2026年新高考数学专题复习学案 38 .高考平面向量常见备考策略研究

这是一份2026年新高考数学专题复习学案 38 .高考平面向量常见备考策略研究，共8页。
例1．（2023年新高考1卷高考真题）已知向量，若，则（ ）
A． B． C． D．
解析：因为，所以，，
由可得，，即，整理得：．故选：D．
例2．（2023年新高考2卷高考真题）已知向量，满足，，则__________．
解析：设，则，由题意可得：，则，整理得：，即.故答案为：.
例3．（2023年甲卷高考真题）已知向量满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
解析：因为,所以,即,即,所以.设,由题知,是等腰直角三角形,AB边上的高,所以,
,.故选:D.
(2022新高考全国2卷)已知向量，若，
则( )
A．B．C．5D．6
解析：,,即,解得． 故选C．
(2022新高考全国1卷)在中，点D在边AB上，．记，
则( )
A．B．C．D．
解析：因点D在边AB上，，所以，即，
所以，故选：B．
(2022年高考全国乙卷数学(理))已知向量满足，则
( )
A．B．C．1D．2
解析：∵，又∵
∴9，∴，故选：C．
例7．(2022年高考全国甲卷数学(理)·第13题)设向量，的夹角的余弦值为，且，
，则_________．
解析：设与的夹角为，因为与的夹角的余弦值为，即，又，，所以，所以．
故答案为：．
二．压轴题
例8.（2023年全国乙卷）已知的半径为1,直线与相切于点,直线与交于两点,为的中点,若,则的最大值为（ ）
A.B.C.D.
解析：（方法1）如图所示，，则由题意可知:，由勾股定理可得，当点位于直线异侧时，设，则：
，，则，当时，有最大值.

当点位于直线同侧时，设，则：
，，则
当时，有最大值.综上可得，的最大值为.故选：A.
（方法2：坐标法）
建立平面直角坐标系,以为坐标原点,圆的方程为,与轴切于点.设过点的直线方程为交圆于,中点
,由，得,
由韦达定理得,由于，
所以，当且仅当时,取等号,故选A.
例9．（2017年2卷）已知是长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是( )
B．C．D．
解析：（方法1.几何法）设点为中点，可得，再设中点为，这样用极化恒等式可知：，在等边三角形中，，故取最小值当且仅当取最小，即，故
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（方法2.坐标法）以中点为坐标原点，由于，，．
设，，，，
故，则其最小值为，此时，．
例10.（2017年3卷）在矩形中，，点在以为圆心且与相切的圆上，若，求的最大值.
解析：（方法1：等和线） 如图，由等和线性质可知，，显然，当的平行线与圆在最上方相切时，取最大，显然此时，直线的方程为，故可取为点到直线的距离.由于的平行线与圆
相切，故可得的方程为，那么取为点到直线的距离.这样就可得到.
（方法2：坐标法）设,易得圆的半径，即圆C的方程是，，若满足题意
则 ，，所以，设，即，点在圆上，所以圆心到直线的距离，即，解得，则的最大值是3.
感悟.在处理平面向量范围问题时，坐标法是通性通法，这一点需要注意，尽管我们在此处给了相关问题的实质背景，但是，不可否认坐标法的使用范围更为广阔！
三.平面向量的四大进阶教程
3.1 等和线定理
1.（三点共线向量结论）若三点共线，则当且仅当.
2.等和线定理
进一步，如图所示，若
，
由于点在直线上的任意性可知，点所动成的直线平行于直线，且直线上任意一点都满足，故称直线为等和线.
此时相似于，因此，我们就可以取特殊情形，即过三点的直线分别垂直于，时，计算.
除此，上述推导还告诉我们：对于不共线向量,若，则
（1）点在直线外侧（不含点一侧）的充要条件是．
（2）点在直线内侧（含点一侧）的充要条件是.
3.2极化恒等式
人教版必修二第22页练习3设置了这样的问题：求证：.若我们将这个结论进一步几何化，就可以得到一把处理数量积范围问题的利器：极化恒等式.下面我先给出这道习题的证明，再推出该恒等式.
证明：由于，两式相减可得：
.
特别，在中，设，点为中点，再由三角形中线向量公式可得：(极化恒等式).
3.3 投影法计算数量积
结论：如图1，，特别地，若点在线段的中垂线上时，.
如图1 如图2
进一步，外心性质：如图2，为的外心，可以证明：
（1）.；，同理可得等.
（2）.，同理可得等.
（3）.，同理可得等.
证明:
例11.已知是的外心，，，则（ ）
A．10 B．9 C．8 D．6
解析：如图，O为的外心，设为的中点，则,
故
,故选：A
例12．在边长为4的菱形中，，为中点，为平面内一点，若，
A．16 B．14 C．12 D．8
解析：由可得：，故在中垂线上，由投影的定义可得：.
再根据余弦定理可得：，故可得选B.
4.向量隐圆
例13.已知向量满足，且与的夹角为，则的最大值为________.
解析：如图，，，则，依题可知：，故三角形均在圆上，的最大值即为该圆的直径，由正弦定理可知：
类型2.圆的内接四边形
基本结论：若四边形有一组对角互补，则四点共圆.
例14.已知向量满足，且向量的夹角为，则的最大值为_________.
解析：依题夹角为，而向量的夹角为，故由四点共圆结论可知，向
量的终点与四点共圆，则的最大值即为圆的直径，由于
则由正弦定理：
例15．设向量，，满足，，，的夹角为60°，则的最大值等于（ ）
A．2B．C．D．1
解析：，，故
设 ，的夹角为60°，故，又，故四点共圆，设圆的半径为R,故当=2R时，取最大，故选：A