2026届高考数学一轮总复习提能训练练案32平面向量的数量积

这是一份2026届高考数学一轮总复习提能训练练案32平面向量的数量积，共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．(2025·湖南“一起考”大联考模拟)已知|a|＝4，|b|＝3，a与b的夹角为60°，则(a＋2b)·(a－3b)＝( )
A．－32 B．－38
C．－44 D．－50
[答案] C
[解析](a＋2b)·(a－3b)＝a2－6b2－a·b＝|a|2－6|b|2－|a||b|cs θ＝42－6×32－4×3cs 60°＝－44，故选C．
2．平面向量a与b的夹角为45°，a＝(1，1)，|b|＝2，则|3a＋b|＝( )
A．13＋6eq \r(2) B．2eq \r(5)
C．eq \r(30) D．eq \r(34)
[答案] D
[解析] ∵a＝(1，1)，∴|a|＝eq \r(1＋1)＝eq \r(2).∴a·b＝|a||b|cs 45°＝2eq \r(2)×eq \f(\r(2),2)＝2.∴|3a＋b|＝eq \r(9a2＋b2＋6a·b)＝eq \r(18＋4＋12)＝eq \r(34).故选D．
3．(2025·山东百师联盟期中)设向量a＝(2，2)，b＝(－2，6)，c＝(4，2)，且(a－λb)⊥c，则λ＝( )
A．3 B．2
C．－2 D．－3
[答案] A
[解析] 因为a＝(2，2)，b＝(－2，6)，c＝(4，2)，所以a－λb＝(2＋2λ，2－6λ)；因为(a－λb)⊥c，所以(a－λb)·c＝8(1＋λ)＋4(1－3λ)＝12－4λ＝0，解得λ＝3.故选A．
4．(2024·浙江五校联盟联考)已知向量a＝(1，2)，向量b满足|b|＝2，若a⊥b，则向量a－b与a的夹角的余弦值为( )
A．eq \f(2\r(5),5) B．eq \f(\r(5),4)
C．eq \f(\r(5),3) D．eq \f(\r(5),6)
[答案] C
[解析] 由题意，得|a|＝eq \r(5)，且(a－b)·a＝a2－a·b＝5－0＝5，|a－b|＝eq \r(a－b2)＝eq \r(a2－2a·b＋b2)＝eq \r(5－0＋4)＝3，设向量a－b与a的夹角为θ，则cs θ＝eq \f(a－b·a,|a－b|·|a|)＝eq \f(5,3×\r(5))＝eq \f(\r(5),3).故选C．
5．(2024·北京海淀二模)在△ABC中，∠C＝eq \f(π,2)，CA＝CB＝2eq \r(2)，点P满足eq \(CP,\s\up6(→))＝λeq \(CA,\s\up6(→))＋(1－λ)eq \(CB,\s\up6(→))，且eq \(CP,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝4，则λ＝( )
A．－eq \f(1,4) B．eq \f(1,4)
C．－eq \f(3,4) D．eq \f(3,4)
[答案] B
[解析] 由题可知，eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→))＝0，故eq \(CP,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝[λeq \(CA,\s\up6(→))＋(1－λ)eq \(CB,\s\up6(→))]·(eq \(CB,\s\up6(→))－eq \(CA,\s\up6(→)))＝－λ|eq \(CA,\s\up6(→))|2＋(1－λ)|eq \(CB,\s\up6(→))|2＝－8λ＋8(1－λ)＝－16λ＋8，故－16λ＋8＝4，解得λ＝eq \f(1,4).故选B．
6．(2025·陕西咸阳模拟)已知在边长为1的菱形ABCD中，角A为60°，若点E为线段CD的中点，则eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(EB,\s\up6(→))＝( )
A．eq \f(\r(3),2) B．eq \f(3,4)
C．－eq \f(3,4) D．－eq \f(3,2)
[答案] C
[解析] eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(EB,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AD,\s\up6(→))＋\f(1,2)\(AB,\s\up6(→))))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)\(AB,\s\up6(→))－\(AD,\s\up6(→))))＝eq \f(1,4)|eq \(AB,\s\up6(→))|2－|eq \(AD,\s\up6(→))|2＝eq \f(1,4)－1＝－eq \f(3,4)，故选C．
7．(2024·新高考八省联考)已知单位向量a，b满足a·b＝0，若向量c＝eq \r(7)a＋eq \r(2)b，则sin〈a，c〉＝( )
A．eq \f(\r(7),3) B．eq \f(\r(2),3)
C．eq \f(\r(7),9) D．eq \f(\r(2),9)
[答案] B
[解析] 解法一：设a＝(1，0)，b＝(0，1)，则c＝(eq \r(7)，eq \r(2))，
cs〈a，c〉＝eq \f(a·c,|a||c|)＝eq \f(\r(7),1×3)＝eq \f(\r(7),3)，
∴sin〈a，c〉＝eq \f(\r(2),3)，故选B．
解法二：|c|2＝c2＝(eq \r(7)a＋eq \r(2)b)2＝7a2＋2eq \r(14)a·b＋2b2＝9，∴|c|＝3，
a·c＝a(eq \r(7)a＋eq \r(2)b)＝eq \r(7)a2＋eq \r(2)a·b＝eq \r(7)，
∴cs〈a，c〉＝eq \f(a·c,|a||c|)＝eq \f(\r(7),3)，∴sin〈a，c〉＝eq \f(\r(2),3).故选B．
8．(2025·江西赣州十八县(市、区)期中联考)已知向量a，b满足|a|＝2，|2a－3b|＝eq \r(7)，且(b－a)⊥b，则|b|＝( )
A．eq \r(2) B．eq \r(3)
C．3 D．eq \r(7)
[答案] B
[解析] 由(b－a)⊥b，可知(b－a)·b＝0，得a·b＝b2，故a·b＝|b|2.再由|2a－3b|＝eq \r(7)，可得|2a－3b|2＝(2a－3b)2＝4a2－12a·b＋9b2＝7，将a·b＝|b|2代入，可得3|b|2＝4|a|2－7＝9，解得|b|＝eq \r(3).故选B．
9．(2025·北京通州期末)在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°，E是BC的中点，F是CD上一点(不与C，D重合)，DE与AF交于G，则eq \(AG,\s\up6(→))·eq \(DG,\s\up6(→))的取值范围是( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(2,3))) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(4,3)))
C．(0，2) D．(0，3)
[答案] B
[解析] 如图所示：当点F与点C重合时，此时DG最长，易知△ADG∽△CEG，且相似比为2∶1，∠BAD＝∠DCB＝60°，在△DCE中，DE2＝DC2＋CE2－2DC×CE×cs 60°＝3，所以DE＝eq \r(3)，此时满足DE2＋CE2＝DC2，所以DE⊥CE，所以∠ADE＝90°，此时DG＝eq \f(2,3)DE＝eq \f(2\r(3),3)，由图可知，DG∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(2\r(3),3)))，则eq \(AG,\s\up6(→))·eq \(DG,\s\up6(→))＝(eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DG,\s\up6(→)))·eq \(DG,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(DG,\s\up6(→))＋eq \(DG,\s\up6(→))2＝|eq \(DG,\s\up6(→))|2∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(4,3))).故选B．
二、多选题
10．(2025·广东实验中学阶段测试)已知向量a＝(4，3－m)，b＝(1，m)，则下列说法正确的是( )
A．若a⊥b，则m＝4
B．若m＝eq \f(3,5)，则a∥b
C．|a＋2b|的最小值为6
D．若a与b的夹角为锐角，则－1