2026年新高考数学专题复习学案 30.和差化积公式及四大应用

这是一份2026年新高考数学专题复习学案 30.和差化积公式及四大应用，共14页。
.所以，处理函数方程问题的一个重要手法就是找原型.
三角函数和差化积公式，一个出现在新教材必修一226页习题！（凌晨讲数学）
一．基本原理
1.公式汇编与证明:
；；
； .
证明：由，，得
.
也可利用单位圆予以证明：

证明：线段AB的中点M的坐标为.过点M作垂直于x轴，交x轴于，如图，则.在中，.
在中，.
2.和差化积公式推导出的一些常见恒等式
（1）平方差公式：
即
（2）
证明：左边右边，所以原式得证.
3利用和差化积公式解决抽象函数
（1）将上述公式予以抽象，若令，则上述积化和差公式可进一步抽象得：
（2）若令，则有
（3）进一步，倘若令，那么上述和差化积公式可以表示为：
，抽象为：
（4）若令，那么：
则有：
综上所述，有关和差化积，我们可以得到如下的抽象函数模型；
①.
②.
③.
二．典例分析
★应用1.利用和差化积（积化和差）公式求值与化简
例1．如图，在平面直角坐标系中，以为始边，角与的终边分别与单位圆相交于两点，且若直线的斜率为，则（ ）

A．B．C．D．
解析：由题意可设，，则直线的斜率，所以，
所以．故选：A．
例2．已知，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
解析：由和差化积公式，得，
，两式相除，所以.
所以.故选：B．
例3．如图所示，已知角的始边为轴的非负半轴，终边与单位圆的交点分别为为线段的中点，射线与单位圆交于点，则（ ）
A．
B．
C．当面积为时，点在圆上运动
D．点的坐标为
解析：由已知，得，则，依题意为的中点，则，故A正确；
由题意，得，，则，，所以，故B正确；
由题意可得，，因为的中点，则，其中，因
故，故D正确；
由，则，，
设，则，将两式平方相加得，即，即点在园上运动，故C错误.故选：ABD
例4．已知函数，则（ ）
A．的一个周期为B．的图像关于中心对称
C．的最大值为2D．在上的所有零点之和为
解析：对于A，，所以A正确；
对于B，，所以B正确；
对于C，若最大值为2，则，，
当，，此时，，，故C不正确；
对于D，，
令得，所以或，又，
所以或或或或，解得或或或或，即所有零点之和为，故D正确.故选：ABD
★应用2.利用和差化积（积化和差）公式处理抽象函数
例5.（2022新高考2卷）
已知函数的定义域为，且，则
A. B. C. D.
解析：方法1.由余弦函数积化和差公式可得，考虑函数，则满足题意. 于是，周期为6，且，进一步，故选A.
方法2.因为，令可得，，所以，令可得，，即，所以函数为偶函数，令得，，即有，从而可知，，故，即，所以函数的一个周期为．因为，，，，，所以一个周期内的．由于22除以6余4，
所以．故选：A．
例6．已知函数对任意实数，都满足，且，则（ ）
A．是偶函数 B．是奇函数
C． D．
解析：（方法1.函数模型）由①，构造，易得结果选AC.
（方法2.赋值分析）：在中，
令，可得，即，解得，故B错误；
令可得,即，故函数是偶函数，即是偶函数,故A正确；
令，则，故，
令，可得,故，故C正确；
因为是偶函数，所以，故,即，
所以,所以，故函数的周期为2，
因为，，所以，.
所以，故D错误.故选：AC.
例7．已知定义域为的函数对任意实数、满足，且，．其中正确的是（ ）
A． B．为奇函数
C．为周期函数 D．在内单调递减
解析：（方法1.函数模型）由③，构造，且，，易得结果：,故选：BC
（方法2.赋值分析）：
对于A，令，得，因为，，
所以，所以，所以A错误，
对于B，令，则，因为，所以，所以为奇函数，所以B正确，
对于C，令，则，所以，所以，所以，所以，
所以的周期为，所以C正确，
对于D，因为，，，的周期为，
所以，令，则，所以，得，所以，所以在上不单调，所以D错误，故选：BC
例8．已知函数的定义域为，且，则下列说法中正确的是（ ）
A．为偶函数B．C．D．
解析：方法一：由于．
由题意，可以令，因为为奇函数，故选项A错误．
因为，故选项B正确．因为，故选项C正确．
因为，故，故选项D错误．
方法二：对于选项A，因为的定义域为R，令，则，故，则，令，则，
又不恒为0，故，所以为奇函数，故A错误．
对于选项B，令，则．而，所以，故选项B正确．
对于选项C，由选项B可知，，令，则，所以．又因为为奇函数，所以，故C正确．
对于选项D，由选项B以及，可得，
所以，同理可得．因为，故，故D错误．故选：BC
★应用3.和差化积（积化和差）公式解决实际问题
例9．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.如图，某摩天轮最高点距离地面高度为，转盘直径为，设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要.
(1)游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动后距离地面的高度为，求在转动一周的过程中，关于的函数解析式；
(2)求游客甲在开始转动后距离地面的高度；
(3)若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差（单位：）关于的函数解析式，并求高度差的最大值（精确到0.1）.
（参考公式与数据：；；.）
解析：（1）如图，设座舱距离地面最近的位置为点，以轴心为原点，与地面平行的直线为轴建立直角坐标系.设时，游客甲位于点，
以为终边的角为；根据摩天轮转一周大约需要，可知座舱转动的角速度约为，由题意可得，

（2）当时，.所以，游客甲在开始转动后距离地面的高度约为.
（3）如图，甲、乙两人的位置分别用点，表示，则，经过后甲距离地面的高度为，点相对于点始终落后，
此时乙距离地面的高度为，则甲、乙距离地面的高度差
利用，可得，.
当（或），即（或22.8）时，的最大值为.所以，甲、乙两人距离地面的高度差的最大值约为.
★应用4.新定义问题与应用
例10．定义二元函数，同时满足：①；②；③三个条件．
(1)求的值；
(2)求的解析式；
(3)若．比较与0的大小关系，并说明理由．
附：参考公式
解析：（1）由条件②可得；
由条件③可得．
（2）由条件②）可得：，，，
将上述个等式相加，得；由条件③可得：
，，，
将上述个等式相加，得．
（3）由（2），所以，则，
则
，
当且仅当时，，上式取得等号，即时，均有，
所以，当时，；当时，；当时，，所以．
例11．设次多项式，若其满足，则称这些多项式为切比雪夫多项式.例如：由，可得切比雪夫多项式，由，可得切比雪夫多项式.
(1)若切比雪夫多项式，求实数，，，的值；
(2)对于正整数时，是否有成立？
(3)已知函数在区间（-1，1）上有3个不同的零点，分别记为，，，证明：.
解析：（1）依题意，
，
因此，即，则；
（2）成立.只需考虑和差化积式，首先有如下两个式子：
，
，
两式相加得，，
将替换为，所以对于正整数时，；
（3）函数在区间上有3个不同的零点，即方程在区间上有3个不同的实根，令，由（1）知，
而，则或或，于是，
则，
而，所以.
三．习题演练
1．已知函数的定义域为R，不恒为0，且，则（ ）
A．可以等于零B．的解析式可以为：
C．曲线fx−1为轴对称图形D．若，则
2．定义在R上的函数满足，则下列结论正确的有（ ）
A．B．为奇函数
C．6是的一个周期D．
3．已知函数，则（）
A．B．当时，
C．当时，D．当时，
4．已知定义域为的函数，满足如下条件：
①.对任意实数都有；
②.，.
则_________.
5．筒车（chinese nria）亦称“水转筒车”.一种以水流作动力，取水灌田的工具.据史料记载，筒车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史．这种靠水力自动的古老筒车，在家乡郁郁葱葱的山间、溪流间构成了一幅幅远古的田园春色图．水转筒车是利用水力转动的筒车，必须架设在水流湍急的岸边．水激轮转，浸在水中的小筒装满了水带到高处，筒口向下，水即自筒中倾泻入轮旁的水槽而汇流入田．某乡间有一筒车，其最高点到水面的距离为，筒车直径为，设置有8个盛水筒，均匀分布在筒车转轮上，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，筒车转一周需要，如图，盛水筒A（视为质点）的初始位置距水面的距离为．

(1)盛水筒A经过后距离水面的高度为h（单位：m），求筒车转动一周的过程中，h关于t的函数的解析式；
(2)盛水筒B（视为质点）与盛水筒A相邻，设盛水筒B在盛水筒A的顺时针方向相邻处，求盛水筒B与盛水筒A的高度差的最大值（结果用含的代数式表示），及此时对应的t．
（参考公式：，）
参考答案：
1.解析：令，可得，可得，
解得或，
当时，则可得，
则，与不恒为0矛盾，所以，故A错误；
令，可得，所以为偶函数，
因为是偶函数，所以的解析式可以为：，故B正确；
因为为偶函数，所以的图象关于直线对称，
所以关于直线对称，所以曲线为轴对称图形，故C正确；
令，则可得，
所以，又，
解得，所以是以为首项，为公差的等差数列，
所以，故D正确.故选：BCD.
2.解析：该函数满足且，
对于A，令，可得，解得，故A正确；
对于B，令，，所以，所以为偶函数，故B错误；
对于C，令，，
可得，令，可得，
将两式相加得：，所以，
所以，所以，
因此，6是的一个周期，故C正确；
对于D，令，，，所以，
所以，
因为，，因为，令，，所以，令，，所以，令，，所以，令，，所以，由于6是的一个周期，所以，所以，故D正确；故选：ACD
3.解析：对于A，，
由和差化积公式:得：
,
其中，故所以即A正确；
对于B，对求导,，
在上，令f'x