中，，且点在以为焦点的黄金椭圆上，则的周长为；
④过黄金椭圆的右焦点作垂直于长轴的垂线，交椭圆于两点，则
；⑤设是黄金椭圆的两个焦点，则椭圆上满足的点不存在．其中所有正确命题的序号是______．（把你认为正确命题的序号都填上）
【答案】③④⑤
【解析】对①，，①不正确；对②，若焦点在轴上，则，解得，若焦点在轴上，则，解得，②不正确；对③，，，，③正确；对④，，④正确；对⑤，设，则，而，所以
，与联立无实数解．因此椭圆上满足的点不存在，⑤正确，故答案为③④⑤.
考点：1、椭圆的标准方程；2、椭圆的定义和简单性质.
【方法点睛】本题通过新定义“黄金椭圆”主要考查椭圆的标准方程和椭圆的定义及简单性质，属于难题.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.本题五个命题都围绕“黄金椭圆”的离心率为这一重要性质展开的，只要能正确运用这一条件，问题就能迎刃而解.
2．已知椭圆：，其焦距为，若，则称椭圆为“黄金椭圆”.黄金椭圆有如下性质：“黄金椭圆”的左、右焦点分别是，，以,，，为顶点的菱形的内切圆过焦点，.
（1）类比“黄金椭圆”的定义，试写出“黄金双曲线”的定义；
（2）类比“黄金椭圆”的性质，试写出“黄金双曲线”的性质，并加以证明.
【答案】（1）见解析（2）见解析
分析：（1）“黄金双曲线“的离心率为的倒数）．
（2）把椭圆结论中点与交换位置得双曲线的性质．
【解析】（1）黄金双曲线的定义：已知双曲线：，其焦距为，若（或写成），则称双曲线为“黄金双曲线”.
（2）在黄金双曲线的性质：已知黄金双曲线：的左、右焦点分别是、，
以、、、为顶点的菱形的内切圆过顶点、.
证明：直线的方程为，原点到该直线的距离，
由及，得 ，
将代入，得，又将代入，化简得，
故直线与圆相切，同理可证直线、均与圆相切，即以、的直径的圆为菱形的内切圆，命题得证.
点睛：本题考查类比推理．类比推理不是把类比对象的结论一字不改直接拿来，而是要根据具体情况具体分析，适当修改．如双曲线的离心率大于1，因此类比时可得“黄金双曲线”的离心率为黄金比的倒数即，又椭圆中，双曲线中，因此椭圆结论中焦点到顶点的位置在双曲线中要交换，才可能正确．当然解题方法可类似得出．
3．（2020.北京市高三模拟）如果从北大打车到北京车站去接人，聪明的专家一定会选择走四环。虽然从城中间直穿过去看上去很诱人，但考虑到北京的道路几乎总是正南正北的方向，事实上不会真有人认为这样走能抄近路。在城市中，专家估算两点之间的距离时，不会直接去测量两点之间的直线距离，而会去考虑它们相距多少个街区。在理想模型中，假设每条道路都是水平或者竖直的，那么只要你朝着目标走（不故意绕远路），不管你这样走，花费的路程都是一样的。出租车几何学（taxicab geometry），所谓的“出租车几何学”是由十九世纪的另一位真专家赫尔曼-闵可夫斯基所创立的。在出租车几何学中，点还是形如的有序实数对，直线还是满足的所有组成的图形，角度大小的定义也和原来一样。只是直角坐标系内任意两点，定义它们之间的一种“距离”：，请解决以下问题：（1）定义：“圆”是所有到定点“距离”为定值的点组成的图形，求“圆周”上的所有点到点的“距离”均为的“圆”方程，并作出大致图像；（2）在出租车几何学中，到两点、“距离”相等的点的轨迹称为线段的“垂直平分线”，已知点，，；
①写出在线段的“垂直平分线”的轨迹方程，并写出大致图像；
②求证：三边的“垂直平分线”交于一点（该点称为的“外心”），并求出的“外心”.
【答案】（1）；（2），若，则；若，则；若，则；②证明略，“外心”
【分析】（1）利用“圆”的概念，能够求出“圆周”上的所有点到点的“距离”均为的“圆”的方程；（2）①由已知条件，得，由此能够求出线段的垂直平分线的轨迹方程并画出大致图象；②设三角形“外心”坐标为，由结合绝对值的性质，求得点的坐标．
【详解】（1）“圆”是所有到定点“距离”为定值的点组成的图形，
“圆周”上的所有点到点的“距离”均为， “圆”方程为：；

（2）①由题意知，设到两点距离相等的点的坐标为，
则.
（ⅰ）当时，去绝对值符号得：
整理得，显然或时，该方程无解.
当时，去绝对值符号得：，整理得：，解得.
则此情况下，与的关系为.
（ⅱ）当时，去绝对值符号得
整理得
当时，去绝对值符号得：即
当时，去绝对值符号得：，舍去；
当时，去绝对值符号得：，舍去；
所以此情况下，与的关系为.
（ⅲ）当时，去绝对值符号得：，
整理得，显然或时，该方程无解.
当时，去绝对值符号得：，解得.所以.
综上所述，到两点距离相等的坐标为的点的轨迹方程，即线段的垂直平分线的方程为：当时，；当时，；当时，.

②由题意知
由知到点距离相等的点的坐标为满足：
即，解得.故线段的垂直平分线的方程为.
由知到点距离相等的点的坐标为满足：
解得：.故线段的垂直平分线的方程为.
则线段的垂直平分线与线段的垂直平分线的唯一交点坐标为.
由（2）①知，当时，即线段的垂直平分线也经过点.
所以三边的“垂直平分线”交于一点，且．
【点睛】本题考查了新定义的应用问题，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化，是难题．

课后训练：
1．（2020·河北辛集中学高三月考）抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射出，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上的另一点射出，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】抛物线方程中：令可得，即，
结合抛物线的光学性质，AB经过焦点F，设执行AB的方程为，
与抛物线方程联立可得：，据此可得：，
且：，将代入可得，故，
故,
故△ABM的周长为,本题选择D选项.
2．（2020·湖南高三（文））抛物线有如下光学性质:由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出，今有抛物线，如图，一平行轴的光线射向抛物线上的点，经过抛物线的焦点反射后射向抛物线上的点，再反射后又沿平行轴方向射出，若两平行光线间的最小距离为6，则此抛物线的方程为_______.

【答案】
【分析】联立直线与抛物线方程，消去得到关于的方程，利用韦达定理得到的值，然后表示两平行光线距离，并求出其最小值为，而由题意可知最小值为，从而得到，抛物线方程得解.
【详解】设，设两平行光距离为，由题意可知，，
因为，而直线过点，则设直线方程为：，
因为，消去得，由韦达定理可得，
则，所以，故抛物线方程为.
【点睛】本题主要考查了抛物线方程的求解，涉及到韦达定理的应用，属于难题.对于涉及到直线与曲线相关的距离问题，常常运用到韦达定理以及弦长公式进行求解.
3．（2021·湖北高二期中）综合应用抛物线和双曲线的光学性质，可以设计制造反射式天文望远镜.这种望远镜的特点是，镜筒可以很短而观察天体运动又很清楚，例如，某天文仪器厂设计制造的一种反射式望远镜，其光学系统的原理如图（中心截口示意图）所示，其中，一个反射镜弧所在的曲线为抛物线，另一个反射镜弧所在的曲线为双曲线的一个分支，已知、是双曲线的两个焦点，其中同时又是抛物线的焦点，也是双曲线的左顶点.若在如图所示的坐标系下，弧所在的曲线方程为标准方程，试根据图示尺寸（单位：cm），写出反射镜弧所在的抛物线方程为_________.

【答案】
【解析】由题意知：连接的直线为轴，线段的中点为原点.
对于抛物线，有,所以，.
因为双曲线的实轴长为 因为抛物线的顶点横坐标是.
所以，所求抛物线的方程为.
4．（2020·乐清市知临中学高二期末）椭圆满足这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发射光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.现在设有一个水平放置的椭圆形台球盘，满足方程：，点A、B是它的两个焦点，当静止的小球放在点A处，从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后，再回到点A时，小球经过的最短路程是（ ）.
A．20 B．18 C．16 D．以上均有可能
【答案】C
【分析】根据椭圆的光学性质可知，小球从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹到B点继续前行碰椭圆壁后回到A点，所走的轨迹正好是两次椭圆上的点到两焦点距离之和，进而根据椭圆的定义可求得答案．
【解析】依题意可知小球经两次椭圆壁后反弹后回到A点，
根据椭圆的性质可知所走的路程正好是4a=4×4=16故选：C．
【点睛】本题主要考查了椭圆的应用．解题的关键是利用了椭圆的第一定义,是基础题.
5．（2020·广东高三月考）椭圆满足这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发射光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点。现在设有一个水平放置的椭圆形台球盘，满足方程：， 点是它的两个焦点，当静止的小球放在点处，从点沿直线出发，经椭圆壁反弹后，再回到点时，小球经过的最长路程是（ ）
A．20 B．18 C．16 D．14
【答案】C
【解析】试题分析：依题意可知小球经两次椭圆壁后反弹后回到A点，
根据椭圆的性质可知所走的路程正好是4a=4×4=16
考点：椭圆的应用
6．（2020·山西高三期末）椭圆具有如下的光学性质：从一个焦点发出的光线经过椭圆内壁反射后恰好穿过另一个焦点．现从椭圆的左焦点发出的一条光线，经过椭圆内壁两次反射后，回到点，则光线所经过的总路程为______．
【答案】12
【解析】光线所经过的总路程为
7．沿直线y＝－2发出的光线经抛物线y2＝ax反射后，与x轴相交于点A(2,0)，则抛物线的准线方程为____．(提示：抛物线的光学性质：从焦点发出的光线经抛物线反射后与轴平行)
【答案】x＝－2
【分析】由抛物线的光学性质可判断为焦点,由抛物线的性质可求准线方程.
【详解】由直线平行于抛物线的对称轴知为焦点，故准线方程为.
【点睛】本题考查抛物线准线方程的求法，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键.
8．椭圆有如下光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆反射，其反射光线必经过椭圆的另一个焦点，已知椭圆长轴长为，焦距为，若一条光线从椭圆的左焦点出发，第一次回到该焦点所经过的路程为，则椭圆的离心率为______.
【答案】或或
【分析】分析出光线的三种路径，分别求解即可.
【详解】依据椭圆的光学性质，光线从左焦点出发后，有以下三种可能：

对第一种路径：，解得离心率
对第二种路径：，解得离心率
对第三种路径：，解得离心率
故答案为：或或
【点睛】本题考查椭圆的性质，重点是分析出其路径.
9．椭圆具有这样的光学性质:从椭圆的一个焦点出发的光线,经椭圆反射后,反射光线经过椭圆的另一个焦点.今有一个水平放置的椭圆形台球盘,点A、B是它的焦点,长轴长为2a,焦距为2c,静放在点A的小球(小球的半径忽略不计)从点A沿直线出发,经椭圆壁反射后第一次回到点A时,小球经过的路程是_____________.
【答案】4a或2(a－c)或2(a+c)
【解析】假设长轴在x轴，短轴在y轴，设A为左焦点，B是它的右焦点，以下分为三种情况：（1）球从A沿x轴向左直线运动，碰到左顶点必然原路反弹，这时第一次回到A路程是2（a-c）；（2 ）球从A沿x轴向右直线运动，碰到右顶点必然原路反弹，这时第一次回到A路程是2（a+c）；（3）球从A不沿x轴斜向上（或向下）运动，碰到椭圆上的点C，反弹后经过椭圆的另一个焦点B，再弹到椭圆上一点D，经D反弹后经过点A．此时小球经过的路程是4a．综上所述，从点A沿直线出发，经椭圆壁反射后第一次回到点A时，小球经过的路程是4a或2（a-c）或2（a+c）．故答案为4a或2（a-c）或2（a+c）．
考点：椭圆的简单性质．
10．抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必经抛物线的焦点，已知抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射出，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上的另一点射出，则的长度为__________．
【答案】
【分析】根据题意求出点A的坐标，利用直线AB过抛物线的焦点，求出直线AB的方程，联立直线AB的方程与抛物线的方程，求得点B的坐标，即可求得.
【详解】根据题意可得：，又直线AB过抛物线的焦点，
则直线AB的方程为：，整理得：，
联立，解得：或，所点B的坐标为，
所以==．故填：
【点睛】本题主要考查了直线方程及直线与抛物线的交点问题、两点距离公式．
11.（2020·湖北省高三期中）椭圆有一条光学性质：从椭圆一个焦点出发的光线，经过椭圆反射后，一定经过另一个焦点.假设光线沿直线传播且在传播过程中不会衰减，椭圆的方程为，则光线从椭圆一个焦点出发，到首次回到该焦点所经过的路程不可能为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【分析】先根据椭圆的标准方程求出,,再根据光线路径分三种情况讨论即可得出结果.
【详解】解: 由题意可得,, ,所以,.
①若光线从椭圆一个焦点沿轴方向出发到长轴端点(较近的)再反射,则所经过的路程为,
②若光线从椭圆一个焦点沿轴方向出发到长轴端点(较远的)再反射,则所经过的路程为.
③若光线从椭圆一个焦点沿非轴方向出发,则所经过的路程为故选:B
【点睛】本题考查椭圆的基本性质,考查椭圆的反光镜问题,考查长半轴与半焦距之间的基本关系,属于中档题.
12．双曲线的光学性质是：从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，从发出的光线射向上的点后，被反射出去，则入射光线与反射光线夹角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求出点，进而求出，利用余弦定理即可得出结果.
【详解】设在第一象限，，
，，故选：C
【点睛】本题考查了双曲线的几何性质和余弦定理的应用，考查了运算求解能力，属于一般题目.
13．（2020·广东高三月考）椭圆满足这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发射光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点。现在设有一个水平放置的椭圆形台球盘，满足方程：， 点是它的两个焦点，当静止的小球放在点处，从点沿直线出发，经椭圆壁反弹后，再回到点时，小球经过的最长路程是（ ）
A．20 B．18 C．16 D．14
【答案】C
【解析】试题分析：依题意可知小球经两次椭圆壁后反弹后回到A点，
根据椭圆的性质可知所走的路程正好是4a=4×4=16
考点：椭圆的应用
14．椭圆满足这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发射的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．现有一个水平放置的椭圆形台球盘，满足方程x264+y228=1，点A,B是它的两个焦点．当静止的小球从点A开始出发，沿直线运动，经椭圆壁反射后再回到点A时，此时小球经过的路程可能是 （ ）

A．32或4或16-47 B．16+47或28或16-47 C．28或4或16+47 D．32或28或4
【答案】D
【解析】试题分析：由方程可知a2=64,b2=28∴c2=36∴a=8,c=6
沿着长轴反射时经过的路程为2(a+c)=28或2(a-c)=4，不延长轴时经过的路程为4a=32，小球经过的路程可能是32或28或4
考点：椭圆方程及性质
15．（2020·上海市高三期中）出租车几何学是由十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创立的.在出租车几何学中，点还是形如的有序实数对，直线还是满足的所有组成的图形，角度大小的定义也和原来一样，对于直角坐标系内任意两点、定义它们之间的一种“距离”（“直角距离”）：，请解决以下问题：
（1）求线段（，）上一点到原点的“距离”；
（2）求所有到定点的“距离”均为2的动点围成的图形的周长；
（3）在“欧式几何学”中有如下三个与“距离”有关的正确结论：
①平面上任意三点A，B，C，；
②平面上不在一直线上任意三点A，B，C，若，则是以为直角三角形
③平面上存在两个不同的定点A，B，若动点P满足，则动点P的轨迹是的垂直平分线
上述结论对于“出租车几何学”中的直角距离是否还正确，并说明理由.
【答案】（1）2（2）（3）①正确②错误③错误，见解析
【分析】(1)根据“直角距离”的定义直接求解即可.
(2)设点到定点的“距离”为2,再根据定义任意两点、间的“距离”分四种情况求解即可.(3)直接证明或举出反例判断即可.
【解析】 (1)易得线段上一点到原点的“距离”为

(2) 设点到定点的“距离”为2,则
1.当时, ,
此时为线段,
2.当时, ,
此时为线段,
3.当时, ,
此时为线段,
4.当时, ,
此时为线段,
易得围成的图形的形状为以为顶点的正方形
故周长为.

(3)
①设,
则,，.
根据绝对值三角不等式可知,
同理.
故.
故成立.故①正确.
② 设,则,
,.
满足,但,故②错误.
③设,则,
,满足,但不在的垂直平分线上.故③错误.
综上所述, ①正确②错误③错误
【点睛】本题主要考查了新定义的直角距离问题,需要根据题意数形结合分析直角距离的意义以及方法,同时利用绝对值不等式等分析证明.属于难题.
16．（2020·上海市建平中学高三月考）在平面直线坐标系中,定义为两点的“切比雪夫距离”，又设点P及上任意一点Q,称的最小值为点P到直线的“切比雪夫距离”记作给出下列四个命题:（ ）
①对任意三点A、B、C，都有
②已知点P(3,1)和直线则
③到原点的“切比雪夫距离”等于的点的轨迹是正方形；
④定点动点满足则点P的轨迹与直线(为常数)有且仅有2个公共点．
其中真命题的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【分析】①讨论，，三点共线，以及不共线的情况，结合图象和新定义，即可判断；
②设点是直线上一点，且，可得，，讨论，的大小，可得距离，再由函数的性质，可得最小值；
③运用新定义，求得点的轨迹方程，即可判断；
④讨论在坐标轴上和各个象限的情况，求得轨迹方程，即可判断．
【详解】解：①对任意三点、、，若它们共线，设，、，，
，，如右图，结合三角形的相似可得，，
为，，，或，，，则，，，；
若，或，对调，可得，，，；

若，，不共线，且三角形中为锐角或钝角，由矩形或矩形，
，，，；
则对任意的三点，，，都有，，，；故①正确；
设点是直线上一点，且，可得，，
由，解得，即有，当时，取得最小值；
由，解得或，即有，
的范围是，，，．无最值，
综上可得，，两点的“切比雪夫距离”的最小值为．故②正确；
③由题意，到原点的“切比雪夫距离” 等于的点设为，则，
若，则；若，则，故所求轨迹是正方形，则③正确；
④定点、，动点满足，，，
可得不轴上，在线段间成立，可得，解得，
由对称性可得也成立，即有两点满足条件；若在第一象限内，满足，，，

即为，为射线，由对称性可得在第二象限、第三象限和第四象限也有一条射线，
则点的轨迹与直线为常数）有且仅有2个公共点．故④正确；
综上可得，真命题的个数为4个，故选:.

【点睛】本题考查新定义的理解和运用，考查数形结合思想方法，以及运算能力和推理能力，属于难题．