2026年新高考数学专题复习学案 40. 数量积计算的六种方式

这是一份2026年新高考数学专题复习学案 40. 数量积计算的六种方式，共10页。
1.定义法
平面向量数量积(内积)的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角是，则数量叫与的数量积，记作，即有().
2.坐标法
设向量为向量的夹角.
（1）数量积:.
（2）模:.
（3）夹角：
（4）两非零向量的充要条件:.
3.基底法
4.投影法
向量在方向上的投影：设为、的夹角，则为在方向上的投影.
投影也是一个数量，不是向量.当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为；当时投影为；当时投影为.
5.极化恒等式
人教版必修二第22页练习3设置了这样的问题：求证：.若我们将这个结论进一步几何化，就可以得到一把处理数量积范围问题的利器：极化恒等式.下面我先给出这道习题的证明，再推出该恒等式.
证明：由于，两式相减可得：
.
特别，在中，设，点为中点，再由三角形中线向量公式可得：(极化恒等式).
6.与外心有关的数量积计算
结论：如图1，，特别地，若点在线段的中垂线上时，.
如图1如图2
进一步，外心性质：如图2，为的外心，可以证明：
（1）.；，同理可得等.
（2）.，同理可得等.
（3）.，同理可得等.
证明:
二．典例分析
★1.定义法计算
例1．已知向量，满足，，，则（）
A． B． C． D．
解析：，，，.
，因此，.故选：D.
★2.基底法计算
例2．已知平面向量满足，，其中为不共线的单位向量，若对符合上述条件的任意向量，恒有，则夹角的最小值是（ ）
A． B． C． D．
解析：因，则，
依题意，恒成立，而，为不共线的单位向量，即有，于是得恒成立，则，即有，又，解得，所以夹角的最小值是.故选：B
★3.坐标法计算数量积
例3．已知向量，若，则（ ）
A． B． C．5 D．6
解析：,,即,解得,故选：C
★4.投影法计算
例4.（2020年新高考卷）已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则的取值范用是（）
A.B.
C.D.
解析：
的模为2，根据正六边形的特征，可以得到在方向上的投影的取值范围是，
结合向量数量积的定义式，可知等于的模与在方向上的投影的乘积，
所以的取值范围是，故选：A.
（方法2）坐标法
如图,取为坐标原点,所在直线为轴建立平面直角坐标系,则
,.设,则,且.所以.答案:A
★5.极化恒等式
例5．（2017年2卷）已知是长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是（ ）
A. B． C． D．
解析：（方法1.几何法）设点为中点，可得，再设中点为，这样用极化恒等式可知：，在等边三角形中，，故取最小值当且仅当取最小，即，故
.（公众号：凌晨讲数学）
（方法2.坐标法）以中点为坐标原点，由于，，．
设，，，，
故，则其最小值为，此时，．
★6.外接圆性质
例6．已知点是的外心，，，，若，则（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
解析：如图，点O在、上的射影是点、，它们分别为、的中点．
由数量积的几何意义，可得，
．又，
所以，又，
所以，即．
同理，即，解得．所以．故选：C.
三.习题演练
1．已知向量满足，则（ ）
A． B． C．1 D．2
解析：∵，又∵
∴9，∴故选：C.
2．已知向量，若，则（ ）
A． B． C．5 D．6
解析：,,即,解得,故选：C
3．已知非零向量满足，且，则与的夹角为
A． B． C． D．
解析因为，所以=0，所以，所以=，所以与的夹角为，故选B．
4．已知向量，满足，，则_________
解析：法一：因为，即，
则，整理得，又因为，即，则，所以.
法二：设，则，
由题意可得：，则，
整理得：，即.故答案为：.
5．已知向量，，，________．
解析：由已知可得，
因此，.故答案为：.
6．若向量满足，则_________
解析: ∵∴,∴.故答案为：.
7.（2022北京卷）在中，，，．为所在平面内的动点，且，则的取值范围是
A．，B．，C．，D．，
解析：取中点，由向量的加法知，，
从而.所以求的最值转化为求线段中点到单位圆上动点的距离的最值.在中，.
设直线与单位圆相交于，两点，当点位于点，处时，分别取得最小值和最大值，从而的取值范围是.
8.（2017年江苏卷）在直角坐标系中，，点P在圆上，若，则点P的横坐标的取值范围是
解析：设中点为，则，故可知满足题意的动
点P又在圆上，联立两圆方程可得，P的横坐标的取值范围为：
.
9．在边长为2的正六边形ABCDEF中，动圆的半径为1、圆心在线段CD（含端点）上运动，点P是圆Q上及其内部的动点，则的取值范围是（ ）
A．.B．C．D．
解析：由，可得为与在方向上的投影之积.正六边形ABCDEF中，以D为圆心的圆与DE交于M，过M作于，设以C为圆心的圆与垂直的，切线与圆切于点N与延长线交点为，
则在方向上的投影最小值为，最大值为,又，
，则，，则的取值范围是.故选A.
10．已知是的外心，，，则（ ）
A．10B．9C．8D．6
解析：如图，O为的外心，设为的中点，则,
故
,故选：A
注.关于极化恒等式的应用，我将其总结为在处理数量积范围问题时，若发现题干有“共起点，定底边”的特征，我们就可尝试使用该恒等式，做法就是把中线连出即可，下面我将再通过一个例题予以分析.
11.（2021成都三诊）已知等边的三个顶点均在圆上，点，则的最小值为（）
A．B．C．D．
解析：（法1.极化恒等式）根据题干特征，共起点的数量积范围问题，我们尝试往恒等式方向走.记中点为，中点为.
由于，而.由于为等边三角形，则三点共线，且由于是外心，也是重心，故.
则，显然，由在圆外，且共线（中点为），则.综上所述，.
（法2.基底法）
，因为等边的三个顶点均在圆上，因此，
，因为等边的三个顶点均在圆上，所以原点是等边的重心，因此，所以有：
，当时，即同向时，有最小值，最小值为.
12．在边长为4的菱形中，，为中点，为平面内一点，若，
A．16 B．14 C．12 D．8
解析：由可得：，故在中垂线上，由投影的定义可得：.
再根据余弦定理可得：，故可得选B.
13．已知双曲线的左、右焦点分别为，，A是双曲线C的左顶点，以为直径的圆与双曲线C的一条渐近线交于P，Q两点，且，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
解析：方法一：依题意，易得以为直径的圆的方程为.
又由双曲线，易得双曲线C的渐近线方程为.
当时，如图，设，则.联立，解得或，所以，.又因为，所以轴.
所以，.所以，所以.
因为，所以.同理，当时，亦可得.故双曲线C的离心率为.故选：C.
方法二（极化恒等式）：易得坐标原点O为线段PQ的中点，且，
所以，所以，所以.故选：C.
14．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，点O是的外心，．
（1）求角A；
（2）若外接圆的周长为，求周长的取值范围，
解析：（1）过点O作AB的垂线，垂足为D，因为O是的外心，所以D为AB的中点，所以，同理，所以，由正弦定理边化角得：
所以整理得：因为，所以所以，即又，所以，得
（2）记外接圆的半径为R，因为外接圆的周长为，
所以，得所以周长由（1）知，
所以因为，所以
所以所以，即所以周长的取值范围为