2026年新高考数学专题复习学案 39.平面向量基本定理与广义坐标系

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1.平面向量基本定理：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数，，使.
2.广义坐标
（1）在平面向量基本定理中，我们把有序实数对叫做向量在基底下的广义坐标.
（2）与直角坐标的联系与区别：
联系：当基底分别是直角坐标系中轴和轴正方向上的单位向量时（标准正交基），广义坐标就变成了我们熟悉的直角坐标.例如，向量，它在基底下的广义坐标就是，这和我们在直角坐标系中描述向量的坐标是一致的.
区别：广义坐标更具一般性，它的基底可以是平面内任意一组不共线向量，而不仅仅局限于直角坐标系中的单位向量.
3.广义坐标的运算
（1）向量加法的广义坐标运算：
设，其广义坐标为，其广义坐标为.
则.
所以在基底下的广义坐标为.
（2）向量数乘的广义坐标运算：
对于向量，广义坐标为，设为实数.
则.
所以在基底下的广义坐标为.
（3）.数量积运算
在广义坐标系下，数量积运算公式为，展开可得：
若记，则
.
二．典例分析
3．向量的广义坐标是用于描述向量或系统状态的一组数值，其选择取决于问题的特定背景和需求．在物理学、工程学、计算机图形学等领域，广义坐标被广泛应用．比如，物理学中的振动系统可能采用角度作为广义坐标，而工程学中的结构分析可能使用特定坐标系来简化问题．通过选择适当的广义坐标，可以更自然地描述问题，简化数学表达，提高问题的可解性，并使模型更符合实际场景．已知向量，是平面内的一组基向量，O为内的定点．对于内任意一点P，若，则称有序实数对为点P的广义坐标．若点A，B的广义坐标分别为，，关于下列命题正确的（ ）
A．点关于点O的对称点不一定为
B．A，B两点间的距离为
C．若向量平行于向量，则的值不一定为0
D．若线段的中点为C，则点C的广义坐标为
【答案】D
【分析】根据广义坐标的定义，结合平面向量数量积的运算性质、平面向量共线性质逐一判断即可.
【详解】对于A，，设关于点的对称点为，则，
因为，不共线，所以，A错误；
对于B，因为，
所以，
当向量，是相互垂直的单位向量时，，两点间的距离为，否则距离不为，B错误；
对于C，当与中至少一个是时，结论成立；
当与都不为时，设（），有，即，所以，C错误；
对于D，，
所以线段中点的广义坐标为，D正确
故选：D
2．如图，设，是平面内夹角为的两条数轴，，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量.若向量，则有序数对叫做点在坐标系中的坐标.在该坐标系下，，，为不共线的三点，下列结论错误的是（ ）

A．线段中点的坐标为B．重心的坐标为
C．，两点的距离为D．若，则，，三点共线
【答案】C
【分析】依题意可得，，，根据平面向量线性运算判断A、B，表示出，再根据数量积的运算律判断C，根据向量共线定理判断D.
【详解】根据题意，，，，
对于A，设的中点为，则，
故线段中点的坐标为，故A正确．

对于B，设重心为，则
，
故重心的坐标为，故B正确；
对于C，，
所以
=
即该坐标系中，两点间的距离为：
，故C错误；
对于D，，，
若，易得，则、、三点共线，
若，变形可得，所以，
所以，所以、、三点共线，
综合可得：若，则，，三点共线，故D正确．
故选：C．
8．已知单位向量的夹角为，若平面向量，有序实数对称为向量在“仿射”坐标系（为坐标原点）下的“仿射”坐标，记，则下列命题正确的是（ ）
A．已知，则
B．已知，则线段的长度为1
C．已知，则
D．已知，则的最大值为
【答案】ABD
【分析】根据题设“仿射”坐标系的定义，依据各项条件并应用向量数量积的运算律及相关坐标运算判断正误即可.
【详解】A：由题设，
所以，对；
B：由题设，则，对；
C：由题设，错；
D：由题设，即，
由，且时取等号，
则，故，即时的最大值为，对.
故选：ABD
9．如图所示，设Ox，Oy是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与x，y轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系xOy为斜坐标系.若，则把有序数对叫做向量的斜坐标，记为.在的斜坐标系中，，，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．D．在方向上的投影向量为
【答案】AD
【分析】利用向量的线性运算，向量的模，向量垂直，投影向量的求法逐一验证即可.
【详解】依题意，，，
对于A，，A正确；
对于B，，B错误；
对于C，，C错误；
对于D，，
则在方向上的投影向量为，D正确.
故选：AD
10．设Ox，Oy是平面内相交的两条数轴，其中（且），，分别是与x轴，y轴正方向同向的单位向量.若平面向量满足，则有序数对称为向量在“仿射”坐标系xOy下的“仿射”坐标，记作，下列命题中是真命题的是（ ）
A．已知，则
B．已知，，则
C．已知，，则
D．已知，，若，则
【答案】BD
【分析】根据新定义，结合已学的向量的模长，向量运算，向量数量积，向量平行的定理可以逐一计算判断.
【详解】对于A，，则，
所以
，故A错误；
对于B，已知，，
则，，，
则，故B正确；
对于C，，，则，，
所以
，故C错误；
对于D，，，则，，
若，则当或时，或，满足；
当，则存在唯一，使得，则，
则，消元变形得到，故D正确.
故选：BD.
24．如图，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与轴、轴同方向的单位向量.若向量，则把有序数对叫做在斜坐标系中的斜坐标.
(1)若，求.
(2)若，求在上的投影向量斜坐标.
(3)若，求的最小值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据向量斜坐标表示，结合可得的值.
（2）根据条件计算，结合投影向量公式可得在上的投影向量为，由此可得结果.
（3）利用向量夹角公式表示，通过换元法结合函数单调性的分析可得结果.
【详解】（1）∵，
∴，
∵，
∴，解得.
（2）∵，∴，
由题意得，，故，
∴，
，
∴在上的投影向量为，
∴在上的投影向量斜坐标为.
（3）∵，∴，
∵，∴，即，
∴，
∵，∴，
∵，∴，
∴，
，
∴，
令，则，
∵，函数在上单调递减，
∴函数在上单调递增，
∴当时，，即的最小值为.
三．习题演练
11．已知，且，当时，定义平面坐标系为“-仿射”坐标系，在“-仿射”坐标系中，任意一点的斜坐标这样定义：分别为轴，轴正方向上的单位向量，若，则记为，那么下列说法中正确的是（ ）
A．设，则
B．设，若，则
C．设，若，则
D．设，若与的夹角为，则
【答案】BD
【分析】根据题意得：，，对于A结合向量相等理解判断；对于B、D：利用以及进行运算判断；对于C：若，则，使得.
【详解】，
对于A：
即，故选项A错误；
对于B：若，当即时，显然满足：；
当即或时，则，使得，
即
则可得，消去得：，故选项B正确；
对于C：∵，则，可得
，
若，则，故选项C错误；
对于D：∵，
由选项A可得：，
，
由选项C可得：，
若与的夹角为，则，
即，
整理可得，，
解得或（舍去），
∵，则，故选项D正确；
故选：BD．
23．如图，在平面斜坐标系中，，平面上任意一点关于斜坐标系的斜坐标这样定义：若（其中分别是轴，轴正方向的单位向量），则点的斜坐标为，且向量的斜坐标为.给出以下结论，其中所有正确的结论的序号是
①若，，则；
②若，则；
③若，则；
④若，则
【答案】①②③
【分析】根据所给定义及平面向量线性运算法则判断②③，根据数量积的运算律判断①④.
【详解】对于①：∵，，即，
∴
，故①正确；
对于②：∵，，即，，
∴，
∴，故②正确；
对于③：∵，，，
∴，
∴，故③正确；
对于④：
，故④错误.
故答案为：①②③
0．如图，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量.若向量，则把有序实数对叫做向量在坐标系中的坐标，记作.在此坐标系中，若，分别是的中点，分别与交于两点.
(1)求：；
(2)求的坐标；
(3)若点M在线段上运动，设，求的最大值.
【答案】(1)
(2)，
(3)3
【分析】（1）根据向量新定义，结合向量数量积的运算法则即可得解；
（2）先利用向量加法的平行四边形法则得到四边形是平行四边形，进而得到，，从而利用向量的线性运算即可得解；
（3）设，利用向量的线性运算得到关于的表达式，从而利用二次函数的性质即可得解.
【详解】（1）依题意，得是单位向量，且夹角为，
所以，
而，
，
则.
（2）因为，
所以，，
所以，则四边形是平行四边形，
所以，
因为分别是的中点，所以，
所以，，
因为
，
则，
所以，；
（3）由（2）知，，
因为点在线段上运动，所以设，其中，
因为，所以，
所以，
因为不共线，则，解得，
所以，
因为，所以当时，取得最大值3.
【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有：
31．如图，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量．若向量，则把有序实数对叫做向量在坐标系中的坐标，记作．在此坐标系中，若，，，是的中点，与交于两点．

(1)求；
(2)求的坐标；
(3)若过点的直线分别与轴、轴正方向交于、两点，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）依题意可得，再根据数量积的运算律计算可得；
（2）依题意可得，即可得到是平行四边形，从而得到，即可得到，再根据计算可得；
（3）设，，又三点共线，设，根据平面向量线性运算及基本定理得到，从而得到，再由面积公式及基本不等式计算可得.
【详解】（1）依题意可得，
，
-
；
（2），，，
，，，
，
所以四边形是平行四边形，即，
，
是的中点， ，
，
又，
，
；
（3）设，，
则，，
因为三点共线，则设，
，
，
，
，，
，当且仅当时取等号，
所以的最小值为．
或者：由，得，
所以，所以，当且仅当时取等号，
，当且仅当时取等号，
所以的最小值为