专题01 等差数列与等比数列（知识清单）（含答案）2026年高考数学一轮复习讲练测（全国通用）

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01 数列的概念
1、数列的有关概念
（1）数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列．数列中的每一个数叫做这个数列的项．
（2）数列的表示法：数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析式法．
（3）数列的通项公式：如果数列的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表达，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．
（4）数列的递推公式：如果已知数列的首项(或前几项)，且任一项与它的前一项(或前几项)间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式．
2、数列的分类
3、数列与函数的关系
数列是从正整数集（或它的有限子集）到实数集的函数，其自变量是序号，对应的函数值是数列的第项，记为．
【真题实战】（2025·天津·二模）已知是一个无穷数列，“”是“为递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
02 等差数列
1、等差数列的有关概念
（1）等差数列的定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示，定义表达式为(，为常数)．
（2）等差中项：若三个数a，A，b组成等差数列，则A叫做a，b的等差中项．
2、等差数列的有关公式
（1）通项公式：．
（2）前项和公式：．
3、等差数列的常用性质
（1）通项公式的推广：．
（2）若，则．
（3）若的公差为d，则也是等差数列，公差为．
（4）若是等差数列，则也是等差数列．
4、等差数列前项和的常用性质
（1）；
（2）；
（3）两个等差数列，的前n项和，之间的关系为.
（4）数列，，，…构成等差数列．
【真题实战】（2025·全国二卷·高考真题）记为等差数列的前n项和.若则（ ）
A．B．C．D．
03 等比数列
1、等比数列的有关概念
（1）等比数列的定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示．
（2）等比中项：如果三个数，，成等比数列，那么叫做与的等比中项，其中．
注意：同号的两个数才有等比中项．
2、等比数列的有关公式
（1）通项公式：若等比数列的首项为，公比是，则其通项公式为；
通项公式的推广：．
（2）等比数列的前项和公式：当时，；当时，．
3、等比数列的常用性质
（1）相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即，，，…仍是等比数列，公比为．
（2）若，（项数相同）是等比数列，则，，，，仍是等比数列．
（3）若，则有．口诀：下标和相等，项的积也相等
推广：
（4）若是等比数列，且，则（且）是以为首项，为公差的等差数列．
（5）若是等比数列，，则构成公比为的等比数列．
4、等比数列前项和的常用性质
（1）在公比或且为奇数时，，，，……仍成等比数列，其公比为．
（2）对，有．
（3）若等比数列共有项，则，其中，分别是数列的偶数项和与奇数项和．
（4）等比数列的前项和，令，则（为常数，且）．
【真题实战】（2024·全国甲卷·高考真题）已知等比数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和.
01 数列的单调性与最值问题
（1）将数列视为函数当x∈N*时所对应的一列函数值，根据的类型作出相应的函数图象，或利用求函数最值的方法，求出的最值，进而求出数列的最大(小)项．
（2）利用作差法或作商法判断函数的单调性，再进一步求出数列的最值
（3）利用“两边夹”求数列中的最大项，利用求数列中的最小项．
【注意】适用于单峰函数，若解不唯一时，比较各解的大小即可确定
【典例1】（2025·上海·三模）已知数列的通项公式为，，则关于数列的最值叙述正确的是（）
A．既有最大项也有最小项B．只有最大项没有最小项
C．没有最大项只有最小项D．没有最大项也没有最小项
【典例2】（2025·云南昭通·模拟预测）已知数列的通项公式为，若是中唯一的最小项，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
02 等差数列前n项和最值问题
1、二次函数法： 将Sn＝na1＋eq \f(nn－1,2)d＝eq \f(d,2)n2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a1－\f(d,2)))n配方．转化为求二次函数的最值问题，但要注意n∈N*，结合二次函数图象的对称性来确定n的值，更加直观．
2、邻项变号法：当a1>0，d0，d>0，则S1是{Sn}的最小值；若a1