2026年新高考数学专题复习学案 46.等差，等比数列中的七大应用

这是一份2026年新高考数学专题复习学案 46.等差，等比数列中的七大应用，共10页。
（一）等差数列及其应用
1.等差数列及其前n项和
（1）等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，即对于数列，若(与无关的数或字母)，，，则此数列是等差数列，为公差.
（2）等差数列的通项公式：或.
有几种方法可以计算公差：①；②；③.
（3）等差中项：数列、、成等差数列的充要条件是，其中叫做、的等差中项.即有、、成等差数列恒成立.
（4）等差数列前项和
（4.1）等差数列的前项和公式1：.
（4.2）等差数列的前项和公式2：.
3.证明为等差数列的方法：
（3.1）定义法：(为常数，)为等差数列；
用定义证明等差数列时，常采用的两个式子和，但它们的意义不同，后者必须加上“”，否则时，无定义.
（3.2）中项法：为等差数列；
（3.3）通项法：为的一次函数为等差数列；
（3.4）前项和法：或.
4.等差数列的性质
（4.1）在等差数列中，若，则().
注意：但通常由推不出，因为有常数列的存在.
（4.2）在等差数列中，、、、、…仍为等差数列，公差为.
（4.3）若为等差数列，则、、、…仍为等差数列，公差为.
（4.4）等差数列的增减性：时为递增数列，且当时前项和有最小值.
时为递减数列，且当时前项和有最大值.
（4.5）等差数列的首项是，公差为.若其前项之和可以写成，则，，当时它表示二次函数，数列的前项和是成等差数列的充要条件.
（4.6）公差为的等差数列的前项和为，则数列必是首项为，公差为的等差数列.
（4.7）若两个等差数列、相加组成一个新数列，则必为等差数列，公差为数列、的公差之和.
（4.8）若两个等差数列、的前项和分别为和，则.
5.对等差数列前项和的最值问题有三种方法：
（5.1）利用：①当，，前项和有最大值，可由且，求得的值；②当，，前项和有最小值，可由且，求得的值.
注意：求的最值时，当时取两个值.
（5.2）利用：由利用二次函数配方法求得最值时的值.
（二）等比数列及其应用
1、等比数列及其前n项和：
（1.1）一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母表示()，即：(，，).
注：从第二项起与前一项之比为常数：成等比数列(，).
（1.2）等比数列的通项公式：()或()；
（1.3）等比数列与指数函数的关系：等比数列的通项公式()，它的图像是分布在曲线()上的一些孤立的点.
当，时，等比数列是递增数列； 当，时，等比数列是递增数列；
当，时，等比数列是递减数列； 当，时，等比数列是递减数列；
当时，等比数列是摆动数列； 当时，等比数列是常数列.
（1.4）当时，①或②；当时，.
证明：设等比数列、、、…，它的前项和是，
由得，
∴；∴当时，，当时，；
2.等比数列的判定与证明方法
（2.1）定义法：若(，)或(，，)，则是等比数列.
（2.2）等比中项法：若数列中，且()，则是等比数列.
（2.3）通项公式法：若数列通项公式可写成(，，)，则是等比数列.
（2.4）前n项和法
3.等比数列的性质
（3.1）等比中项：如果在与中间插入一个数，使、、成等比数列，那么称这个数为与的等比中项.即(、同号).
如果在与中间插入一个数，使、、成等比数列，则；
反之，若，则，即、、成等比数列，
∴、、成等比数列b().
等比中项的性质：①()；()；
（3.2）若，则.
注意：但通常由推不出，因为有非零常数列的存在.
（3.3）数列首项是，公比为，数列首项为，公比为，则数列是首项为，公比为的等比数列，同理数列是首项为，公比为的等比数列.
（3.4）在公比为的等比数列中，数列、、、…仍是等比数列.
（3.5）公比为；数列、、、…仍是等比数列(此时).
二．典例分析
★应用1.考察等差数列的基本量
例1．记为等差数列的前n项和．已知，则
A．B．C．D．
解析：由题知，，解得，∴，故选A．
例2．记为等差数列的前项和．若，则（ ）
A．25B．22C．20D．15
解析：方法一：设等差数列的公差为，首项为，依题意可得，
，即,又，解得：，
所以．故选：C.
方法二：，，所以，，从而，于是，所以．故选：C.
★应用2.考察等差数列的性质
例3．已知为等差数列， 为的前项和． 若， 则当取最大值时， 的值为（ ）
A．B．4C．D．
解析：因为，所以，又，所以，所以，则.故选: C.
例4．设等差数列，的前n项和分别是，，若，则（ ）
A．B．C．D．
解析：因为等差数列，的前n项和分别是，
所以.故选：B
例5．已知等差数列（）的前n项和为，公差，，则使得的最大整数n为（ ）
A．9B．10C．17D．18
解析：因为，所以异号，因为，所以，又有，所以，即，因为，，所以的最大整数n为17.故选：C
例6．已知是等差数列的前n项和，若，，则＝__________
解析：由等差数列前项和的性质得：，，成等差数列，
所以，得，解得.故答案为：
★应用3.考察等差数列前n项和的最值
例7．记为数列的前n项和．已知．
（1）证明：是等差数列；
（2）若成等比数列，求的最小值．
解析：（1）因为，即①，
当时，②，
①②得，，
即，即，所以，且，所以是以为公差的等差数列．
（2）方法1：:由（1）可得，，，又，，成等比数列，所以，即，解得，所以，所以，所以，当或时，．
方法2：由（1）可得，，，:又，，成等比数列，所以，即，解得，所以，即有.则当或时，．
★应用4.等差数列综合应用
例8．已知各项为正的数列的前项和为，满足，则的最小值为（ ）
A．B．4C．3D．2
解析：各项为正的数列，，时，，即，化为：，，，又，解得，
数列是等差数列，首项为1，公差为2．，，
，当且仅当时取等号，的最小值为2．故选：D．
例9．设等差数列的公差为，且．令，记分别为数列的前项和．
（1）若，求的通项公式；
（2）若为等差数列，且，求．
解析：（1），，解得，，
又，，即，解得或（舍去），.
（2）为等差数列，，即，，即，解得或，，，又，由等差数列性质知，，即，，即，解得或（舍去），当时，，解得，与矛盾，无解；当时，，解得.综上，.
★应用5.等比数列基本量及计算
例10．已知等比数列的前3项和为168，，则（ ）
A．14B．12C．6D．3
解析：设等比数列的公比为，若，则，与题意矛盾，
所以，则，解得，所以.故选：D.
例11.设是等比数列，且，，则（ ）
A．12B．24C．30D．32
解析：设等比数列的公比为，则，
，
因此，.故选：D.
例12.设等比数列的各项均为正数，前n项和，若，，则（ ）
A．B．C．15D．40
解析：由题知,即,即,即.由题知,所以.所以.故选:C.
例13．（2023年新高考2卷）记为等比数列的前n项和，若，，则（ ）．
A．120B．85C．D．
解析：设等比数列的公比为，首项为，若，则，与题意不符，所以；若，则，与题意不符，所以；
由，可得，，①，由①可得，，解得：，所以．
故选：C．
★应用6.等比数列性质及应用
例14．若等比数列中的，是方程的两个根，则等于（ ）
A．B．1011 C． D．1012
解析：因为等比数列中的，是方程的两个根，所以，根据等比数列性质知，，因为，于是，
则==.故A，B，D错误.故选：C.
例15．（2023年新高考2卷）记为等比数列的前n项和，若，，则（ ）．
A．120B．85C．D．
解析：设等比数列的公比为，因为，，所以，否则，
从而，成等比数列，所以有，，解得：或，当时，，即为，易知，，即；当时，，
与矛盾，舍去．故选：C．
例16.已知等比数列的前项和为，则实数的值是（ ）
A．B．3C．D．1
解析：等比数列的前项和为，当时，可得，可得，当时，，则
所以因为为等比数列，所以，即
解得，经检验符合题意.故选：C．
★应用7.等比数列的综合应用
例17．已知数列满足，且，则（ ）
A．B．C．D．
解析：因为，由递推知，，所以，
则，有，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，则，所以
则，所以.故选：C.
例18．（多选题）已知数列的前项和为，，，数列的前项和为，，则下列选项正确的为（ ）
A．数列是等比数列
B．数列是等差数列
C．数列的通项公式为
D．
解析：因为，所以，，
即，且，所以数列是首项为，公比为的等比数列，故A正确，B错误；所以，即，故C正确；
因为，
所以，故D错误；故选：AC.
例19．（多选题）已知数列满足为数列的前项和，则（ ）
A．是等比数列
B．是等比数列
C．
D．中存在不相等的三项构成等差数列
解析：数列中，，，则，，
因此，数列是以为首项，公比为3的等比数列，，
数列是以为首项，公比为3的等比数列，，B正确；
因，，则数列不是等比数列，A不正确；
，C正确；假定中存在不相等的三项构成等差数列，令此三项依次为，且，，则有，而，即，又，因此，不成立，所以中不存在不相等的三项构成等差数列，D不正确.故选：BC
例20．记为公比不为1的等比数列的前项和，，．
（1）求的通项公式；
（2）设，若由与的公共项从小到大组成数列，求数列的前项和．
解析：（1）设等比数列的公比为，因为，即，即，所以，又，即，解得，
所以.
（2）由（1）可得，
则数列为、、、、，偶数组成的数列，又，令，则为正偶数，所以，，，，，所以为以为首项，为公比的等比数列，所以