专题01 等差数列与等比数列（题型清单）（含答案）2026年高考数学一轮复习讲练测（全国通用）

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题型1 等差数列的基本量运算
1．（24-25高三下·河北沧州·月考）已知等差数列的前n项和为，且，则（ ）
A．9B．16C．25D．36
2．（24-25高三下·广东茂名·月考）已知是等比数列的前项和，若且成等差数列，则（ ）
A．B．C．D．
3．（24-25高三下·山东济南·月考）记为等差数列的前项和，若，，则 .
4．（2025·河南南阳·模拟预测）已知数列中，，，若，，则前10项的和为 ．
题型2 等差数列性质的应用
5．（24-25高三下·福建龙岩·月考）已知等差数列的前n项和为，若，则（ ）
A．44B．33C．66D．77
6．（24-25高三下·重庆·月考）已知为等差数列，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
7．（24-25高三下·重庆·月考）已知是等差数列，，，则的前11项和为 .
8．（24-25高三上·河北邯郸·月考）已知等差数列的前项和为，则 .
题型3 等差数列前n项和性质的应用
9．（24-25高三上·贵州·月考）设为等差数列的前项和，已知，，则（ ）
A．12B．14C．16D．18
10．（24-25高三上·陕西汉中·月考）已知等差数列的前n项和为，若，则 ．
11．（24-25高三下·宁夏银川·模拟预测）设等差数列的前项和分别为，若，则 .
12．（25-26高三上·广东肇庆·月考）两个等差数列和的前n项和分别为，且，则的值等于 ．
题型4 等差数列前n项和的最值问题
13．（2025·江苏盐城·模拟预测）设等差数列的前项和为，若，，则当取最小值时的值为（ ）
A．12B．13C．14D．25
14．（2025·广西南宁·三模）设等差数列的前n项和为，若，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
15．（25-26高三上·湖南长沙·月考）已知等差数列的前项和为，若，且，则的最大值为 ．
16．（24-25高三下·云南丽江·月考）已知 是等差数列 的前 项和， ，则 的最大值为 .
题型5 含绝对值的等差数列求和
17．（24-25高三上·天津·期中）在数列中，，，则等于（ ）
A．630B．648C．660D．675
18．（24-25高三上·河北衡水·开学考试）已知为数列的前n项和，，．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
19．（24-25高三上·北京·开学考试）已知等差数列的公差为2，且，，成等比数列.
(1)求的通项公式及前项和；
(2)求数列前10项和.
20．（24-25高三上·福建厦门·期中）已知数列的前n项和为.若为等差数列，且满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求.
题型6 等差数列的判定与证明
21．（24-25高三下·青海海东·月考）已知函数，若数列满足，则是（ ）
A．等差数列B．等比数列C．递减数列D．常数列
22．（24-25高三下·江苏·月考）若数列各项均为正数，则“为等差数列”是“为等比数列”的（ ）
A．充分不必要条件.B．必要不充分条件.
C．充要条件.D．既不充分又不必要条件.
23．（24-25高三下·贵州贵阳·月考）各项均为正数的数列的前n项和为，，当时，．
(1)求证：数列是等差数列；
(2)设，试求数列的最小项．
24．（2025·江西新余·模拟预测）已知数列的前项和为，，．
(1)证明：数列为等差数列；
(2)求的通项；
(3)求的最大值．
题型7 等比数列的基本量运算
25．（2025·江苏南京·一模）已知等比数列的前3项和为168，，则（ ）
A．B．6C．3D．2
26．（2025·海南·模拟预测）已知为各项均为整数的等比数列，且，记为的前项和，则（ ）
A．43B．85C．110D．127
27．（2025·黑龙江吉林·模拟预测）等比数列的前项和为，且，，则（ ）
A．B．C．D．
28．（2025·湖南邵阳·模拟预测）记等比数列的前项和为，若，，则（ ）
A．3B．2C．D．
题型8 等比数列性质的应用
29．（2025·江西新余·模拟预测）在等比数列中，，是方程的两个实数根，则的值为（ ）
A．2B．或C．D．
30．（2025·福建泉州·模拟预测）已知为等比数列，，，则（ ）
A．B．3C．D．9
31．（24-25高三下·上海·三模）已知数列满足，则 .
32．（2025·湖南长沙·模拟预测）等比数列的前项和记为，若，，，则 .
题型9 等比数列的判定与证明
33．（24-25高三上·湖北黄冈·月考）已知数列的前项和为，且，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
34．（2025·云南昆明·模拟预测）设为数列的前n项和，当时，，已知，，．
(1)证明：数列为等比数列；
(2)求数列的通项公式；
(3)求．
35．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知数列满足，，是数列的前项和，记．
(1)求证：数列是等比数列；
(2)求数列的通项公式；
(3)求．
36．（2025·辽宁大连·模拟预测）若数列和满足：，，且
(1)设，证明：是等比数列；
(2)设，试求的前n项和．
题型10 等差数列与等比数列应用
37．（25-26高三上·安徽肥东·联考）《孙子算经》提出了“物不知其数”问题的解法，被称为“中国剩余定理”.“物不知其数”问题后来经秦九韶推广，得到了一个普遍的解法，提升了“中国剩余定理”的高度.现有一个剩余问题：在正整数中，把被3除余数为2，被4除余数为2的数，按照由小到大的顺序排列，分别得到数列，，将，中不同的数放在一起，再按照由小到大的顺序排列，得到数列，则 .
38．（24-25高三下·重庆·月考）南宋数学家杨辉的重要著作《解析九章算法》中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列．以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列．若某个二阶等差数列的前4项为：，则该数列的第16项为（ ）
A．196B．197C．198D．227
39．（24-25高三下·四川内江·月考）某农村合作社引进先进技术提升某农产品的深加工技术，以此达到10年内每年此农产品的销售额（单位：万元）等于上一年的1.3倍再减去3.已知第一年（2024年）该公司该产品的销售额为100万元，则按照计划该公司从2024年到2033年该产品的销售总额约为（ ）
（参考数据：）
A．964万元B．2980万元C．3940万元D．5170万元
40．（24-25高三上·北京海淀·期末）2023年，甲、乙两公司的盈利规律如下：从2月份开始，甲公司每个月盈利比前一个月多200万元；乙公司每个月盈利比前一个月增加. 记甲、乙两公司在2023年第个月的盈利分别为，（单位：万元）. 已知，，则最大时，的值为（ ）
（参考数据：，）
A．B．C．D．
1、等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了方程思想．
2、数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法．
1、在等差数列{an}中，当m≠n时，d＝eq \f(am－an,m－n)为公差公式，利用这个公式很容易求出公差，
还可变形为am＝an＋(m－n)d.
2、等差数列{an}中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列．
3、等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则an＋am＝ap＋aq(n，m，p，q∈N*)，
特别地，若m＋n＝2p，则an＋am＝2ap.
1、等差数列的依次k项之和，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…组成公差为k2d的等差数列．
2、数列{an}是等差数列⇔Sn＝an2＋bn(a，b为常数)⇔数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(Sn,n)))为等差数列．
3、若S奇表示奇数项的和，S偶表示偶数项的和，公差为d，
①当项数为偶数2n时，S偶－S奇＝nd，eq \f(S奇,S偶)＝eq \f(an,an＋1)；
②当项数为奇数2n－1时，S奇－S偶＝an，eq \f(S奇,S偶)＝eq \f(n,n－1).
1、二次函数法： 将Sn＝na1＋eq \f(nn－1,2)d＝eq \f(d,2)n2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a1－\f(d,2)))n配方．转化为求二次函数的最值问题，
但要注意n∈N*，结合二次函数图象的对称性来确定n的值，更加直观．
2、邻项变号法：当a1>0，d0，d>0，则S1是{Sn}的最小值；若a1