6.1 等差数列（精练）-2024年高考数学一轮复习一隅三反系列（新高考）

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A．B．C．15D．30
【答案】D
【解析】，是方程的两根，所以，
又是等差数列，所以其前20项和为．故选：D
2（2023·青海玉树·统考模拟预测）记等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．4B．8C．12D．16
【答案】C
【解析】根据数列为等差数列，则，所以，所以，
故选：C.
3．（2023·全国·高三专题练习）等差数列的前n项和为，公差为d，已知且．则使成立的最小正整数n的值为（ ）
A．4B．5C．8D．9
【答案】D
【解析】因为，，所以，又，
由，可得，即，所以使成立的最小正整数n的值为9.故选：D.
4．（2023·甘肃）设等差数列的公差为d，其前n项和为，且，，则使得的正整数n的最小值为（ ）
A．16B．17C．18D．19
【答案】D
【解析】由，得，
因为是等差数列，所以，，，
，，，
所以，
使得的正整数n的最小值为.故选: D.
5．（2023·湖北黄冈·黄冈中学校考二模）已知等差数列的前项和为，若，，则取最大值时的值为（ ）
A．10B．11C．12D．13
【答案】A
【解析】等差数列，，，，，则取最大值时，.
故选：A.
6．（2023·天津）天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支.十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推，2023年是癸卯年，请问：在100年后的2123年为（ ）
A．癸未年B．辛丑年C．己亥年D．戊戌年
【答案】A
【解析】由题意得：天干可看作公差为10的等差数列，地支可看作公差为12的等差数列，
由于，余数为0，故100年后天干为癸，由于，余数为4，
故100年后地支为未，综上：100年后的2123年为癸未年.故选：A .
7．（2023·安徽马鞍山·统考二模）由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年.龙被视为中华古老文明的象征，大型龙类风筝放飞场面壮观，气势磅磗，因而广受喜爱.某团队耗时4个多月做出一长达200米、重约25公斤，“龙身”共有180节“鱗片”的巨龙风筝.制作过程中，风箏骨架可采用竹子制作，但竹子易断，还有一种耐用的碳杆材质也可做骨架，但它比竹质的成本高.最终团队决定骨架材质按图中规律排列（即相邻两碳质骨架之间的竹质骨架个数成等差数列），则该“龙身”中竹质骨架个数为（ ）
A．161B．162C．163D．164
【答案】B
【解析】设有个碳质骨架，，由已知可得，
如果只有个碳质骨架，则骨架总数少于，所以，
所以，且，又解得，
所以共有碳质骨架18个，故竹质骨架有162个，故选：B.
8．（2023·上海）2022年北京冬奥会开幕式始于24节气倒计时，它将中国人的物候文明、传承久远的诗歌、现代生活的画面和谐统一起来．我国古人将一年分为24个节气，如图所示，相邻两个节气的日晷长变化量相同，冬至日晷长最长，夏至日晷长最短，周而复始．已知冬至日晷长为13.5尺，夏至日晷长为1.5尺，则一年中夏至到秋分的日晷长的和为（ ）尺．
A．24B．60C．40D．31.5
【答案】D
【解析】依题意，冬至日晷长为13.5尺，记为，夏至日晷长为1.5尺，记为，
因相邻两个节气的日晷长变化量相同，则从冬至日晷长到夏至日晷长的各数据依次排成一列得等差数列，数列的公差，
因夏至日晷长最短，冬至日晷长最长，
所以夏至到冬至的日晷长依次排成一列是递增等差数列，首项为1.5尺，末项为13.5尺，公差为1，共13项，秋分为第7项，故，所以一年中夏至到秋分的日晷长的和为(尺).
故选：D.
9．（2023·江苏无锡·辅仁高中校考模拟预测）已知数列各项为正数，满足，，则（ ）
A．是等差数列B．是等比数列
C．是等差数列D．是等比数列
【答案】C
【解析】因为数列各项为正数，满足，，
故对任意的，，则，所以，数列的每一项都是正数，
所以，，可得，由等差中项法可知，数列是等差数列，
故选：C.
10．（2023·江西）若不全相等的非零实数成等差数列且公差为，那么（ ）
A．可能是等差数列B．一定不是等差数列
C．一定是等差数列，且公差为D．一定是等差数列，且公差为
【答案】B
【解析】若是等差数列，则，
因为成等差数列，则，则，整理得，与非零实数不全相等矛盾，
所以一定不是等差数列.故选：B.
11．（2023·浙江）南宋数学家在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，高阶等差数列中前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.现有高阶等差数列，其前7项分别为1，2，4，7，11，16，22，则该数列的第20项为（ ）
A．172B．183C．191D．211
【答案】C
【解析】高阶等差数列： 1，2，4，7，11，16，22，，
令，则数列：1，2，3，4，5，6，，
则数列为等差数列，首项，公差，，则
则
故选：C
12．（2023·湖南）已知数列满足：，，.若，则（ ）
A．1B．2C．3D．2022
【答案】A
【解析】令，则故，为常数，故数列是等差数列
故选：A.
13．（2023春·安徽亳州）在等差数列中，，其前n项和为，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设等差数列的公差为，
因为，所以，可得：，
所以.故选：A.
13．（2023·海南）等差数列中，若，则n的值为（ ）
A．14B．15C．16D．17
【答案】B
【解析】由等差数列下标和性质知：，，
因为，故，
又，故，所以.故选：B.
14．（2023·湖北）在等差数列中，，其前项和为，若，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】数列为等差数列，数列为等差数列，设其公差为，
又，解得：，又，，.
故选：B.
15．（2023·福建厦门）设公差不为零的等差数列的前n项和为，，则（ ）
A．B．-1C．1D．
【答案】C
【解析】在等差数列中，，，故，
又，故，则，故.故选：C.
16．（2023·全国·高三专题练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若成等差数列，且的面积为，则（ ）
A．B．2C．D．
【答案】C
【解析】若成等差数列，则，
由余弦定理得，，则，①
由的面积为，得，则，②由②÷①得.故选：C.
17．（2023·北京）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等差数列，，则（ ）
A．B．4C．D．
【答案】B
【解析】由，得，由成等差数列，得，
由余弦定理，得，即，整理，得，由得，
由得.则，，所以，故选：B.
18．（2023·湖北·统考二模）已知等差数列的前项和为，命题“”，命题“”，则命题是命题的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】由，不能推出，例如，则，所以，
故命题是命题的不充分条件；由，不能推出，
例如，则，所以，
故命题是命题的不必要条件；综上所述：命题是命题的既不充分也不必要条件.故选：D.
19．（2023·四川自贡·统考三模）等差数列的前n项和为，公差为d，若，，则下列四个命题正确个数为（ ）①为的最小值 ② ③， ④为的最小值
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】等差数列中，，则，故②正确；
又，所以，故，则，故③正确；
于是可得等差数列满足，其为递增数列，则，又，所以为的最小值，故①正确，④不正确；则四个命题正确个数为.故选：C.
20．（2023·山西阳泉·统考三模）（多选）设无穷数列为正项等差数列且其前n项和为，若，则下列判断正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【解析】因为数列为正项等差数列，所以，所以，
因为数列为正项等差数列，所以，所以，，
，故选：ABD
21．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知等差数列是递减数列，为其前项和，且，则（ ）
A．B．
C．D．、均为的最大值
【答案】BD
【解析】因为等差数列是递减数列，所以，，所以，，故A错误；
因为，所以，故B正确；
因为，故C错误；
因为由题意得，，所以，，故D正确；
故选：BD
22．（2023·哈尔滨）（多选）在数列中，若，，则下列结论正确的有（ ）
A．为等差数列B．的前n项和
C．的通项公式为D．的最小值为
【答案】ABC
【解析】由可得，
所以是首项为，公差为3的等差数列，故A正确；
，的前n项和，故B正确；
由可得，故C正确；
因为，故的最小值不为，故D错误；故选：ABC
23．（2023春·安徽阜阳）（多选）设等差数列的前项和为，，公差为，，，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．当时，取得最大值
C．
D．使得成立的最大自然数是15
【答案】ABC
【解析】因为等差数列中，
，，
所以，，，A正确；
当时，取得最大值，B正确；
，C正确；
，，
故成立的最大自然数，D错误．
故选：ABC
24．（2023·江苏无锡·江苏省天一中学校考模拟预测）若等差数列前项和为，且，，数列的前10项的和为______.
【答案】
【解析】设等差数列的首项为，公差为，则，解得，
故，所以，
所以数列的前10项的和为.故答案为：.
25．（2023·全国·高三专题练习）记的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，a，b，c成等差数列，则____
【答案】
【解析】由，可得，
因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c，由正弦定理可得，
即，
所以，
因为,，
所以，所以．
故答案为：
26．（2023春·四川绵阳·高三四川省绵阳南山中学校考阶段练习）已知等差数列的前n项和为，若，，则___________
【答案】
【解析】由题设成等差数列，所以，则，
所以.故答案为：
27．（2023·全国·高三专题练习）等差数列中，，前项和为，若，则______.
【答案】
【解析】设的公差为，由等差数列的性质可知，因为，故，故为常数，所以为等差数列，设公差为
，，
，
，
，则
故答案为：
28．（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列，的前项和分别为，，若，则______．
【答案】
【解析】因为等差数列，的前项和分别为，，且，
所以，，又，，
所以，，
所以．
故答案为：
29．（2023·安徽滁州·校考模拟预测）中国古代经典数学著作《孙子算经》记录了这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二（除以3余2），五五数之剩三（除以5余3），问物几何？”现将1到200共200个整数中，同时满足“三三数之剩二，五五数之剩三”的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则该数列最大项和最小项之和为___________．
【答案】196
【解析】被3除余2且被5除余3的数构成首项为8，公差为15的等差数列，
则，
令，解得，
则数列的最大项为，
所以该数列最大项和最小项之和为．
故答案为：196.
30．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足：，，，.
(1)证明：是等差数列：
(2)记的前n项和为，，求n的最小值.
【答案】(1)证明见解析；
(2)最小值为10.
【解析】（1）解法一：
由，得，则，
从而.
又，
所以，
即，所以是等差数列.
解法二：
由，且，
则，
得，
因为，，
所以，
即，所以是等差数列.
（2）解法一：
设等差数列的公差为d.
当时，，即，
所以，所以，
所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，所以.
又.
所以，
，
又；
又，则，且，
所以n的最小值为10.
解法二：
设等差数列的公差为d.
当时，，即，
所以，所以，
所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，所以.
又，所以.
当时，
，
，
所以，
，
又，则，且，
所以n的最小值为10.
解法三：
设等差数列的公差为d.
当时，，即，
所以，所以，
所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，所以.
又.
当时，
，
所以，.
又，则，且，
所以n的最小值为10.
1．（2023·广东广州·华南师大附中校考三模）设为正项等差数列的前项和．若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由等差数列的前项和公式，可得，可得，
又由且，
所以，当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最小值为.
故选：D.
2．（2023·安徽）已知两个等差数列和的前n项和分别为Sn和Tn，且=，则使得为整数的正整数n的个数为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】B
【解析】依题意，，又=，
于是得，
因此，要为整数，当且仅当是正整数，而，则是32的大于1的约数，
又32的非1的正约数有2，4，8，16，32五个，则n的值有1，3，7，15，31五个，
所以使得为整数的正整数n的个数为5.
故选：B
3．（2023·上海）已知Sn，Tn分别为等差数列{an}，{bn}的前n项和，，设点A是直线BC外一点，点P是直线BC上一点，且，则实数λ的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为P，B，C三点共线，所以+λ=1，所以+λ=1，，所以+λ=+λ=1，λ=，
故选:B.
4．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）设为等差数列的前n项和，且，都有，若，则（ ）
A．的最小值是B．的最小值是
C．的最大值是D．的最大值是
【答案】A
【解析】由，得，即，
所以数列为递增的等差数列.
因为，所以，即，
则，，所以当且时，；
当且时，.因此，有最小值，且最小值为.
故选：A.
5．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）已知等差数列的首项为1，前项和为，且对任意，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设的公差为，由题设条件可知，且则，
因此，，
而符号不确定．
故选：C．
6．（2023春·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）已知等差数列{}的前n项和为，满足，且，则当取得最小值时，n的值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】D
【解析】设等差数列{}的公差为，因为，即，所以，
因为，解得，所以，则，
这是关于的二次函数，开口向上，在处取得最小值，由于，最靠近的正整数为，所以当时，取得最小值.
故选：D．
7．（2023春·广西·高三校联考阶段练习）已知是等差数列的公差，是的首项，是的前项和，设甲：存在最小值，乙：且，则甲是乙的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】若，则，显然时，有最小值.
所以，存在最小值，得不出且；
若乙成立，即且，则，
所以，当时，有，
所以，为单调递增数列，所以最小，
所以，存在最小值，即甲成立.
所以，甲是乙的必要不充分条件.
故选：B.
8．（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列满足，则下列命题：①是递减数列；②使成立的的最大值是9；③当时，取得最大值；④，其中正确的是（ ）
A．①②B．①③
C．①④D．①②③
【答案】D
【解析】设等差数列的公差为，
故，解得：，
由于，故是递减数列，①正确；
，令，
解得：，且，
故使成立的的最大值是9，②正确；
，
当时，，当时，，
故当时，取得最大值，③正确；
，④错误.
故选：D
9．（2023·全国·统考高考真题）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】C
【解析】方法1，甲：为等差数列，设其首项为，公差为，
则，
因此为等差数列，则甲是乙的充分条件；
反之，乙：为等差数列，即为常数，设为，
即，则，有，
两式相减得：，即，对也成立，
因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件，C正确.
方法2，甲：为等差数列，设数列的首项，公差为，即，
则，因此为等差数列，即甲是乙的充分条件；
反之，乙：为等差数列，即，
即，，
当时，上两式相减得：，当时，上式成立，
于是，又为常数，
因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件.
故选：C
10．（2023·湖北武汉·统考三模）（多选）已知实数数列的前n项和为，下列说法正确的是（ ）．
A．若数列为等差数列，则恒成立
B．若数列为等差数列，则，，，…为等差数列
C．若数列为等比数列，且，，则
D．若数列为等比数列，则，，，…为等比数列
【答案】BD
【解析】若数列为等差数列，不妨设其公差为d,则,
显然当才相等，故A错误，
而，作差可得成立，故B正确；
若数列为等比数列，且，，设其公比为q，
则，作商可得或所以 或，故C错误；
由题意得各项均不为0，而实数范围内，，
即且，结合选项B的计算可得，故D正确.
故选：BD.
11．（2023·江苏镇江·江苏省镇江第一中学校考模拟预测）（多选）已知等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．
B．若，则的最小值为
C．取最小值时
D．设，则
【答案】AC
【解析】对于选项A：设等差数列的公差为，
由题意可得：，解得，
所以，故A正确；
对于选项B：若，则，即，
可得，
当且仅当，即时，等号成立，
但，所以的最小值不为，故B错误；
对于选项C：令，解得，
又因为，可得的最后一个负项为第5项，且无零项，
所以取最小值时，故C正确；
对于选项D：因为，
则，
可得，
两式相减得：
，
所以，故D错误；
故选：AC.
12．（2023·安徽）（多选）设数列的前项和为，则下列能判断数列是等差数列的是（ ）
A．B．C．D．．
【答案】AB
【解析】对于A，当时，，而满足上式，
则，数列是常数数列，是等差数列，A是；
对于B，当时，，而满足上式，
则有，数列的通项是n的一次整式，是等差数列，B是；
对于C，当时，，而不满足上式，
则，显然，数列不是等差数列，C不是；
对于D，当时，，而不满足上式，
则，显然，数列的不是等差数列，D不是.
故选：AB
13．（2023·山东·山东省实验中学校考一模）（多选）已知为等差数列，前n项和为，，公差，则（ ）．
A．
B．
C．当或6时，取得最大值为30
D．数列与数列共有671项互为相反数
【答案】ABC
【解析】数列为等差数列，前n项和为，，公差，
则有，A正确；
因为，所以，B正确；
因为，即数列为递减等差数列，且当时，，
因此数列的前5项均为正，第6项为0，从第7项起为负，
所以当或6时，取得最大值，C正确；
令数列的第n项与数列的第m项互为相反数，即，
于是，而，则为偶数，令，有，
因此数列与数列成互为相反数的项构成等差数列，且，
显然，即，又，则，
所以数列与数列共有670项互为相反数，D错误.
故选：ABC
14．（2023·辽宁锦州·统考模拟预测）已知正项等差数列，公差为，前项和为，若也是公差为的等差数列，则__________.
【答案】
【解析】因为是公差为的正项等差数列，则.
因为是等差数列的前n项和，所以.
又因为也是公差为的等差数列，则.
从而有，两边平方得，即.
由多项式相等，得出，解得.
故答案为：.
15．（2023·全国·高三专题练习）设为等差数列的前项和，若，，则的最小值为__.
【答案】
【解析】设等差数列的公差为，∵，，
∴，，
联立解得：，所以，
则，
令，，
时，，单调递增，时，，单调递减，
可得时，函数取得极小值即最小值，
∴时，取得最小值，.
故答案为：.
16．（2023·上海嘉定·上海市嘉定区第一中学校考三模）已知，，将数列与数列的公共项从小到大排列得到新数列，则______.
【答案】
【解析】因为数列是正奇数列，
对于数列，当为奇数时，设，则为偶数；
当为偶数时，设，则为奇数，
所以，则，
所以.
故答案为：.